第二章 一元函数微分学

第二章一元函数微分学第一节导数概念202200121122sgttttsgttgt1.非匀速直线运动的瞬时速度00001limlim22ttsVgttgtt0122sVgttt平均速度:瞬时速度(?)0ttt自由落体运动问题的引入0000()()tanlimlimxxxfxfxykxxx0000tanfxxfxyyyxxxx(TangentLine)2.切线的斜率T0xxoxy()yfxCNM000000000()()()()()0,()(),(),xxxxyfxxyxfxxfxfxfxyyxxxxxxyfxxderivativedyydxfx若函数在处的增量与自变量的增量之比当时有极限那么称此极限值为导在点数处的并记为或定义导数（Derivative)的定义导数定义0000()()()limxfxxfxfxx或0000()()()limxxfxfxfxxx()(,)(,)(),()(),(),.yfxabxabfxfxfxdyyfxdx若函数定义在区间上，，都存在称为的简称为.记为导函数，导数导数的双重意义：（1）某点的导数值；（2）导函数。0000:()()()(,())yfxxxfxyfxxfx函数在处的导数就是曲线在点几何处意义的切线斜率.000:()().ssttstt物体运动的路程函数在处的导数就是物体在时刻的物意义瞬时速度理导数的意义sin,.yxy例已知.求由定义求导数举例yCCy'求函数（为常数）的导数例sinθ+sinφ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]sinθ-sinφ=2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]cosθ+cosφ=2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]cosθ-cosφ=-2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]2.ln,';xyxy求例已知(.).nyxn求为正整数的导数例2039(,).24yxM求曲线上一点的切线方程和法例线方程.933.42yx切线的点斜式方程为:0limxyyx解:220lim2xxxxxx323tan232xky(),.yfxx如果函数在点可导则这个函数在定该点连续理可导与连续的关系连续不一定可导(0).f不存在0，yxx在点连续例但不可导00limlim0(0)xxyxf连续00limlim1,xxyxxx但00limlim1,xxyxxxyxxyo3yf(x)xx0证明在区间（-，+）内连续，但在点例=：处不可导。第二节求导法则12222221.02.()3.ln114.(log).(ln)ln5.sincos6.cossin117.tan8.cotcossin119.arcsin10.s111111.arctan12.cot11nnxxaCxnxaaaxespxxaxxxxxxxxxxarccoxxxxarcxxx基本初等函数的导数公式,,,uvwx设都是的可导函求导四则运数算则有21.()2.()3.uvwuvwuvuvuvuuvuvvv:()()()cucucconstuvwuvwuvwuvw推论为2.2cosxyexx例求的导数.3f(x)x4cosxsin,f'(x)f'()22求及例()log,()afxxfx例设求.tanyx例求的导数.sec,cscyxyx例求函数的导数.xye(sinxcosx),y'求例反函数的导数定理如果函数()xy在区间yI内单调、可导且()0y，那么它的反函数()yfx在区间xI内也可导，并且11()()dyfxordxydxdy例求指数函数xya的导数.例求反正弦函数arcsinyx的导数.,()，,,,uvxyfgxyfuugvvxyyuv二个中间变量情况(多个类推):若则另()(),()(),():xxxuudydyduxxuxyfuuyfuyfuyyudxdudxxx若在点处有导数且在对应点处有导数则复合函数在给定点处或也有导数复合函数求导.lncosyxy,求例.2.sinyxy例,求.2.1yxy例,求.2.ln1yxxy,求例.()(exp),(,)0.yfxlicitfunctionFxyyximplicitfunction形如的函数称为而由方程所表示的与的函数关系称显函数隐函数()为1.求导方法：把y看成中间变量,由F(x,y)=0等式两边对x求导。隐函数求导法则.00xyxyeeyxyy确定是的函数,求及例.57.23()0yyxxyfxx求由方程=0所确例定的函数在处的导数.223.12,31692.xy求椭圆在点处的切线方程例对数求导法适合幂指函数形式和无理函数.sin'.;xyxy已知，求例sin'.;xyxy知例已,求(1)(2),'.(3)(4.)xxyyxx求例已知参数方程的求导法则由参数方程()()xftygt所确定的y是x的函数，若()ft和()gt都是可导的，而且有1()tft，那么()()dygtdxft例求由参数方程2arctanln(1)xtyt所确定的函数()yfx的导数.例求由摆线的参数方程(sin)(1cos)xattyat所确定的函数()yfx的导数.22()(),;,dyyfxfdxfxx二阶是个函数,如果可导.它的导数称为的记为导数,33,,),(dyyfxdxfxx同样也是的函数,若可导,它的导数称为f三阶(x)的,记为导数(),,.nnnndyyfxdnx二阶以上的导数称为记.阶导数为高阶导数高阶导数21.,.2sgts例求.ln1.yxn的例求阶导数22(20),xyxey例求第三节微分2222(),Axxxxxx20lim0,xxx2.Axx,加热圆型铁片其面积增加多少?2(),,Axxx为半径微分的概念0000000()()():()()(),()(),,.yfxxxyfxxfxyAxodyAxAxxfxxdifferentiableAxfxxxdifferentxialdy设在点的某邻域内有定义,如果函数在点处的改变量可以表示为其中只与有关而与无关,则称函数在点处称为函数在点处相应于的记可微作分即微定义可微的条件00().fxxx函数在点可微的充要是它在导条件处可定理,,,,(),()xxddyfxdxxdxdyfxdxx一般又把自变量的改变量称为记作即于是亦即所以导数自变量的微分又叫微商.微分的几何意义)(xfy0xMNTdyy)(xo）xyox几何意义:(如图).,对应的增量就是切线纵坐标坐标增量时是曲线的纵当dyyxx0P.,,MNMPMx可近似代替曲线段切线段的附近在点很小时当0000,()(,())..xxyfxdyMxfx当自变量在点处有改变量时函数所对应的微分表示曲线在点处切线的纵坐标的改变量与导数几何意义几何意注意的对比义00()()0,,,(),ydyfxxfxxxxy若函数在点处的导数则由微分的定义知当很小时略去的高阶无穷小o就可取极限可导可微连续,,,uvwx设都是的微分的运算法可微函则数则有2.()duvudvvdu()()dcucducconst推论为23.(),(0)uvduudvdvvv1.()duvdudv()duvwvwduuwdvuvdw12221.()0(.)2.()3.(sin)cos4.(cos)sin115.(tan)6.()cossin7.()ln.()118.(log).(ln)ln19.(arcsin)10.(arccos)1aaxxxxadCCconstdxaxdxdxxdxdxxdxdxdxdcotxdxxxdaaadxespdeedxdxdxespdxdxxaxdxdxdxx为222111111.(arctan)12.()11dxxdxdxdarccotxdxxx基本初等函数的微分,()()Qusti,o(),[(),n]?:uyfudyfuduuuxyxyfx当为自变量时函数的微分为那么当不是自变量而是另一个函数这时便是的复合函数上式是否还成立呢微分形式的不变性;)(,)1(dxxfdyx是自变量时若则微函数的可即另一变量是中间变量时若),(,)2(txtx),()(xfxfy有导数设函数dttxfdy)()(,)(dxdtt.)(dxxfdy结论：的微分形式总是函数是自变量还是中间变量无论)(,xfyx微分形式的不变性dxxfdy)(222.,.yaxdy例求sin.,.axyebxdy求例1.近似计算00()()0,,,(),,:yfxxfxxxoxydy若函数在点处的导数则由微分的定义知当很小时略去的高阶无穷小就可取即0(1)()yfxx000(2)()()()fxxfxfxx进而有微分的简单应用1.0有一直径为厘米的球,外面镀铜,铜的厚度为0.005厘米,求所用铜的体积例的近似值.i.sn29不查三角函数值表，求例的近似值.lnsin,..yxdy求例1sin2,.cos(3),..xxydyyexdy例例求求：第四节导数的应用微分中值定理费尔马（Fermat）定理设函数()fx在点0x的邻域0()Ux内有定义，并且在0x处可导，如果对0()xUx有0()()fxfx或0()()fxfx，那么0()0fx（驻点）罗尔（Rolle）定理设函数()[,]fxCab，在开区间(,)ab内可导，且有()()fafb，那么在(,)ab内至少有一点，使得(0)f10,0,1||)(xxxxxf1.2.10,01,)(xxxxxf罗尔定理反例3.(),[0,1]fxxx2,;ab在内可导()()(),,,.fbfabbafaba至少则在区间内使存在一点1,;ab在上连续():fx设满足以下两个条件拉格朗日中值定理ab1xoy)(xfyABC几何解释:,.ABCAB在曲线弧上至少有一点在该点处的切线平行于弦例验证函数()arctanfxx在[0,1]上满足拉格朗日中值定理，并求值.例如果函数()fx在区间I上的导数为零，那么()fx在区间I上是一个常值函数.例证明当0x时，ln(1)1xxxx.函数的单调性0,),.abxfxfx如果对区间(内所有的值则在这个区间单调函数是减少的内,;0)fxabxfx如果对区间(内所有的值则定在这个区间内函数是单调递增的理xyo()yfxxyo()yfxabAB0()fx0()fxabBA32.()5.32xxfx例求的单调区间如何判断单调性区间1驻点；2导数不能的点，如：y=|x|；3不连续的点，如：y=1/x.例讨论