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第一次作业：练习一之1、2、3题1.1离散随机变量X由0，1，2，3四个样本组成，相当于四元通信中的四个电平，四个样本的取值概率顺序为1/2，1/4，1/8，和1/8。求随机变量的数学期望和方差。解：875.087813812411210)(][41==×+×+×+×===∑=iiixXPxXE81)873(81)872(41)871(21)870(])[(][2224122×−+×−+×−+×−=−=∑=iiiPXExXD109.16471==1.2设连续随机变量X的概率分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥≤−+=21201)](2πΑsin[0.500)(xxxxxF求（1）系数A；（2）X取值在（0.5，1）内的概率)15.0(xP。解：⎪⎩⎪⎨⎧≤−π==其他0201)](2π[cos2)()(xxAdxxdFxf由1)(=∫∞∞−dxxf得2A021)](2πAsin[1)]d(2π[cos2=−=−π∫∞∞−xxxA21A=35.042)]15.0(2[sin21)]11(2[sin21)5.0(F)1(F)15.0(==−π−−π=−=xP1.3试确定下列各式是否为连续随机变量的概率分布函数，如果是概率分布函数，求其概率密度。（1）⎪⎩⎪⎨⎧≥−=−000e1)(2xxxFx（2）⎪⎩⎪⎨⎧≥≤=1110Α00)(2xxxxxF（3）0)]()([)(−−=aaxuxuaxxF（4）0)()()(−−−=aaxuaxaxuaxxF解：（1）⎪⎩⎪⎨⎧≥−=−000e1)(2xxxFx当时，对于，有，是单调非减函数；0≥x12xx≥)()(12xFxF≥)(xF1)(0≤≤xF成立；)()(xFxF=+也成立。所以，是连续随机变量的概率分布函数。)(xF求得，⎪⎩⎪⎨⎧≥==−00021)()(2xxedxxdFxfx（2）⎪⎩⎪⎨⎧≥≤=1110Α00)(2xxxxxF在A0时，对于，有，是单调非减函数；12xx≥)()(12xFxF≥)(xF欲使1)(0≤≤xF和成立，必须使A=1。)()(xFxF=+所以，在A=1时，是连续随机变量的概率分布函数。)(xF同理，⎩⎨⎧≥==00012)()(xxAxdxxdFxf欲满足，也必须使A=1。1)(=∫∞∞−dxxf所以，⎩⎨⎧≥==00012)(xxxxf（3）0)]()([)(−−=aaxuxuaxxF上式可改写为000)]()([)(⎪⎩⎪⎨⎧≤−−=aaxaxuxuaxxF其他对于，不成立。12xax)()(12xFxF≥所以，不是连续随机变量的概率分布函数。)(xF（4）0)()()(−−−=aaxuaxaxuaxxF0)()]()([−−−+=aaxuaxuxuax0120100⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤−≤=axaxaaxxax当xa时，不满足1)(0≤≤xF，所以不是连续随机变量的概率分布函数。)(xF第二次作业：练习一之4、5、6、7题1.4随机变量X在[α，β]上均匀分布，求它的数学期望和方差。解：因X在[α，β]上均匀分布⎪⎩⎪⎨⎧β≤≤αα−β=其他下01)(xf∫∫βα∞∞β+α=α−β==2dd)(]E[-xxxxxfX)2(31dd)(]E[222-22β+β+α=α−β==∫∫βα∞∞xxxxfxX222-2)(121])X[E(]X[Ed)(])X[E(]D[α−β=−=−=∫∞∞xxfxX1.5设随机变量X的概率密度为，求Y=5X+1的概率密度函数。⎩⎨⎧≤=其他0101)(xxfX解：反函数X=h(y)=(Y-1)/5h′(y)=1/51≤y≤6fY(y)=fX(h(y))｜h′(y)∣=1×1/5=1/5于是有⎩⎨⎧≤≤=其他0615/1)(yyfY1.6设随机变量上均匀分布，且互相独立。若,求]b,a[,,,21在nXXX⋅⋅⋅∑==n1iiXY（1）n=2时，随机变量Y的概率密度。（2）n=3时，随机变量Y的概率密度。解：nibxaabxfii,,2,101)(⋅⋅⋅=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤−=其它n=2时，)()()(21yfyfyfXXY∗=111)()()(21dxxyfxfyfXXY∫∞∞−−=∫−⋅−=badxabab111ab−=1同理，n=3时，)(yfYab−=11.7设随机变量X的数学期望和方差分别为m和σ，求随机变量的数学期望、方差及X和Y的相关矩。23−−=XY解：数学期望：23][−−=mYE方差：σ=−σ−=90)3(][2YD]23[)]23([][2XXEXXEXYERXY−−=−−==222])[(][][mXEXDXE+σ=+=相关矩：mmRXY2332−−−=σ第三次作业：练习一之9、10、11题1.9随机变量X和Y分别在[0,a]和[0,2π]上均匀分布，且互相独立。对于，证明：ababYbxPπ2)cos(=证：rv.X和Y分别在[0,a]和[0,2π]上均匀分布有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤=其它001)(axaXf和⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤=其它0202)(ππyYf⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤⇒⎭⎬⎫≤20cos0coscosπyybxabybYbxYbxcos)20,cos0()cos(π≤≤≤=yybxpybxp∫∫=2/0cos0),(πybdxdyyxfdy∫∫=2/0cos0)()(πybdxdyyfxfdy因为rv.X和Y相互独立∫∫⋅=2/0cos021ππybdxdyady∫⋅=2/0cos2ππydyababπ2=命题得证1.10已知二维随机变量（）的联合概率密度为，随机变量（）与随机变量（）的关系由下式唯一确定21,XX),(2121xxfXX21,XX21,YY⎩⎨⎧+=+=2111221111YdYcXYbYaX⎩⎨⎧+=+=212211dXcXYbXaXY证明：（）的联合概率密度为21,YY),(1),(21112111212121ydycybyafbcadyyfXXYY++−=证：做由到的二维变换),(2121yyfYY),(2121xxfXX),(2121xxfXX=J),(2121yyfYY),(2121yyfYY=J1),(2121xxfXXbcaddcbaxyxyxyxyJ−==∂∂∂∂∂∂∂∂=22122111),(1),(21112111212121ydycybyafbcadyyfXXYY++−=1.11随机变量X,Y的联合概率密度为2,0)sin(),(π≤≤+=yxyxAyxfXY求：（1）系数A；（2）X,Y的数学期望；（3）X,Y的方差；（4）X,Y的相关矩及相关系数。解：（1）∫∫∫∫∫∫∫∫+=+=∞∞−∞∞−202020202020sincoscossin)sin(),(ππππππydyxdxAydyxdxAdxdyyxAdxdyyxfXY12==A21=A（2）ydyxydyxdyyxdyyxfxfXYXsincos21cossin21)sin(21),()(202020∫∫∫∫+=+==∞∞−πππ)cos(sin21xx+=同理)cos(sin21)(yyxfY+=∫∫∫∫+−=+=+==2020202020sin21cos21cos21sin21)cos(sin21ππππyydyydydyyydyydyyyymmYX∫π∫∫−++−=2020sin2102sin21cos2102cos21ππππydyyyydyyy4π=（3）∫∫+−−=+−==202022)4cos()4(22)cos(sin21)4(][][πππππydydyyyyYDXDdyyyyy∫+−++−−=202)4cos()4(22202)4cos()4(22ππππππ∫+−+=202)4sin()4(216ππππydyydyyy∫+−+−+=202)4sin(202)4sin()4(216ππππππ22162−+=ππ（4）相关矩∫∫∫∫−=+===2020202012)sin(21),(][πππππdxdyyxxydxdyyxxyfXYERXYXY协方差1162][][2−−=−=ππYEXERCXYXY相关系数32816822−++−−==ππππσσYXXYXYCr第四次作业：练习一之12、13、14、15题1.12求随机变量X的特征函数，已知随机变量X的概率密度02)(≥=−xexfxXα解：∫∞∞−=dxexfΦxjXXωω)()(∫∞∞−−=dxeetuxjxωα)(2利用傅氏变换：ωααjetut+−1~)(ωαωjΦX−=2)(1.13已知随机变量X服从柯西分布221)(xxfX+=ααπ，求他的特征函数。解：∫∞∞−=dxexfΦxjXXωω)()(∫∞∞−+=dxexxjωααπ22221利用傅氏变换：ωααα−+ex~222ωαω−=eΦX)(1.14求概率密度为xXexf−=21)(的随机变量X的特征函数。解：∫∞∞−=dxexfΦxjXXωω)()(∫∞∞−−=dxeexjxω21利用傅氏变换：xeαωαα−+~222211)(ωω+=XΦ1.15已知相互独立的随机变量X1，X2，X3，…，Xn的特征函数，求X1，X2，X3，…，Xn线性组合的特征函数。a∑=+=niiicXaY1i和c是常数。解：互相独立随机变量之和的特征函数等于各随机变量特征函数之积。][)]}({exp[)(11∏∑===+=niXajcjniiiYiieEecXajEωωωωφ第五次作业：练习二之1、2、3、4、5题2.1随机过程tBtAtXωωsincos)(+=，其中ω为常数，A、B是两个相互独立的高斯变量，并且，。求X(t)的数学期望和自相关函数。0][][==BEAE222][][σ==BEAE解：]sin[]cos[]sincos[)]([tBEtAEtBtAEtXEωωωω+=+=tBEtAEωωsin][cos][+=0=（0][][==BEAE）)]sincos)(sincos[()]()([),(22112121tBtAtBtAEtXtXEttRXωωωω++==]sinsincossinsincoscoscos[2122121212ttBttABttABttAEωωωωωωωω+++=2122121212sinsin][cossin][][sincos][][coscos][ttBEttBEAEttBEAEttAEωωωωωωωω+++=212212sinsin][coscos][ttBEttAEωωωω+=（）22])[(][][XEXDXE+=)(cos122tt−=ωσ)(cos2τωσ=（12tt−=τ）2.2若随机过程X(t)在均方意义下连续，证明它的数学期望也必然连续。证：由均方连续的定义0])()([lim20=−Δ+→ΔtXttXEt，展开左式为：)]()()()()()([lim220tXtXttXtXttXttXEt+Δ+−Δ+−Δ+→Δ=0))]()()((([))]()()((([{lim0=−Δ+−−Δ+Δ+→ΔtXttXtXEtXttXttXEt固有，证得数学期望连续。0)]([)]([lim0=−Δ+→ΔtXEttXEt2.3证明随机过程存在均方导数的充分条件是：自相关函数在他的自变量相等时存在二阶偏导数2121212),(ttttttR=∂∂∂。证：12121101212110121)]()([)]()([lim),(),(lim),(11ttXtXEtXttXEtttRtttRtttRtXtΔ−Δ+=Δ−Δ+=∂∂→Δ→Δ1111201212110)}]()(){([lim)]()()()([lim11ttXttXtXEttXtXtXttXEttΔ−Δ+=Δ−Δ+=→Δ→Δ211112111220,021212)}]()(){([)}]()(){([lim),(21tttXttXtXEtXttXttXEttttRttΔΔ−Δ+−−Δ+Δ+=∂∂∂→Δ→Δ])}()()}{()({[lim211112220,021tttXttXtXt