512012高三数学一轮复习 6-2 平面向量基本定理及坐标

6-2平面向量的基本定理及其坐标表示友好三中数学备课组学习目标•1、知识与技能•了解向量的夹角与垂直的概念，会把向量正交分解，理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，掌握向量的四种坐标运算。•2、过程与方法•理解平面向量基本定理，能够在具体问题中适当地选取基底，表示二维平面内的任意一个向量。体会一维向量用数乘运算，二维向量用数乘和运算的思想。•3、情感、态度与价值观•通过向量的学习与应用，体会数学数形结合思想。重点与难点1、重点：平面向量基本定理，向量的夹角与垂直的定义，平面向量的正交分解，平面向量的坐标表示。2、难点：平面向量基本定理的应用。1.两个向量的夹角(1)定义已知两个向量a和b，作OA=a,OB=b，则∠AOB=θ叫做向量a与b的夹角(如图).非零知识衔接(2)范围向量夹角θ的范围是,a与b同向时,夹角θ=;a与b反向时,夹角θ=.(3)向量垂直如果向量a与b的夹角是,则a与b垂直,记作.2.平面向量基本定理及坐标表示(1)平面向量基本定理如果e1,e2是同一平面内的两个向量,那么对于平0°≤θ≤180°0°180°90°a⊥b不平行面内的任意向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=.其中,不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组.(2)平面向量的正交分解把一个向量分解为两个的向量,叫做把向量正交分解.(3)平面向量的坐标表示λ1e1+λ2e2基底互相垂直①在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底.对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x,y，使得a=xi+yj.把有序数对叫做向量a的坐标,记作a=,其中叫做a在x轴上的坐标,叫做a在y轴上的坐标.②设OA=xi+yj,则就是终点A的坐标,即若OA=(x,y),则A点坐标为,反之亦成立(O是坐标原点).(x,y)(x,y)(x,y)向量OA的坐标(x,y)xy•3．平面向量的坐标运算•(1)加法、减法、数乘运算向量aba＋ba－bλa坐标(x1，y1)(x2，y2)(x1＋x2，y1＋y2)(x1－x2，y1－y2)(λx1，λy1)(2)向量坐标的求法已知A(x1,y1),B(x2,y2),则AB=（x2-x1,y2-y1)，即一个向量的坐标等于该向量的坐标减去的坐标.(3)平面向量共线的坐标表示设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0,则a与b共线a=.x1y2-x2y1=0终点始点⇔⇔λb1．已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2)，B(－1，－2)，C(3,1)，且BC→＝2AD→，则顶点D的坐标为()A．(2，72)B．(2，－12)C．(3,2)D．(1,3)解析：设D(x，y)，AD→＝(x，y－2)，BC→＝(4,3)，又BC→＝2AD→，∴4＝2x，3＝2y－2，∴x＝2，y＝72.故选A.答案：A3．若点O(0,0)，A(1,2)，B(－1,3)，且OA′→＝2OA→，OB→′＝3OB→，则点A′的坐标为________，点B′的坐标为________，向量A′B′→的坐标为________．解析：∵O(0,0)，A(1,2)，B(－1,3)，∴OA→＝(1,2)，OB→＝(－1,3)，OA→′＝2×(1,2)＝(2,4)，OB→′＝3×(－1,3)＝(－3,9)．∴A′(2,4)，B′(－3,9)，A′B′→＝(－3－2,9－4)＝(－5,5)．答案：(2,4)(－3,9)(－5,5)4．已知点A(1，－2)，若点A、B的中点坐标为(3,1)且AB→与向量a＝(1，λ)共线，则λ＝________.解析：由A、B的中点坐标为(3,1)可知B(5,4)，所以AB→＝(4,6)，又∴AB→∥a，∴4λ－1×6＝0，∴λ＝32.如右图，在△ABC中，点M是边BC的中点，点N在边AC上，且AN=2NC.AM与BN相交于点P，求AP:PM的值.【分析】本题可先利用平面向量基本定理设出，然后利用共线向量的条件列出方程组，从而确定参数的值.考点一平面向量基本定理的应用【解析】设BM=e1,CN=e2,则AM=AC+CM=-3e2-e1,BN=BC+CN=2e1+e2.∵A,P,M和B,P,N分别共线,∴存在实数λ,μ使AP=λAM=-λe1-3λe2,BP=μBN=2μe1+μe2,故BA=BP-AP=(λ+2μ)e1+(3λ+μ)e2.而BA=BC+CA=2e1+3e2,λ+2μ=2λ=3λ+μ=3,μ=.故AP=AM,即AP:PM=4:1.由基本定理，得解得{{545354【评析】（1）充分挖掘题目中的有利条件，本题中两次使用三点共线.注意方程思想的应用.（2）应注意平面几何中，平行线截线段成比例在此类问题中的应用.（3）用基底表示向量也是用向量解决问题的基础.应根据条件灵活应用，熟练掌握.＊变式训练1＊设OA,OB不共线，P点在AB上,求证:OP=λOA+μOB且λ+μ=1(λ,μ∈R).证明:∵P点在AB上，∴AP与AB共线.∴AP=tAB(t∈R).∴OP=OA+AP=OA+tAB=OA+t(OB-OA)=(1-t)OA+tOB.令λ=1-t，μ=t，则有OP=λOA+μOB,λ+μ=1(λ,μ∈R).已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4).设AB=a,BC=b,CA=c,且CM=3c,CN=-2b.(1)求3a+b-3c;(2)求满足a=mb+nc的实数m,n;(3)求M,N的坐标及向量MN的坐标.【分析】利用向量的坐标运算及向量的坐标与其起点、终点坐标的关系求解.考点二平面向量的坐标运算【解析】由已知得a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8).(1)3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8)=(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42).(2)∵mb+nc=(-6m+n,-3m+8n),-6m+n=5m=-1-3m+8n=-5,n=-1.解得∴{{【评析】向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行.若已知有向线段两端点的坐标,则应先求出向量的坐标,解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则.(3)∵CM=OM-OC=3c,∴OM=3c+OC=(3,24)+(-3,-4)=(0,20).∴M(0,20).又∵CN=ON-OC=-2b,∴ON=-2b+OC=(12,6)+(-3,-4)=(9,2),∴N(9,2).∴MN=(9,-18).•变式训练2已知向量a＝(1,2)，b＝(x,1)，u＝a＋2b，v＝2a－b，且u∥v，求实数x的值．•解：因为a＝(1,2)，b＝(x,1)，u＝a＋2b，v＝2a－b，•所以u＝(1,2)＋2(x,1)＝(2x＋1,4)，•v＝2(1,2)－(x,1)＝(2－x,3)，•又因为u∥v，所以3(2x＋1)－4(2－x)＝0，•即10x＝5，解得x＝2.例3、在△OAB中，OC→＝14OA→，OD→＝12OB→，AD与BC交于点M，设OA→＝a，OB→＝b，以a、b为基底表示OM→.考点三平面向量解决共线问题思路分析：显然a，b不共线，故可设OM→＝ma＋nb，由A、M、D三点共线及B、M、C三点共线利用向量共线条件求解．解：设OM→＝ma＋nb(m，n∈R)，则AM→＝OM→－OA→＝(m－1)a＋nb，AD→＝OD→－OA→＝12b－a因为A、M、D三点共线，所以m－1－1＝n12，即m＋2n＝1，又CM→＝OM→－OC→＝(m－14)a＋nb，CB→＝OB→－OC→＝－14a＋b，因为C、M、B三点共线，所以m－14－14＝n1，即4m＋n＝1由m＋2n＝14m＋n＝1，解得m＝17n＝37，所以OM→＝17a＋37b.达标训练如右图所示，已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，求AC和OB交点P的坐标．解法一：设OP→＝tOB→＝t(4,4)＝(4t,4t)，则AP→＝OP→－OA→＝(4t,4t)－(4,0)＝(4t－4,4t)，AC→＝(2,6)－(4,0)＝(－2,6)．由AP→，AC→共线的充要条件知(4t－4)×6－4t×(－2)＝0，解得t＝34.∴OP→＝(4t,4t)＝(3,3)．∴P点坐标为(3,3)．解法二：设P(x，y)，则OP→＝(x，y)，OB→＝(4,4)．∵OP→，OB→共线，∴4x－4y＝0.①又CP→＝(x－2，y－6)，CA→＝(2，－6)，且向量CP→、CA→共线．∴－6(x－2)＋2(6－y)＝0.②解①②组成的方程组，得x＝3，y＝3，∴点P的坐标为(3,3)．【例4】已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，其准线与x轴交于点A，过点A且斜率为k的直线l与抛物线C交于P，Q两点．求满足FR→＝FP→＋FQ→的点R的轨迹方程．解：易知A(－14，0)，故直线l的方程为y＝k(x＋14)．由y2＝xy＝kx＋14，得y2－1ky＋14＝0，由Δ0，得－1k0或0k1.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则y1＋y2＝1k，y1y2＝14，x1x2＝(y1y2)2＝116，x1＋x2＝1k(y1＋y2)－12＝1k2－12.易知F(14，0)．设R(x，y)，由FR→＝FP→＋FQ→，得x－14＝x1－14＋x2－14y＝y1＋y2，即x＝1k2－34y＝1k，消去k，得x＝y2－34(y－1或y1)，此即点R的轨迹方程．•向量的工具性在解析几何中可以得到充分地体现，因此，近年的高考中常有解析几何与平面向量交汇的题目．向量的坐标运算在解析几何中的应用主要体现在：用向量给出的条件可以转化为向量的坐标的关系，而向量的坐标与曲线上点的坐标往往具有内在的联系，将这种内在的联系挖掘出来，也就找到了解题的思路．解析几何中的平行，求轨迹方程，求最值等问题都可以很容易地与平面向量结合起来，而向量的坐标运算也可以使这些问题的求解过程变得简单易行.•在平面向量基本定理的学习中，要注意定理的应用条件，e1、e2是一组不共线向量，当基底确定后，这种表示是唯一的．而对于基底的选取却不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量，都可以作为一组基底．平面向量基本定理是平面向量的重要内容，它是向量运算数量化、代数化的依据，为后面的学习奠定了基础．