随机信号分析实验

1实验一随机序列的产生及数字特征估计一、实验目的1、学习和掌握随机数的产生方法；2、实现随机序列的数字特征估计。二、实验原理1.随机数的产生随机数指的是各种不同分布随机变量的抽样序列（样本值序列）。进行随机信号仿真分析时，需要模拟产生各种分布的随机数。在计算机仿真时，通常利用数学方法产生随机数，这种随机数称为伪随机数。伪随机数是按照一定的计算公式产生的，这个公式称为随机数发生器。伪随机数本质上不是随机的，而且存在周期性，但是如果计算公式选择适当，所产生的数据看似随机的，与真正的随机数具有相近的统计特性，可以作为随机数使用。(0，1)均匀分布随机数是最最基本、最简单的随机数。(0，1)均匀分布指的是在[0，1]区间上的均匀分布，即U(0，1)。实际应用中有许多现成的随机数发生器可以用于产生(0，1)均匀分布随机数，通常采用的方法为线性同余法，公式如下：NyxNkyModyynnnn/))((110，（1.1）序列nx为产生的(0，1)均匀分布随机数。下面给出了上式的3组常用参数：(1)7101057k10，周期，N；(2)（IBM随机数发生器）8163110532k2，周期，N；(3)（ran0）95311027k12，周期，N；由均匀分布随机数，可以利用反函数构造出任意分布的随机数。定理1.1若随机变量X具有连续分布函数FX(x)，而R为(0，1)均匀分布随机变量，则有2)(1RFXx（1.2）由这一定理可知，分布函数为FX(x)的随机数可以由(0，1)均匀分布随机数按上式进行变换得到。2.MATLAB中产生随机序列的函数(1)(0，1)均匀分布的随机序列函数：rand用法：x=rand(m,n)功能：产生m×n的均匀分布随机数矩阵。(2)正态分布的随机序列函数：randn用法：x=randn(m,n)功能：产生m×n的标准正态分布随机数矩阵。如果要产生服从2N(,)分布的随机序列，则可以由标准正态随机序列产生。(3)其他分布的随机序列MATLAB上还提供了其他多种分布的随机数的产生函数，下表列出了部分函数。MATLAB中产生随机数的一些函数表1.1MATLAB中产生随机数的一些函数3、随机序列的数字特征估计对于遍历过程，可以通过随机序列的一条样本函数来获得该过程的统计特性。这里我们假定随机序列X(n)为遍历过程，样本函数为x(n)，其中3n=0,1,2，…，N-1。那么，X(n)的均值、方差和自相关函数的估计为利用MATLAB的统计分析函数可以分析随机序列的数字特征。(1)均值函数函数：mean用法：m=mean(x)功能：返回按上面第一式估计X(n)的均值，其中x为样本序列x(n)。(2)方差函数函数：var用法：sigma2=var(x)功能：返回按上面第二式估计X(n)的方差，其中x为样本序列x(n)，这一估计为无偏估计。(3)互相关函数函数：xcorr用法：c=xcorr(x,y)c=xcorr(x)c=xcorr(x,y,'opition')c=xcorr(x,'opition')功能：xcorr(x,y)计算X(n)与Y(n)的互相关，xcorr(x)计算X(n)的自相关。option选项可以设定为：'biased'有偏估计，即(1.6)'unbiased'无偏估计，即按(1.5)式估计。4'coeff'm=0时的相关函数值归一化为1。'none'不做归一化处理。三、实验内容1.采用线性同余法产生均匀分布随机数1000个，计算该序列均值和方差与理论值之间的误差大小。改变样本个数重新计算。实验代码：num=input('Num=');N=2^31;k=2^16+3;Y=zeros(1,num);X=zeros(1,num);Y(1)=1;fori=2:numY(i)=mod(k*Y(i-1),N);endX=Y/N;a=0;b=1;m0=(a+b)/2;sigma0=(b-a)^2/12;m=mean(X);sigma=var(X);delta_m=abs(m-m0);delta_sigma=abs(sigma-sigma0);plot(X,'k');xlabel('n');ylabel('X(n)');5实验结果：(1)Num=1000时：delta_m=0.0110，delta_sigma=0.0011(2)Num=5000时：delta_m=2.6620e-04，delta_sigma=0.00206实验结果分析：样本越大，误差越小，实际值越接近理论值。2.参数为的指数分布的分布函数为xxeF1利用反函数法产生参数为0.5的指数分布随机数1000个，测试其方差和相关函数。实验代码：R=rand(1,1000);lambda=0.5;X=-log(1-R)/lambda;DX=var(X);[Rm,m]=xcorr(X);subplot(211);plot(X,'k');xlabel('n');ylabel('X(n)');subplot(212);plot(m,Rm,'k');xlabel('m');ylabel('R(m)');实验结果：7实验结果分析：方差的实际值为4.1201，理论值为1/(0.5^2)=4，基本一致。3.产生一组N(1，4)分布的高斯随机数（1000个样本），估计该序列的均值、方差和相关函数。实验代码：X=normrnd(1,2,[1,1000]);Mx=mean(X);Dx=var(X);[Rm,m]=xcorr(X);subplot(211);plot(X,'k');xlabel('n');ylabel('X(n)');subplot(212);plot(m,Rm,'k');xlabel('m');ylabel('R(m)');实验结果：8实验结果分析：实验中的均值为0.9937，方差为3.8938。理论上均值为1，基本一致。四、实验心得体会通过这次实验，我学习和掌握了随机数的产生方法、实现随机序列的数字特征估计，并用MATLAB产生相应的图形，更直观的了解了相关的知识。本次实验的难点在于用线性同余法产生随机序列，多次试验后终于攻克了难关。9实验二随机过程的模拟与数字特征一、实验目的1、学习利用MATLAB模拟产生随机过程的方法；2、熟悉和掌握特征估计的基本方法及其MATLAB实现。二、实验原理1.正态分布白噪声序列的产生MATLAB提供了许多产生各种分布白噪声序列的函数，其中产生正态分布白噪声序列的函数为randn。函数：randn用法：x=randn(m,n)功能：产生m×n的标准正态分布随机数矩阵。如果要产生服从),(2N分布的随机序列，则可以由标准正态随机序列产生。如果X~N(0,1)，则2X~N(,)。2.相关函数估计MATLAB提供了函数xcorr用于自相关函数的估计。函数：xcorr用法：c=xcorr(x,y)c=xcorr(x)c=xcorr(x,y,'opition')c=xcorr(x,'opition')功能：xcorr(x,y)计算X(n)与Y(n)的互相关，xcorr(x)计算X(n)的自相关。option选项可以设定为：'biased'有偏估计。'unbiased'无偏估计。'coeff'm=0时的相关函数值归一化为1。'none'不做归一化处理。103.功率谱估计对于平稳随机序列X(n)，如果它的相关函数满足mxmR)((2.1)那么它的功率谱定义为自相关函数Rx(m)的傅里叶变换：mjmxXemRS)()((2.2)功率谱表示随机信号频域的统计特性，有着重要的物理意义。我们实际所能得到的随机信号总是有限的，用有限长度的信号所得的功率谱只是真实功率谱的估计，称为谱估计或谱分析。(1)自相关法先求自相关函数的估计，然后对自相关函数做傅里叶变换1)1(^^)()(NNmjmxXemRS(2.3)其中N表示用于估计样本序列的样本个数。(2)周期图法先对样本序列x(n)做傅里叶变换10)()(NnjmenxX(2.4)其中10Nn，则功率谱估计为2^)(1)(XNS(2.5)MATLAB函数periodogram实现了周期图法的功率谱估计。函数：periodogram用法：[Pxx,w]=periodogram(x)[Pxx,w]=periodogram(x,window)[Pxx,w]=periodogram(x,window,nfft)[Pxx,f]=periodogram(x,window,nfft,fs)periodogram(...)功能：实现周期图法的功率谱估计。其中：Pxx为输出的功率谱估计值；11f为频率向量；w为归一化的频率向量；window代表窗函数，这种用法对数据进行了加窗，对数据加窗是为了减少功率谱估计中因为数据截断产生的截断误差，表2.1列出了产生常用窗函数的MATLAB函数。nfft设定FFT算法的长度；fs表示采样频率；如果不指定输出参量（最后一种用法），则直接会出功率谱估计的波形。三、实验内容1.按如下模型产生一组随机序列x(n)0.8x(n1)(n)其中(n)是均值为1，方差为4的正态分布白噪声序列。估计过程的自相关函数和功率谱。实验代码：y0=randn(1,500);%产生一长度为500的随机序列y=1+2*y0;x(1)=y(1);n=500;fori=2:1:n12x(i)=0.8*x(i-1)+y(i);%按题目要求产生随机序列x(n)endsubplot(311);plot(x);title('x(n)');subplot(312);c=xcorr(x);%用xcorr函数求x(n)的自相关函数plot(c);title('R(n)');p=periodogram(x);%用periodogram函数求功率谱密度subplot(313);plot(p);title('S(w)');实验结果：其中x(n)为样本序列，长度为500；R(n)为x(n)的自相关函数，S(w)为x(n)的功率谱。132.设信号为其中12.0,05.021ff，)(nw为正态分布白噪声序列，试在N=256和N=1024点时，分别产生随机序列x(n)，画出x(n)的波形并估计x(n)的相关函数和功率谱。(1)N=256时：实验代码：N=256;w=randn(1,N);%用randn函数产生长度为256的正态分布白噪声序列n=1:1:N;f1=0.05;f2=0.12;x=sin(2*pi*f1*n)+2*cos(2*pi*f2*n)+w(n);%产生题目所给信号R=xcorr(x);%求x(n)的自相关函数p=periodogram(x);%求x的功率谱subplot(311);plot(x);title('x(n)');subplot(312);plot(R);title('R(n)');subplot(313);plot(p);title('S(w)');实验结果：其中x(n)为样本序列，长度为256；R(n)为x(n)的自相关函数，S(w)为x(n)的功率谱。14(2)N=1024时：实验代码：N=1024;%将N值改为1024w=randn(1,N);%用randn函数产生长度为256的正态分布白噪声序列n=1:1:N;f1=0.05;f2=0.12;x=sin(2*pi*f1*n)+2*cos(2*pi*f2*n)+w(n);%产生题目所给信号R=xcorr(x);%求x(n)的自相关函数p=periodogram(x);%求x的功率谱subplot(311);plot(x);title('x(n)');subplot(312);plot(R);title('R(n)');subplot(313);plot(p);title('S(w)');实验结果：15其中x(n)为样本序列，长度为1024；R(n)为x(n)的自相关函数，S(w)为x(n)的功率谱