大一上学期同济版高数第四章换元法

1高等数学第二十二讲2二、第二类换元法第二节一、第一类换元法换元积分法第四章3问题的提出：计算dxexdxx32cos32212xdxdxxa利用基本积分的公式和性质计算不定积分是非常有限。本节介绍不定积分的换元积分法（简称换元法）.基本思想是把复合函数的求导法则反过来用于不定积分。利用换元法，可以通过适当的变量代换，把某些不定积分化为积分表中所列的积分形式，从而可以求出不定积分。它的4引例：下列积分是否正确xdxxIcossin2xdxxcos)cos1(2（无法做）xxdsinsin2xusinduu2Cu331Cx3sin31检验：)sin31(3Cxxxcossin2又如：xdxI2cosxx2cos2)2(sinx2cos（不能直接用公式）若直接用公式xdxI2cosCx2sin错！xdxI2cosxxd22cos21Cx2sin21u是复合函数s2cox5一、第一类换元法定理1.,)(有原函数设uf,)(可导xu则有换元公式uufd)()(xu)(d))((xxf(也称配元法即xxxfd)()]([,凑微分法)此方法称为第一类换元积分法。6例1.求不定积分解：)1(2xxee72.求()maxbd()axb解:原式=()maxb1d()axbaa1注:当时)(1baxdadx8221d1xa例2.求解:2)(1axaxda1想到公式21duuCuarctan)(ax9例3.求21duu想到Cuarcsin解:2)(1daxax2)(1)(daxax10Caxaxaln21例4.求解:221ax))((axax)()(axaxa21)11(21axaxa∴原式=a21axxaxxdda21axax)(da21axlnaxlnCaxax)(d11例5.求解:xxxdcossinxxcoscosdxxxsindcosxxsinsind类似12常用的几种配元形式:xbxafd)()1()(dbxaa1xxxfnnd)()2(1nxdn1xxxfnd1)()3(nxdn1nx1万能凑幂法xxxfdcos)(sin)4(xsindxxxfdsin)(cos)5(xcosd13xxxfdsec)(tan)6(2xtandxeefxxd)()7(xedxxxfd1)(ln)8(xlnd例6.求xln21xlnd解:原式=xln2121)ln21(dx14例7.求.d3xxex解:原式=xexd23)3d(323xexCex332例8.求.dsec6xx解:原式=xdxx222sec)1(tanxtandxxxtand)1tan2(tan24x5tan51x3tan32xtanC12dxdxx15例9.求.1dxex解法1xeeexxxd1)1(xdxxee1)1(dxCex)1ln(解法2d1xxexed(1)1xxeeCex)1ln()]1(ln[)1ln(xxxeee两法结果一样16例10.求解法1xxsin11sin1121xxdcos1xx2sin1sindxsindxsin1ln21Cxsin1lnCxxsin1sin1ln21xxxdcoscos217xxtansec解法2xxtansec)tan(secxxxxxxxxdtansectansecsec2)tan(secdxx同样可证xxdcscCxxcotcscln或Cx2tanln(P199例18)18例11dxxx221)(arcsinxdxarcsin)(arcsin2cx3)(arcsin31dxxx221)(arctanxdxarctan)(arctan2cx3)(arctan31xxeedx12xxedxe2)(1xxedecexarctan19注意xdx2sinxdxxcossin2cxxxd2sinsinsin2cxxxd2coscoscos2xxd22sin21cx2cos21xx22cos1sin22cos1cos2xx三个答案之间只相差一个常数例1220222d)(2123xax例13.求.d)(23223xaxx解:原式=23)(22ax22dxx21222)(aax22222)(daxax23)(2222axa)(d22ax21)2cos2cos21(241xx例14.求解:224)(coscosxx2)22cos1(x)2cos21(24cos141xx)4cos2cos2(212341xxxxdcos4xxxd)4cos2cos2(212341xd23)2d(2cosxx)4(d4cos81xx思想方法：降次22例15.求解:xx3cossin22221)]2sin4(sin[xxxxxx2sin2sin4sin24sin24141241)8cos1(81xxx2cos2sin2)4cos1(81x∴原式=xd41)8d(8cos641xx)2(sind2sin221xx)4d(4cos321xx23xexxd)1(例16.求解:原式=xexe)1(1xxxexe)(d)111(xxxexexex)1(1xxxxxexexexexexlnxex1lnCCexxxx1lnln分析:24例17.求解:原式)()(xfxfxxfxfxfxfxfd)()()(1)()(2xxfxfxfxfd)()()()(22Cxfxf2)()(21))()(d(xfxf)()(xfxf25小结常用简化技巧:(1)分项积分:(2)降低幂次:(3)统一函数:利用三角公式;配元方法(4)巧妙换元或配元等xx22cossin1万能凑幂法xxxfnnd)(1nnnxxfd)(1xxxfnd1)(nxnnxxfnd)(11利用积化和差;分式分项;利用倍角公式,如26xdxxInmcossin在中1.若nm,中至少有一个为奇数，则用公式1cossin22xx例如：43sincosxxdx2.若nm,均为偶数，则用公式降阶22cos1cos22cos1sin22xxxx42sin(1sin)sinxxdx273、在xdxxInmsectan或xdxxInmcsccot中当n为奇数时，可把xdxxsectan凑成xdsecxdxxcsccot凑成)csc(xd转化为幂函数的积分。28思考与练习1.下列各题求积方法有何不同?xx4d)1(24d)2(xxxxxd4)3(2xxxd4)4(222d(6)4xx2d(7)4xxx22214)4(dxxxx212132(5)d4xxx29提示:法1原式法2原式法3原式10)x10dx10110(x10dx1012.求法4tx1原式＝30高等数学第二十三讲31二、第二类换元法第一类换元法解决的问题难求易求xxxfd)()]([uufd)()(xu若所求积分xxxfd)()]([易求,则得第二类换元积分法.难求，uufd)(如对：dxaxdxxa2222111dxx22dxxa32定理2.设是单调可导函数,且具有原函数,.)()(1的反函数是其中txxt则有换元公式此方法称为第二类换元积分法。33CxF)()()]([)(ttft定理2.设是单调可导函数,且具有原函数,.)()(1的反函数是其中txxt证:的原函数为设)()]([ttf,)(t令])([)(1xxF则)(xFtddxtdd)()]([ttf)(1t)(xfxxfd)(Cx)]([1Ct][)(1xt)(1d)()]([xttttf则有换元公式34例1.求.)0(d22axxa解:令,),(,sin22ttax则taaxa22222sintacosttaxdcosd∴原式tacosttadcosttadcos22Ca242sin2ttax22xataxarcsinCxax222122atttcossin22sin2axaxa2235例2.求解:令,),(,tan22ttax则22222tanataaxtasecttaxdsecd2∴原式ta2sectasectdttdsec1tanseclnCttax22axtln22ax)ln(1aCCxa1C36例3.求解:,时当ax令,),0(,sec2ttax则22222secataaxtatanxdtttadtansec∴原式tdttatansectatanttdsec1tanseclnCtt22axt1lnC)ln(1aCC22axaxa37,时当ax令,ux,au则于是22dauu122lnCauu122lnCaxx1222lnCaxxa)ln2(1aCC38原式21)1(22ta221a例4.求.d422xxxa解:令,1tx为倒代换则原式ttd12tttad)1(212242112ttaCata2223)1(23当x0时,类似可得同样结果.)1(d22ta39说明：有的不定积分可用几种不同的方法来解。0112xdxxxI例如求解法1令txtan解法2令解法3令tx1tx21tdtxd2sectdtxdxtdtxd21tttdtIsectansec2dttI211221xxxdxItdtcsctttdt1240小结:1.第二类换元法常见类型:,d),()1(xbaxxfn令nbxat,d),()2(xxfndxcbxa令ndxcbxat,d),()3(22xxaxf令taxsin或taxcos,d),()4(22xxaxf令taxtan,d),()5(22xaxxf令taxsec第四节讲412.常用基本积分公式的补充(P205)(7)分母中因子次数较高时,可试用倒代换,d)()6(xafx令xat4243解:原式xxd2)1(122)2()1(dx21arctan21xC(P205公式(20))例5.求例6.求解:223)2()2(d21xxICxx942ln212(P206公式(23))44例7.求解:原式=22)()()(d21x(P206公式(22))2521x例8.求解:原式xxee21dCexarcsin(P206公式(22))45ttttd)1(12132例9.求解:原式1)1()1(d23xxx令tx11tttd122tttd11)1(22ttd12ttd112tttarcsin121221