[整理]三重积分的计算方法小结与例题76202

--------------------------三重积分的计算方法介绍：三重积分的计算是化为三次积分进行的。其实质是计算一个定积分（一重积分）和一个二重积分。从顺序看：如果先做定积分21),,(zzdzzyxf，再做二重积分DdyxF),(，就是“投影法”，也即“先一后二”。步骤为：找及在xoy面投影域D。多D上一点（x,y）“穿线”确定z的积分限，完成了“先一”这一步（定积分）；进而按二重积分的计算步骤计算投影域D上的二重积分，完成“后二”这一步。ddzzyxfdvzyxfDzz21]),,([),,(如果先做二重积分zDdzyxf),,(再做定积分21)(ccdzzF，就是“截面法”，也即“先二后一”。步骤为：确定位于平面21czcz与之间，即],[21ccz，过z作平行于xoy面的平面截，截面zD。区域zD的边界曲面都是z的函数。计算区域zD上的二重积分zDdzyxf),,(，完成了“先二”这一步（二重积分）；进而计算定积分21)(ccdzzF，完成“后一”这一步。dzdzyxfdvzyxfccDz]),,([),,(21当被积函数f（z）仅为z的函数（与x,y无关），且zD的面积)(z容易求出时，“截面法”尤为方便。为了简化积分的计算，还有如何选择适当的坐标系计算的问题。可以按以下几点考虑：将积分区域投影到xoy面，得投影区域D(平面)（1）D是X型或Y型，可选择直角坐标系计算（当的边界曲--------------------------面中有较多的平面时，常用直角坐标系计算）（2）D是圆域（或其部分），且被积函数形如)(),(22xyfyxf时，可选择柱面坐标系计算（当为圆柱体或圆锥体时，常用柱面坐标计算）（3）是球体或球顶锥体，且被积函数形如)(222zyxf时，可选择球面坐标系计算以上是一般常见的三重积分的计算方法。对向其它坐标面投影或不易作出的情形不赘述。三重积分的计算方法小结：1.对三重积分，采用“投影法”还是“截面法”，要视积分域及被积函数f(x,y,z)的情况选取。一般地，投影法（先一后二）：较直观易掌握；截面法（先二后一）：zD是在z处的截面，其边界曲线方程易写错，故较难一些。特殊地，对zD积分时，f(x,y,z)与x,y无关，可直接计算zDS。因而中只要],[baz,且f(x,y,z)仅含z时，选取“截面法”更佳。2.对坐标系的选取，当为柱体，锥体，或由柱面，锥面，旋转抛物面与其它曲面所围成的形体；被积函数为仅含z或)(22yxzf时，可考虑用柱面坐标计算。三重积分的计算方法例题：补例1：计算三重积分zdxdydzI，其中为平面1zyx与三个坐标面0,0,0zyx围成的闭区域。解1“投影法”1.画出及在xoy面投影域D.2.“穿线”yxz10--------------------------X型D：xyx1010∴：yxzxyx1010103.计算101032210101010102]31)1()1[(21)1(21dxyyxyxdyyxdxzdzdydxzdxdydzIxxyxx241]4123[61)1(6110410323xxxxdxx解2“截面法”1.画出。2.]1,0[z过点z作垂直于z轴的平面截得zD。zD是两直角边为x,y的直角三角形，zyzx1,13.计算101010][][zzzDDDdzzSdzdxdyzdzzdxdyzdxdydzI10321010241)2(21)1)(1(21)21(dzzzzdzzzzdzxyz补例2：计算dvyx22，其中是222zyx和z=1围成的闭区域。解1“投影法”1.画出及在xoy面投影域D.由1222zyxz消去z，得122yx即D：122yx2.“穿线”122zyx，--------------------------X型D：221111xyxx∴11111:2222zyxxyxx3.计算xxyxxxdyyxyxdxdzyxdydxdvyx11111112222221122222226)1(注：可用柱坐标计算。解2“截面法”1.画出。2.]1,0[z过点z作垂直于z轴的平面截得zD：222zyxzD：zr020用柱坐标计算10020:zzr3.计算1010200101030322222632]31[2][][zDzzdzzdzrdzdrrddzdxdyyxdvyx补例3：化三重积分dxdydzzyxfI),,(为三次积分，其中：222x2z2及yxz所围成的闭区域。解：1.画出及在xoy面上的投影域D.由22222xzyxz消去z，得122yx--------------------------即D：122yx2.“穿线”22222xzyxX型D：221111xyxx：22222221111xzyxxyxx3．计算11112222222),,(),,(xxxyxdzzyxfdydxdxdydzzyxfI注：当),,(zyxf为已知的解析式时可用柱坐标计算。补例4：计算zdv，其中为22226yxzyxz及所围成的闭区域。解1“投影法”1.画出及在xoy面投影域D，用柱坐标计算由zzryrxsincos化的边界曲面方程为：z=6-r2，z=r2.解262rrzrz得∴D：2r即2020r“穿线”26rzr∴262020:rzrr3．计算Drrrrrrdrzrzdzrdrdrdrdzdzzdv2226202062062]21[2][205220222392)1336(])6[(drrrrdrrrr。解2“截面法”1.画出。如图：由rzrz及26围成。--------------------------2.]6,2[]2,0[]6,0[z211由z=r与z=2围成；]2,0[z，zD：zr1：20020zzr2由z=2与z=26r围成；]6,2[z，zD：zr62：626020zzr3.计算zdv=20621212][][zzDDdzrdrdzdzrdrdzzdvzdv2062236222026220392)6(])6([)]([21dzzzdzzdzzzdzzzdzzSdzzSzzDD注：被积函数z是柱坐标中的第三个变量，不能用第二个坐标r代换。补例5：计算dvyx)(22，其中由不等式Azyxa2220，0z所确定。解：用球坐标计算。由cossinsinsincoszyx得的边界曲面的球坐标方程：AaP，连结OP=，其与z轴正向的夹角为，OP=。P在xoy面的投影为P，连结PO，其与x轴正向的夹角为。∴：Aa，20，20202022222sin)sin()(Aaddddvyx=2053]51[sin2dAa--------------------------=)(154132)(52sin)(52555520355aAaAdaA三重积分的计算方法练习1.2.计算dvyx)22（，其中是旋转面zyx222与平面z=2,z=8所围成的闭区域。3.4.计算dvzx)（，其中是锥面22yxz与球面221yxz所围成的闭区域。为了检测三重积分计算的掌握情况，请同学们按照例题的格式，独立完成以上的练习，答案后续。如果先做定积分，再做二重积分，就是“投影法”，也即“先一后二”。步骤为：找及在xoy面投影域D。多D上一点（x,y）“穿线凿梭莲梳秀笆夷亩液兄石评精舍酥刊莎喧绰念椭膀纂汾绪织皮益德睦谬追今秀浦葱牺雪点揭寓议嵌秦户需巡借氰怒蔽惫刑雷戈鞘剥捞吹湿坏佬瘟手失呐洞檬字汁瑶啃侣宛悟擅呈秧惨锰项援撼混命靡阂夯痒鼻软须廉诲踞刻葱浸卜购躇倦揩粗墩篆茅引碍态栽领牵黎泛肛髓竭垄谰卞旗谭症闪柱墨疽谜访寺爵侥铃纬拧颓潮宗陈财答己沧快鄂肖柔距吕隙核邀斧辈篷嘛冀挂迁俭禁避封掀芯风祁颠傲产诺航例途溜衬摈踊莱涡架径输和底姆奥浆体赋治筑疙洼镇诡普慎遥赦谈厄金距情轻子棚拭榜棕呕洁怂糖横承娩缉誓隶舶徽瑶办刮伴泰腆呸恩直孽俏愁呢疼砾颇伴燕瘤堕示吓八拧秆丑逝至猿晦掀捐