平面向量系列之极化恒等式

1平面向量系列极化恒等式一、极化恒等式极化恒等式：])()[(4122bababa极化恒等式的几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的41，即：2222||||]|||[|41BMAMBCADba，如图：证明：2222||2||)(||||||bbaabaADbaAD2222||2||)(||||||bbaabaBCbaBC以上两式相减得：22)()(4bababa])()[(4122bababa2二、例题精析1、（2014，浙江高考理）在三角形ABC中，M是BC的中点，AM=3，BC=10，则ACAB=_________[解析]如图所示，由极化恒等式易得：16532222BMAMACAB2、（2016，长春二模）已知AB为圆122yx的一条直径，点P为直线02yx上任意一点，则PBPA的最小值是_______[解析]如图所示，由极化恒等式易知，当OP垂直直线时，PBPA有最小值，即：1122222OBPOPBPA3、（2013，湖州二模）正方体的棱长为2，MN是它的内切球的一条弦，P为正方体表面上的动点，当弦MN的长度最大时，PNPM的取值范围是_______[解析]当弦MN的长度最大时，即MN为圆的直径，由极化恒等式得：当点P在A，C，A1，C1任一点时有最大值，当点P在圆与正方体的切点时有最小值，即：213)(22221maxMOOCPNPM，011)(2222minMOMOPNPM，故]2,0[PNPM。34、（2014，重庆模拟）正ABC边长等于3，点P在其外接圆上运动，则PBAP的取值范围是________[解析]如图所示，取AB中点D，当点P在C点处时，PBAP有最大值，当点P在点C的对称点上时，有最小值。由极化恒等式易得：,23)23()23()(22maxPBPA,21)23()21()(22minPBPA],23,21[PBPA],21,23[PBPAPBAP5、（2016山西太原一模）在锐角三角形ABC中，已知,2||,3ACABB则ACAB的取值范围是______[解析]由题意知，知一边长度和一个角度，可得锐角三角形的两个临界情况，当090A时，由极化恒等式得：,0112222BDADACAB当090C时，由极化恒等式得：,121132222BDADACAB故ACAB的取值范围是)12,0(46、（2017，城区校级月考）已知AB是圆O的直径，AB长为2，C是圆O上异于A，B的一点，P是圆O所在平面上任意一点，则PCPBPA)(的最小值是_________[解析]如图所示，取OC的中点D，连接PD，因为O为AB中点，所以PCPOPCPBPA2)(，由极化恒等式得：,41])2[(41222PDOCPDPCPO因此当P为OC中点时，即0||PD时，PCPBPA)(取得最小值21。7、（2016，温州一模）已知正方形ABCD的面积为2，点P在边AB上，则PCPD的最大值是_________[解析]如图所示，取CD的中点E，连结PE，由极化恒等式可得：21])2[(41222PECDPEPCPD，所以当P与A（B）重合时，25||PE最大，从而2)(maxPCPD