平面向量奔驰定理

平面向量奔驰定理与三角形四心已知O是ABC内的一点，AOBAOCBOC,,的面积分别为AS，BS，CS，求证：0OCSOBSOASCBA如图2延长OA与BC边相交于点D则BCCODACDBODABDCODBODACDBDSSDCBDSSSSSSSSA图1ODBCDCOBBCBDOCCBBSSSOBCBCSSSOCCBACOABOACODBODCOACODBOABODSSSSSSSSSSSOAOD图2CBASSSODOACBASSSOACBBSSSOBCBCSSSOC0OCSOBSOASCBA推论O是ABC内的一点，且0OCOBOAzyx，则zyxSSSAOBCOABOC::::OABCDOABC有此定理可得三角形四心向量式O是ABC的重心1:1:1::AOBCOABOCSSS0OCOBOAO是ABC的内心cbaSSSAOBCOABOC::::0OCOBOAcbaO是ABC的外心CBASSSAOBCOABOC2sin:2sin:2sin::02sin2sin2sinOCCOBBOAAO是ABC的垂心CBASSSAOBCOABOCtan:tan:tan::0tantantanOCCOBBOAAOCABD证明：如图O为三角形的垂心，DBCDBADCDAtan,tanADDBBA:tan:tanCOABOCSS:ADDB:BASSCOABOCtan:tan:同理得CBSSAOBCOAtan:tan:，CASSAOBBOCtan:tan:CBASSSAOBCOABOCtan:tan:tan::奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一4.2三角形“四心”的相关向量问题一．知识梳理：四心的概念介绍：(1)重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1；(2)垂心：高线的交点，高线与对应边垂直；(3)内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等；(4)外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等。与“重心”有关的向量问题1已知G是ABC△所在平面上的一点，若0GAGBGC，则G是ABC△的()．A．重点B．外心C．内心D．垂心如图⑴.A'GCAB2已知O是平面上一定点，ABC，，是平面上不共线的三个点，动点P满足()OPOAABAC，(0)，，则P的轨迹一定通过ABC△的().A．重点B．外心C．内心D．垂心【解析】由题意()APABAC，当(0)，时，由于()ABAC表示BC边上的中线所在直线的向量，所以动点P的轨迹一定通过ABC△的重心，如图⑵.3.O是△ABC所在平面内一点，动点P满足（λ∈（0，+∞）），则动点P的轨迹一定通过△ABC的（）A．内心B．重心C．外心D．垂心图⑴图⑵MPCBAO解：作出如图的图形AD⊥BC，由于sinB=sinC=AD，∴=由加法法则知，P在三角形的中线上故动点P的轨迹一定通过△ABC的重心故选：B．与“垂心”有关的向量问题3P是ABC△所在平面上一点，若PAPCPCPBPBPA，则P是ABC△的()A．重点B．外心C．内心D．垂心【解析】由PAPBPBPC，得()0PBPAPC，即0PBCA，所以PBCA⊥．同理可证PCAB⊥，PABC⊥．∴P是ABC△的垂心．如图⑶.PABC4已知O是平面上一定点，ABC，，是平面上不共线的三个点，动点P满足coscosABACOPOAABBACC，(0)，，则动点P的轨迹一定通过ABC△的()．A．重点B．外心C．内心D．垂心【解析】由题意coscosABACAPABBACC，图⑶图⑷HFEMABCOPBCHA图6由于0coscosABACBCABBACC，即0coscosABBCACBCBCCBABBACC,所以AP表示垂直于BC的向量，即P点在过点A且垂直于BC的直线上，所以动点P的轨迹一定通过ABC△的垂心，如图⑷.5若H为ABC△所在平面内一点，且222222HABCHBCAHCAB则点H是ABC△的()A．重点B．外心C．内心D．垂心证明:2222HAHBCABC()()HAHBBACACBBA得()0HAHBCACBBA即()0HCHCBAABHC同理,ACHBBCHA，故H是△ABC的垂心与“内心”有关的向量问题6已知I为ABC△所在平面上的一点，且ABc，ACb，BCa．若0aIAbIBcIC，则I是ABC△的()．A．重点B．外心C．内心D．垂心ABCOPbacIACB【解析】∵IBIAAB，ICIAAC，则由题意得()0abcIAbABcAC，∵ABACbABcACACABABACACABABAC，∴bcABACAIabcABAC．∵ABAB与ACAC分别为AB和AC方向上的单位向量，∴AI与BAC∠平分线共线，即AI平分BAC．同理可证：BI平分ABC，CI平分ACB．从而I是ABC△的内心，如图⑸.7已知O是平面上一定点，ABC，，是平面上不共线的三个点，动点P满足OPOAACACABAB，(0)，，则动点P的轨迹一定通过ABC△的()．A．重点B．外心C．内心D．垂心【解析】由题意得ABACAPABAC，∴当(0)，时，AP表示BAC的平分线所在直线方向的向量，故动点P的轨迹一定通过ABC△的内心，如图⑹.8若O在△ABC所在的平面内：=，则O是△ABC的（）A．垂心B．重心C．内心D．外心解：∵向量的模等于1，因而向量是单位向量图⑸图⑹OCAB∴向量、和等都是单位向量∴由向量、为邻边构成的四边形是菱形，∵可得AO在∠BAC的平分线上同理可得OB平分∠ABC，OA平分∠ACB，∴O是△ABC的内心．故选：C．与“外心”有关的向量问题8已知O是ABC△所在平面上一点，若222OAOBOC，则O是ABC△的()．A．重点B．外心C．内心D．垂心【解析】若222OAOBOC，则222OAOBOC，∴OAOBOC，则O是ABC△的外心，如图⑺。9已知O是平面上的一定点，ABC，，是平面上不共线的三个点，动点P满足2coscosOBOCABACOPABBACC，(0)，，则动点P的轨迹一定通过图⑺MOBCAP图⑻ABC△的()。A．重点B．外心C．内心D．垂心【解析】由于2OBOC过BC的中点，当(0)，时，coscosABACABBACC表示垂直于BC的向量（注意：理由见二、4条解释。），所以P在BC垂直平分线上，动点P的轨迹一定通过ABC△的外心，如图⑻四心的相互关系1.三角形外心与垂心的向量关系及应用设ABC△的外心为O，则点H为ABC△的垂心的充要条件是OHOAOBOC。2.三角形外心与重心的向量关系及应用设ABC△的外心为O，则点G为ABC△的重心的充要条件是1()3OGOAOBOC3.三角形的外心、重心、垂心的向量关系及应用设ABC△的外心、重心、垂心分别为O、G、H，则O、G、H三点共线（O、G、H三点连线称为欧拉线），且12OGGH。相关题目10．设△ABC外心为O，重心为G．取点H，使．求证：（1）H是△ABC的垂心；（2）O，G，H三点共线，且OG：GH=1：2．【解答】证明：（1）∵△ABC外心为O，∴又∵∴则=•==0即AH⊥BC同理BH⊥AC，CH⊥AB即H是△ABC的垂心；（2）∵G为△ABC的重心∴=3=3+=即=3即O，G，H三点共线，且OH=3OG即O，G，H三点共线，且OG：GH=1：2