定积分计算

定积分的计算N-L公式(微积分基本定理)设f(x)在[a,b]上连续,且F(x)是f(x)的一个原函数,则说明:此公式不仅揭示了微分与积分的联系,同时指出了求定积分的方法:(1)求f(x)的原函数;(2)求原函数值差.定积分的性质：)()()()(aFbFxFdxxfbababccababababababaabbaaadxxfdxxfdxxfdxxgdxxfdxxgxfdxxfkdxxkfdxxfdxxfdxxf)()()()4()()()]()([)3()()()2()()(0)()1(例1.求下列定积分解:02120sin)3()12()2()1(xdxdxxdxex2cossin)3(4)12()2(1)1(002122122020xxdxxxdxxeedxexx（一）直接积分法例2.求下列定积分解:2032022202sincos)3()1()2()1(xdxxdxxxdxex41cos41)(coscossincos)3(54)1(21)1()1(21)1()2(1)2(21)1(20420320322022220224202202202xxxdxdxxxxxddxxxeexdedxexxx（一）凑微分法上连续。在时，当时，；当时，当上连续，作变换在设函数],[)()3(].,[],[)2(;)()()1()(],[)(txbaxtbxxtaxxttxxbaxf（二）定积分的换元积分法定理badttxtxfdxxf)())(()(则有换元积分公式：例3.求下列定积分解:说明:换积分上下限.通过u=2x+1来计算.当x=0时,u=1;当x=2时,u=5.所以注意:定积分的换元法一定要换积分的上下限.1024020121)3(122)2()1(dxxdxxxdxexdudxux21,12)1(则令)(212121551512012eeeduedxeuux解:.3,4;1,0,12)2(uxuxududxux当当则令322]331[21)3(2122112231313231240uuduuuduuudxxx解:说明:因换元积分法比较麻烦,建议尽可能使用“凑微分”.2,1;0,0cos,sin)3(txtxtdtdxtx当当则令4)2sin21(21)2cos1(21coscossin112020202202102ttdtttdttdttdxxdtdxtxn,202令时，）2020cossinxdxxdxnn证明例4证1）n=0时，显然成立dttxdxnn)2(sinsin2002则dxxtdtnn2020coscos练一练求下列定积分10110431052)1(1)4(ln1)3(1)2()1(dxxxdxxxdxxxdxeex练一练（解答）2)arctan(2)()(112)1(1)4(23]ln21[ln)ln1(ln1)3(2ln41)1ln(41)1(11411)2(57105221)1(101021012111041044104310521052)(2121)52(xxdxdxxxxxdxxxxdxxxxxdxdxxxxedxeeeexxeeexd存在，即上有连续的导数，在设函数)(),(],[)(),(xvxubaxvvxuu（三）定积分的分部积分法定理bababaxudxvxvxuxvdxu))(()()().())(()(则有分部积分公式：例5.求下列定积分解:2cossinsin)(sincos)1(00000xxdxxxxxddxxx1)]1ln([11)1ln()1ln()2(10101010eeeexxedxxxxxdxx100)1ln()2(cos)1(edxxdxxx两个重要结论设f(x)在[-a,a]上连续，(1)若f(x)为奇函数，则(2)若f(x)为偶函数，则证明(1)aadxxf0)(aaadxxfdxxf0)(2)(aaaaaaaaaaadxxfdxxfdttfdttfdxxftxdxxfdxxfdxxfdxxf0)()()())(()(,)()()()(0000000所以，令作变换对积分20202cos2sin1dxxdxn）及，）求xdxxdxnncossinsin20201解：例6dxxnxdxnnn20202sin)1(sin)1(202201cos.sin.cos)1(sincosxdxxxnxxnn2022sin)sin1()1(xdxxnn移项，得递推公式20202sin1sindxnnxdxnn2.21.43.65.87sin21.43.65.87200xdx202202068sin.43.65.87sin87sinxdxdxxxdx解：如n=81.32.54.76sin207xdx有公式如n=7为奇为偶nnnnnnnnnnxdxn1.32..23.12.21..23.1sin20为奇为偶nnnnnnnnnnxdxn1.32..23.12.21..23.1cos20利用上面结论，求下列定积分提高题：(1)用定积分求椭圆的面积？(2)求证：112237455)1()4()cossin()3(sin)2(5sin)1(dxxxdxxxxxdxxxdx1112211xxxdxxdx广义积分一、无穷限函数的广义积分*adxxf)(定义假设对f(x)在[a,b]有定义且可积，(1)对于无[a,+∞]上的穷积分如果存在，我们称收敛，且定义：否则，称发散。babdxxf)(limadxxf)(babdxxf)(limadxxf)(adxxf)((2)对于[-∞，b]的无穷积分如果存在，我们称收敛，且定义：否则，称发散。baadxxf)(limbdxxf)(bdxxf)(baadxxf)(limbdxxf)(bdxxf)(),()(lim)(lim存在BABAdxxfdxxfbcbcaadxxf)(即：dxxf)(ccdxxfdxxf)()(（3）对于区间（-∞，+∞）的无穷积分如果=A+B.如果右边每一个无穷积分都存在，我们称收敛，如果其中之一不存在，则发散。dxxf)(dxxf)(dxxf)(例1求05dxexbxdxe05解首先我们考察求bxdxe05515105155bxebe，当b0515be有bxbdxe05lim从而有：blim）5151(5be51510例2讨论广义积分的敛散性。dxxp111p解：当1ln11xdxx原式1p当1,111,111111pppxpdxxpp原式，故dxxp11，收敛当1p时发散当1p例3求广义积分。dxx211内为偶函数，在解一：Rxf)(dxxdxx02211211故原式解二：由定义220arctanxdxxdxx02021111原式dxxdxxbbaa020211lim11limbbaaxx00arctanlimarctanlimbabaarctanlim)arctan(lim2)2(定义2设函数)(xf在区间],(ba上连续，而在点a的右邻域内无界．取0，如果极限badxxf)(lim0存在，则称此极限为函数)(xf在区间],(ba上的广义积分，记作badxxf)(.badxxf)(badxxf)(lim0当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在时，称广义积分发散.二、无界函数的广义积分类似地，设函数)(xf在区间),[ba上连续，而在点b的左邻域内无界.取0，如果极限badxxf)(lim0存在，则称此极限为函数)(xf在区间),[ba上的广义积分，记作badxxf)(badxxf)(lim0.当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在时，称广义积分发散.设函数)(xf在区间],[ba上除点)(bcac外连续，而在点c的邻域内无界.如果两个广义积分cadxxf)(和bcdxxf)(都收敛，则定义badxxf)(cadxxf)(bcdxxf)(cadxxf)(lim0bcdxxf)(lim0否则，就称广义积分badxxf)(发散.定义中c为瑕点，以上积分称为瑕积分.例5计算广义积分).0(022axadxa解,1lim220xaaxax为被积函数的无穷间断点.axadx022axadx0220limaax00arcsinlim0arcsinlim0aa.2例6证明广义积分101dxxq当1q时收敛，当1q时发散.,1)1(q101dxxq101dxx10lnx,,1)2(q101dxxq1011qxq1,111,qqq证因此当1q时广义积分收敛，其值为q11；当1q时广义积分发散.例7计算广义积分.ln21xxdx解21lnxxdx210lnlimxxdx210ln)(lnlimxxd210)ln(lnlimx))1ln(ln()2ln(lnlim0.故原广义积分发散..)1(3032xdx1x瑕点解3032)1(xdx103132)1()(xdx1032)1(xdx10032)1(limxdx33132)1(xdx31032)1(limxdx,2333032)1(xdx).21(33例8计算广义积分注意广义积分与定积分不同，尤其是瑕积分，它与定积分采用同一种表达方式，但其含义却不同，遇到有限区间上的积分时，要仔细检查是否有瑕点。广义积分中，N-L公式，换元积分公式、分部积分公式仍然成立，不过代入上、下限时代入的是极限值。如无穷限积分aaFFdxxf)()()(bFbFdxxf)()()(aavduauvudv)(再如瑕积分)0()()(aFbFdxxfba)()0()(aFbFdxxfbabacabcdxxfdxxfdxxf)()()()()0()0()(aFcFcFbFbabavduabuvudv0)(02)1)(1(1无关并求其值与dxxxI例9。证明证dxxxI02)1)(1(1dxxx