高三数学复习微专题之平面向量篇矩形大法教师

一、知识清单1.极化恒等式：如图，ADABAC2①CBABAC②,则：①𝟐+②𝟐得：ACADBCAB242222；①𝟐-②𝟐得：ACADBCAB4422推广：ACABACBCABABACcosA2222速记方法：ababab4()()22，ababab2()()22222.矩形大法：如图，由极化恒等式可得POBD2PDPB42222①POAC2PAPC42222②因为BD=AC，所以PDPBPAPC2222，速记方法：矩形外一点到矩形对角顶点的平方和相等。推广1：若ABCD为平行四边形，则有PAPCPDPBAC2)(BD222222ACAMBC4422410，且对于边AB上任一点P，恒有PBPCPBPC00。则()A.ABC90B.BAC90C.ABACD.ACBC解析：D为BC中点，由极化恒等式有：PCPDBC4PB422则当PD最小时，PB⃗⃗⃗⃗⃗∙𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗最小，所以过D作AB垂线，垂足即为𝑃0,作AB中点E，则CE⊥AB，即AC=BC。3.已知向量abe,,是平面向量，e是单位向量．beababa()12,3,0,求ab的范围？解析：由beaba()10,得ebea()()0如图，OAaOBbOEe,,，构造矩形ACBE，由矩形大法有OEOCOAOB2222，则OC23，所以ABCEOCOEOCOEab[,][231,231]极化恒等式与矩形大法解析：由极化恒等式有：AB16推广2：若P为平面外一点，上述性质仍成立。二、典型例题1．（）在ABC中，M是BC的中点，AM3，BC10，则ABAC_________．2.（2019）在ABC中,P0是边AB上一定点，满足PBAB4.向量abe,,是平面向量，e是单位向量．beababa()22,3,0,求ab，ab范围？解析：由题得ebea()()1，OAaOBbOEe,,，构造平行四边形ACBE，由极化恒等式：ebeEBECABaEA41()()22由平行四边形大法：OEOCOAOBECAB2()()2222222，即OC10ABECab4[(101)4,(101)4][15210,15210]2222abababab22[101,101]()13()2222三、强化练习1.设正ABC的面积为2，边ABAC,的中点分别为DE,，M为线段DE上的动点，则MBMCBC2的最小值为.2352.ABC外接圆O半径为1，且AOB120，则ACCB的取值范围是.22[,0)(0,]313.已知平行四边形ABCD的面积为6，AB2，点P是平行四边形ABCD所在平面内的一个动点，且满足PC2，则PAPB的最小值.CA．4B．2C．0D．24.如图，C，D以AB为直径的圆O上的动点，已知AB=2，则ACBD的最大值是（）AA.21B.5-3C.22D.3-15.已知ABC，满足ABACABACABACABAC||3219()，点D为线段AB上一动点，若DADC的最小值为3，则ABC的面积S（）DA.9B.93C.18D.1836.记M的最大值和最小值分别为Mmax和Mmin.若平面向量abc,,满足ababcabc222.则（）AAac2.37maxBac2.37maxCac2.37minDac2.37min7.点P是底边长为23高为2的正三棱柱表面上的动点，MN是该棱柱内切球的一条直径，则PMPN的取值范围是.0,48．向量abe,,是平面向量，e是单位向量．若abaebe2,0,则ab的最小值是()AA．71B．71C．3D．379.如图，已知圆O的半径为2，P是圆内一定点，OP=1，圆O上的两动点A，B满足PAPB，存在点C使PACB构成矩形，则OCOP的取值范围是[,]7710.向量abc,,满足cab12,则cacb的最大值是；最小值是.8[,3]1