待定系数法

中考资源网中考资源网期待您的投稿！[e-mail]-1-【2013年中考攻略】专题2：待定系数法应用探讨锦元数学工作室编辑在数学问题中，若得知所求结果具有某种确定的形式，则可设定一些尚待确定的系数(或参数)来表示这样的结果，这些待确定的系数(或参数)，称作待定系数。然后根据已知条件，选用恰当的方法，来确定这些系数，这种解决问题的方法叫待定系数法。待定系数法是数学中的基本方法之一。它渗透于初中数学教材的各个部分，在全国各地中考中有着广泛应用。应用待定系数法解题以多项式的恒等知识为理论基础，通常有三种方法：比较系数法；代入特殊值法；消除待定系数法。比较系数法通过比较等式两端项的系数而得到方程（组），从而使问题获解。例如：“已知x23=（1A）·x2＋Bx＋C，求A，B，C的值”，解答此题，并不困难，只需将右式与左式的多项式中对应项的系数加以比较后，就可得到A，B，C的值。这里的A，B，C就是有待于确定的系数。代入特殊值法通过代入特殊值而得到方程（组），从而使问题获解。例如：“点（2，﹣3）在正比例函数图象上，求此正比例函数”，解答此题，只需设定正比例函数为y=kx，将（2，﹣3）代入即可得到k的值，从而求得正比例函数解析式。这里的k就是有待于确定的系数。消除待定系数法通过设定待定参数，把相关变量用它表示，代入所求，从而使问题获解。例如：“已知b2a3，求abab的值”，解答此题，只需设定b2=ka3，则a=3kb=2k，，代入abab即可求解。这里的k就是消除的待定参数。应用待定系数法解题的一般步骤是：（1）确定所求问题的待定系数，建立条件与结果含有待定的系数的恒等式；（2）根据恒等式列出含有待定的系数的方程（组）；（3）解方程（组）或消去待定系数，从而使问题得到解决。在初中阶段和中考中应用待定系数法解题常常使用在代数式变型、分式求值、因式分解、求函数解析式、求解规律性问题、几何问题等方面。下面通过2011年和2012年全国各地中考的实例探讨其应用。一.待定系数法在代数式变型中的应用：在应用待定系数法解有关代数式变型的问题中，根据右式与左式多项式中对应项的系数相等的原理列出方程（组），解出方程（组）即可求得答中考资源网中考资源网期待您的投稿！[e-mail]-2-案。典型例题：例：（2011云南玉溪3分）若2x6xk是完全平方式，则k=【】A．9B．－9C．±9D．±3【答案】A。【考点】待定系数法思想的应用。【分析】设22x6xk=x+A，则222x6xk=x2AxA，∴22A=6A=3k=9A=k。故选A。练习题：1.（2012江苏南通3分）已知x2＋16x＋k是完全平方式，则常数k等于【】A．64B．48C．32D．162.（2012贵州黔东南4分）二次三项式x2﹣kx+9是一个完全平方式，则k的值是▲。3.（2011江苏连云港3分）计算(x＋2)2的结果为x2＋□x＋4，则“□”中的数为【】A．－2B．2C．－4D．44.（2011湖北荆州3分）将代数式2x4x1化成2(xp)q的形式为【】A.2(x2)3B.2(x2)4C.2(x2)5D.2(x4)4二.待定系数法在分式求值中的应用：在一类分式求值问题中，已知一比例式求另一分式的值，可设定待定参数，把相关变量用它表示，代入所求分式，从而使问题获解。典型例题：例：（2012四川凉山4分）已知b5a13，则abab的值是【】A．23B．32C．94D．49【答案】D。【考点】比例的性质。【分析】∵b5a13，∴设b5ka13，则b=5k，a=13k，把a，b的值代入abab，得，ab13k5k8k4===ab13k5k18k9。故选D。练习题：中考资源网中考资源网期待您的投稿！[e-mail]-3-1.（2012北京市5分）已知ab=023，求代数式5a2b(a2)(a+2b)(a2b)b－的值。2.（2011四川巴中3分）若a22ab3，则ba=▲。三.待定系数法在因式分解中的应用：在因式分解问题中，除正常应用提取公因式法、应用公式法、十字相乘法、分组分解法等解题外还可应用待定系数法求解，特别对于三项以上多项式的分解有很大作用（如：x3－6x2+11x－6，223x5xy2yx9y4，目前这类考题很少，但不失为一种有效的解题方法）。典型例题：例1：（2012湖北黄石3分）分解因式：2xx2＝▲。【答案】（x－1）（x＋2）。【考点】因式分解。【分析】设2xx2xAxB，∵2xAxBxABxAB，AB=1AB=2，解得A=1B=2或A=2B=1，∴2xx2=x1x2。〖注：本题实际用十字相乘法解题更容易，但作为一种解法介绍于此。〗例2：分解因式：223x5xy2yx9y4▲。【答案】3xy4x2y1。【考点】因式分解。【分析】∵223x5xy2y3xyx2y，∴可设223x5xy2yx9y43xyax2yb。∵223xyax2yb3x5xy2ya3bx(2ab)yab，∴22223x5xy2yx9y43x5xy2ya3bx(2ab)yab。比较两边系数，得a3b=12ab=9ab=4①②③。联立①，②得a=4，b=－1。代入③式适合。中考资源网中考资源网期待您的投稿！[e-mail]-4-∴223x5xy2y3xy4x2y1。练习题：1.（2012四川南充3分）分解因式：2x4x12=▲。2.（2012山东潍坊3分）分解因式：x3—4x2—12x=▲。3.（2011贵州黔东南4分）分解因式：822xx▲。四.待定系数法在求函数解析式中的应用：待定系数法是解决求函数解析式问题的常用方法，求函数解析式是初中阶段待定系数法的一个主要用途。确定直线或曲线方程就是要确定方程中x的系数与常数，我们常常先设它们为未知数，根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，将已知的条件代入方程，求出待定的系数与常数。这是平面解析几何的重要内容，是求曲线方程的有效方法。初中阶段主要有正比例函数、一次函数、反比例函数、二次函数这几类函数，前面三种分别可设y=kx，y=kx+b，kyx的形式(其中k、b为待定系数，且k≠0)。而二次函数可以根据题目所给条件的不同，设成一般式y=ax2+bx+c(a、b、c为待定系数)，顶点式y=a(x－h)2+k(a、k、h为待定系数)，交点式y=a(x－x1)(x－x2)(a、x1、x2为待定系数)三类形式。根据题意(可以是语句形式，也可以是图象形式)，确定出a、b、c、k、x1、x2等待定系数，求出函数解析式。典型例题：例1：（2012江苏南通3分）无论a取什么实数，点P(a－1，2a－3)都在直线l上，Q(m，n)是直线l上的点，则(2m－n＋3)2的值等于▲．【答案】16。【考点】待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，求代数式的值。【分析】∵由于a不论为何值此点均在直线l上，∴令a=0，则P1（－1，－3）；再令a=1，则P2（0，－1）。设直线l的解析式为y=kx+b（k≠0），∴kb3b1，解得k2b1。∴直线l的解析式为：y=2x－1。∵Q（m，n）是直线l上的点，∴2m－1=n，即2m－n=1。中考资源网中考资源网期待您的投稿！[e-mail]-5-∴(2m－n＋3)2=（1+3）2=16。例2：（2012山东聊城7分）如图，直线AB与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，﹣2）．（1）求直线AB的解析式；（2）若直线AB上的点C在第一象限，且S△BOC=2，求点C的坐标．【答案】解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，∵直线AB过点A（1，0）、点B（0，﹣2），∴kb0b=2，解得k2b=2。∴直线AB的解析式为y=2x﹣2。（2）设点C的坐标为（x，y），∵S△BOC=2，∴12•2•x=2，解得x=2。∴y=2×2﹣2=2。∴点C的坐标是（2，2）。【考点】待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。【分析】（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，将点A（1，0）、点B（0，﹣2）分别代入解析式即可组成方程组，从而得到AB的解析式。（2）设点C的坐标为（x，y），根据三角形面积公式以及S△BOC=2求出C的横坐标，再代入直线即可求出y的值，从而得到其坐标。例3：（2012湖南岳阳8分）游泳池常需进行换水清洗，图中的折线表示的是游泳池换水清洗过程“排水﹣﹣清洗﹣﹣灌水”中水量y（m3）与时间t（min）之间的函数关系式．（1）根据图中提供的信息，求整个换水清洗过程水量y（m3）与时间t（min）的函数解析式；（2）问：排水、清洗、灌水各花多少时间？中考资源网中考资源网期待您的投稿！[e-mail]-6-【答案】解：（1）排水阶段：设解析式为：y=kt+b，∵图象经过（0，1500），（25，1000），∴b=150025k+b=1000，解得：k=20b=1500。∴排水阶段解析式为：y=﹣20t+1500。清洗阶段：y=0。灌水阶段：设解析式为：y=at+c，∵图象经过（195，1000），（95，0），∴195a+c=100095a+c=0，解得：a=10b=950。∴灌水阶段解析式为：y=10t﹣950。（2）∵排水阶段解析式为：y=﹣20t+1500，∴令y=0，即0=﹣20t+1500，解得：t=75。∴排水时间为75分钟。清洗时间为：95﹣75=20（分钟），∵根据图象可以得出游泳池蓄水量为1500m3，∴1500=10t﹣950，解得：t=245。故灌水所用时间为：245﹣95=150（分钟）。【考点】一次函数的应用，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。【分析】（1）根据图象上点的坐标利用待定系数法分别得出排水阶段解析式，以及清洗阶段：y=0和灌水阶段解析式即可。（2）根据（1）中所求解析式，即可得出图象与x轴交点坐标，即可得出答案。例4：（2012湖南娄底3分）已知反比例函数的图象经过点（﹣1，2），则它的解析式是【】A．1y2xB．2yxC．2yxD．1yx中考资源网中考资源网期待您的投稿！[e-mail]-7-【答案】B。【考点】待定系数法求反比例函数解析式，曲线上点的坐标与方程的关系。【分析】设反比例函数图象设解析式为kyx，将点（﹣1，2）代入kyx得，k=﹣1×2=﹣2。则函数解析式为2yx。故选B。例5：（2012江苏连云港12分）如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点O为坐标原点，点D为抛物线的顶点，点E在抛物线上，点F在x轴上，四边形OCEF为矩形，且OF＝2，EF＝3，(1)求抛物线所对应的函数解析式；(2)求△ABD的面积；(3)将△AOC绕点C逆时针旋转90°，点A对应点为点G，问点G是否在该抛物线上？请说明理由．【答案】解：(1)∵四边形OCEF为矩形，OF＝2，EF＝3，∴点C的坐标为(0，3)，点E的坐标为(2，3)．把x＝0，y＝3；x＝2，y＝3分别代入y＝－x2＋bx＋c，得c=34+2b+c=3，解得b=2c=3。∴抛物线所对应的函数解析式为y＝－x2＋2x＋3。(2)∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，∴抛物线的顶点坐标为D(1，4)。∴△ABD中AB边的高为4。令y＝0，得－x2＋2x＋3