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Nuaa-MEE张量分析入门AnIntroductiontoTensorAnalysis第2讲09:32:432张量分析入门112233掌握张量的基本运算法则；熟练运用张量表示力学的基本方程;熟练运用符号与求和约定；教学目标:09:32:433张量分析入门0.2张量的概念；0.3张量代数;0.1符号与求和约定；主要内容:09:32:4340.1符号与求和约定),,,(21nxxxL)}3,2,1(,{)}3,2,1(,{==jyixji),,,(21nyyyL可以表示为：一、指标变量的集合：写在字符右下角的指标称为下标。写在字符右上角的指标称为上标；使用上标或下标的涵义是不同的。09:32:4350.1符号与求和约定3,2,1,=jyjmlkjxj,,,=nixi,,2,1,L=用作下标或上标的拉丁字母或希腊字母，除非作了说明，一般取从1到n的所有整数，其中n称为指标的范围。jy09:32:4360.1符号与求和约定二、求和约定若在一项中，同一个指标字母在上标和下标中重复出现，则表示要对这个指标遍历其范围1，2，3，…n求和。称为求和约定。09:32:4370.1符号与求和约定iipaz=iniizaP∑==1例:iiizaP∑==31)3,2,1(,==izaPii09:32:4380.1符号与求和约定)3,2,1(,==ipzaiipzazaza=++332211式中ai,p是常数。例：三维空间的平面方程为：pzaiii=∑=31应用求和约定，则这个方程可写成如下形式：方程可写成:)3,2,1(,==kpzakk09:32:4390.1符号与求和约定)3,2,1(,==izapii)3,2,1,(=+=kjzbapkkjj重复指标称为哑指标或跑标;不求和的指标称为自由指标。09:32:43100.1符号与求和约定∑∑==niiiniiixaxa11)()(∑=niiixa12)(jjiixaxa例:注哑指标只是表示求和。在一项中，同一个指标字母的使用不能超过两次。),,2,1(nixaxaiiiiL=09:32:43110.1符号与求和约定求和约定可以推广到微分公式：设f(x1,x2,···,xn)为n个独立变量x1,x2,···,xn的函数，则它的微分可写成:中i被认为是下标。iidxxfdf∂∂=ix∂09:32:43120.1符号与求和约定克罗内克符号的定义是:jiδ⎩⎨⎧≠==)(0)(1jijijiδ1332211===δδδ0323123211312======δδδδδδ克罗内克符号也可写成δij或δij。三、克罗内克(Kronecker)符号09:32:43130.1符号与求和约定例：空间直角坐标系中，线元矢量长度的平方为：2322212)()()(dxdxdxds++=利用克罗内克符号，上式可写成：jiijdxdxdsδ=209:32:43140.1符号与求和约定jjjixx=δjkikjiδδδ=克罗内克符号的一些常用性质：jiijxxδ=∂∂09:32:43150.1符号与求和约定置换符号eijk=eijk定义为:⎪⎩⎪⎨⎧−==011ijkijkeei,j,k的这些排列分别叫做循环排列、逆循环排列和非循环排列。当i,j,k是1，2，3的偶置换(123,231,312)当i,j,k是1，2，3的奇置换(213,132,321)当i,j,k的任意二个指标相同四、置换符号09:32:43160.1符号与求和约定置换符号主要可用来展开三阶行列式：231231331221233211231231133221332211333231232221131211aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa−−−++==kjiijkjiaaaeaa321==若以表示行列式中的普遍项，以表示行列式，则上述行列式可写成：jiajiaknjmilijkilmaaaeae=09:32:43170.1符号与求和约定1100010001333231232221131211===δδδδδδδδδδjiknjlimkljnimkljminkmjlinkmjnilknjmillmnijkknkmkljnjmjlinimileeδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδ−+−+−==kmjnknjmimnijkeeδδδδ−=五、克罗内克符号与置换符号的关系09:32:43180.1符号与求和约定knjlimkljnimkljminkmjlinkmjnilknjmillmnijkknkmkljnjmjlinimileeδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδ−+−+−==kmjnknjmimnijkeeδδδδ−=knknknkjjnknjjijnijkeeδδδδδδδ23=−=−=62==kkijkijkeeδ09:32:43190.2张量的概念在三维空间，一个矢量（例如力矢量、速度矢量等）在某参考坐标系中，有三个分量；这三个分量的集合，规定了这个矢量；当坐标变换时，这些分量按一定的变换法则变换。—个量在坐标变换时,其分量的变换法则是该量的重要性质。09:32:43200.2张量的概念⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=zzzyzxyzyyyxxzxyxxijσσσσσσσσσσ在力学中还有一些更复杂的量。例如受力物体内一点的应力状态，有9个应力分量，如以直角坐标表示，用矩阵形式列出，则有：这9个分量的集合确定了一点的应力状态，称为应力张量。当坐标变换时，应力张量的分量按一定的变换法则变换。09:32:43210.2张量的概念所谓张量是一个物理量或几何量，它由在某参考坐标系中—定数目的分量的集合所规定，当坐标变换时，这些分量按一定的变换法则变换。采用张量记法表示的方程，在某一坐标系中成立，则在容许变换的其他坐标系中也成立，即张量方程具有不变性。张量是佛克脱(W．Voigt)提出（用来表示晶体的应力(张力)状态）。09:32:43220.2张量的概念张量是矢量概念的推广,有不同的阶和结构，这由它们所遵循的不同的变换法则来区分,是一种不依赖于特定坐标系的表达物理定律的方法。09:32:43230.2张量的概念若坐标系xi作容许变换成另一新坐系标yi（i=1,2,3），则可以定义该量在新坐标系yi中的分量。设一个量(物理量或几何量)的分量在曲线坐标系xi（i=1,2,3）中定义，它们是坐标x1、x2、x3的函数。根据该量的分量在坐标变换时所遵循的不同变换法则，给予该量以不同的名称。一、张量定义09:32:4324一个量被称为标量或绝对标量，若它在坐标系xi中只有一个分量ϕ，在新坐标系yi中也只有一个分量Ψ，并且在两个坐标系中的对应点上，ϕ与Ψ的数值相等。),,(),,(321321xxxyyyϕψ=0.2张量的概念(1)标量09:32:4325(2)逆变矢量(一阶逆变张量)一个量被称为逆变矢量或一阶逆变张量：若其在坐标系xi中有三个分量为Ai，而在新坐标系yi中的三个分量为Âi，且：()()jijixyxAyA∂∂=ˆ0.2张量的概念逆变矢量用上标表示(上标也称为逆变指标)09:32:43260.2张量的概念()()ijyxxAyAji∂∂=ˆ（3）协变矢量(一阶协变张量)一个量被称为协变矢量或一阶协变张量：若其在坐标系xi中有三个分量为Ai，而在新坐标系yi中的三个分量为Âi，且：09:32:43270.2张量的概念(4)二阶协变张量()()(5)二阶逆变张量(6)二阶混合张量jnimyxyxxAyAmnij∂∂∂∂=ˆ()()njmixyxyxAyAmnij∂∂∂∂=ˆ()()njimnmjixyyxxAyA∂∂∂∂=ˆ09:32:43280.2张量的概念在三维空间，r阶张量的分量总数为N=3r；标量是零阶张量，矢量是一阶张量。1）张量是矢量概念的推广，由它的分量的集合所规定。2）张量的基本性质由坐标变换时张量的分量所遵循的变换法则来确定，变换法则与张量表示什么物理量无关。3）张量可分为零阶、一阶、二阶……。张量的阶等于变换法则中变换系数的维度，也等于张量的指标的数目。二、张量特性09:32:43290.2张量的概念4）按照张量的变异(结构)，张量可分为逆变、协变和混合，张量的变异也由张量的指标的位置(上标、下标、或兼有上标下标)来区别。09:32:43300.2张量的概念注:在曲线坐标系中，必须很好地理解逆变张量与协变张量的意义以及变换法则的区别。但若采用直角坐标系描述，则张量的逆变与协变的区别消失，把所有张量的指标写成下标。该张量称为笛卡尔张量或直角坐标张量。09:32:43310.3张量代数09:32:4332一、张量的加法(减法)设是张量，则：ijkijkBA,ijkijkijkBAC+=张量相加(或相减)是相加(或相减)其同名的分量：两个同阶、同变异(结构)的张量可以相加(或相减)09:32:4333一、张量的加法(减法)()()knjmlilmnijkyxyxxyxAyA∂∂∂∂∂∂=ˆ()()knjmlilmnijkyxyxxyxByB∂∂∂∂∂∂=ˆ()()()()()[]()xCyxyxxyxAxAyxyxxyyByAyClmnknjmlilmnlmnknjmliijkijkijk∂∂∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂∂=+=ˆˆˆ可以证明，相加(减)的结果是一个同阶同变异的张量。09:32:4334二、对称张量、斜对称张量A)对称张量若张量满足如下的关系式：这样的张量称为二阶对称张量。例如，基本度量张量和相伴度量张量都是对称张量。jiijAA=09:32:4335二、对称张量、斜对称张量B）斜对称张量jiijAA−=若张量Aij满足以下关系式：则称Aij为二阶斜对称张量。斜对称张量也称为反对称张量。09:32:4336C)二阶张量的分解任何一个一般二阶张量都可以分解成一个对称张量和一个反对称张量之和，即：ijijBACij+=()jijiijACCAij=+=21()()jiijjiijBCCCCBjiij−=−−=−=2121反对称张量对称张量二、对称张量、斜对称张量09:32:4337D)高阶张量的对称和反对称高阶张量可以是关于一对下标(或上标)对称或反对称。例如置换张量，它关于任一对下标是反对称的：kjiijkikjijkjikijk∈−=∈∈−=∈∈−=∈,,二、对称张量、斜对称张量09:32:4338?????????????????????????????????????????09:32:4339ToBeContinued09:32:4340二、基矢量在曲线坐标系中，空间一点P的位置矢量r是曲线坐标xi的函数，则：iidxxd∂∂=rr该位置矢量可用直角坐标表示为：jjzir=jijijjixzxzzxirr∂∂=∂∂∂∂=∂∂ij为沿坐标轴zj方向的单位矢量。是单位矢量ij的线性组合，因此也是矢量。ix∂∂r09:32:4341二、基矢量表征当xi变化时位置矢量r的变化，因此的方向是沿坐标曲线xi的切线方向。矢量可以取作曲线坐标系的基矢量（协变基矢量）：ix∂∂rix∂∂rix∂∂rjijiixzxirg∂∂=∂∂=注意对于在曲线坐标系中的每一点，都有三个基矢量。基矢量一般不是单位矢量，彼此也不正交；基矢量可以有量纲，但一点的三个基矢量的量纲可以不同；基矢量不是常矢量，它们的大小和方向依赖于它们所在点的坐标。09:32:4342二、基矢量作用在一点的任意矢量V，可以沿gi的方向按平行四边形法则分解：jjvg=V09:32:4343二、基矢量基矢量gi也称为协变基矢量。若坐标系xi变换成另一新坐标系yi：)3,2,1(),,(321==jxxxyyjj逆变换为：)3,2,1(),,(321==jyyyxxjj则在新坐标系yi中的基矢量为:ijjijjiiyxyxxy∂∂=∂∂∂∂=∂∂=grrg09:32:4344三、基本度量张量2ijijijijdsdddxdxdxdx=⋅=⋅=⋅rrggggjiijggg⋅=在曲线坐标系中，线元矢量dr长度的平方为：定义:注对于任何