高中数学立体几何知识点

第九章立体几何9．1平面的基本性质动脑思考探索新知9.1平面的基本性质平静的湖面、窗户的玻璃面、黑板面、课桌面、墙面等，都是平面、、、通常用平行四边形表示平面，并用小写的希腊字母ABCD．来表示不同的平面．如图，记作平面也可以用平行四边形的四个顶点的字母或两个相对顶点的字母来也可以命名，如右图中的平面记作平面ABCD，平面AC或平面BD．平面的概念就是从这些场景中抽象出来的．数学中的平面是指光滑并且可以无限延展的图形．直线．同样，我们也可以画出平面的一部分来表示平面．的一部分．我们知道，直线是可以无限延伸的，通常画出直线的一部分来表示动脑思考探索新知9.1平面的基本性质ABCD当平面水平放置的时候，通常把平行四边形的锐角画成45°，横边画成邻边的2倍长．当平面竖直放置的时候，通常把平面画成矩形．9.1平面的基本性质巩固知识典型例题例1表示出正方体1111ABCDABCD（如图）的6个面．AC11AC、解这6个面可以分别表示为：平面、平面1BC1CD1.DA1AB平面、平面、平面、平面动脑思考探索新知9.1平面的基本性质直线与平面都可以看做点的集合．点A、B在直线l上，记作平面的性质AlBl、；AB、．点A、B在平面内，记作此时称直线l在平面内或平面经过直线l．记作l．画直线l在平面内的图形表示时，要将直线画在平行四边形的内部．1：如果直线l上的两个点都在平面内，那么直线l上的所有点都在平面内．动脑思考探索新知9.1平面的基本性质如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，并且所有公共点的集合是过这个点的一条直线（如图）．本章中的两个平面是指不重合的两个平面，两条直线是指不重合的两条直线．此时称这两个平面相交，并把所有公共点组成的直线l叫做两个平面的交线．平面与平面相交，交线为l．l，记作平面性质2：动脑思考探索新知9.1平面的基本性质画两个平面相交的图形时，一定要画出它们的交线．图形中被遮住部分的线段，要画成虚线（如图（1）），或者不画（如图（2））．动脑思考探索新知9.1平面的基本性质“确定一个平面”指的是“存在着一个平面，并且只存在着一个平面”．不在同一条直线上的三个点，可以确定一个平面（如图）．平面的性质3：9.1平面的基本性质不在同一条直线上的三个点，可以确定一个平面．平面的性质3：利用三角架可以将照相机放稳（如图），就是性质3的应用．动脑思考探索新知动脑思考探索新知9.1平面的基本性质根据上述性质，可以得出下面的三个结论．1．直线与这条直线外的一点可以确定一个平面（如图（1））．2．两条相交直线可以确定一个平面（如图（2））．3．两条平行直线可以确定一个平面（如图（3））．A(1)(2)（3）巩固知识典型例题9.1平面的基本性质1111ABCDABCD1ACD、、例2在长方体中，画出由三点所确定的平面γ与长方体的表面的交线．解点1AD、1AD为平面与平面的公共点，点AC、BD为平面与平面的公共点，点1CD、1CD为平面与平面的公共点．分别将这三个点两两连接，得到直线11ADACCD、、就是为由三点所确定的平面γ与长方体的表面的交线．运用知识强化练习9.1平面的基本性质1．“平面与平面只有一个公共点”的说法正确吗？2．梯形是平面图形吗？为什么？3．已知A、B、C是直线l上的三个点，D不是直线l上的点．判断直线AD、BD、CD是否在同一个平面内．性质1：如果直线l上的两个点都在平面α内，那么直线l上的所有点都在平面α内．性质2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，并且所有公共点的集合是过这个点的一条直线．性质3：不在同一条直线上的三个点，可以确定一个平面．.平面的基本性质？理论升华整体建构9.1平面的基本性质第九章立体几何9．2直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的判定与性质创设情境兴趣导入9.2直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的判定与性质观察右图所示的正方体，可以发既不相11ABAD与所在的直线，现：棱交又不平行，它们不同在任何一个平面内．动脑思考探索新知9.2直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的判定与性质在同一个平面内的直线，叫做共面直线，平行或相交的两条直线都是共面直线．不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线．如图所示的11ABAD与直线就是两条异面直线．正方体中，直线这样，空间两条直线就有三种位置关系：平行、相交、异面．动脑思考探索新知9.2直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的判定与性质利用铅笔和书本，演示如图的异面直线位置关系．动脑思考探索新知9.2直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的判定与性质平行于同一条直线的两条直线平行．平行线的性质：我们经常利用这个性质来判断两条直线平行．创设情境兴趣导入9.2直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的判定与性质将平面内的四边形ABCD的两条边AD与DC，沿着对角线AC向上折起，1D的位置(如图所示)．此将点D折叠到四个点不在同一个平面1D时A、B、C、内．这时的四边形ABC1D叫做空间四边形．巩固知识典型例题9.2直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的判定与性质EFGH、、、ABCD例1已知空间四边形中，分别为ABBCCDDA、、、EFGH的中点（如图）．判断四边形是否为平行四边形？解联结BD．因为E、H分别为AB、DA的中点，ABD所以EH为的中位线．//EHBD12EHBD．且于是//FGBD12FGBD．同理可得且//EHFGEHFG．因此且故四边形EFGH是平行四边形．动脑思考探索新知9.2直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的判定与性质ll直线与平面有无穷多个公共点时，直线在平面内，其图形如（1）．如果一条直线与一个平面只有一个公共点，那么就称这条直线与这个平面相交，画直线与平面相交的图形，要把直线延伸到平行四边形外（如图（2））.如果一条直线与一个平面没有公共点，那么就称这条直线与这个平面平行．直线平行，记作∥ll与平面．画直线与平面平行的图形，要把直线画在平行四边形外，并与平行四边形的一边平行（如图9−19（3））．lll动脑思考探索新知9.2直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的判定与性质ll直线与平面的位置关系有三种：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行．直线与平面相交及直线与平面平行统称为直线在平面外．l创设情境兴趣导入9.2直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的判定与性质在桌面上放一张白纸，在白纸上画出两条平行直线，沿着其中的一条直线将纸折起（如图）．观察发现：在折起的各个位置上，另一条直线始终与桌面保持平行．动脑思考探索新知9.2直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的判定与性质如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，那么判定直线与平面平行的方法：这条直线与这个平面平行.巩固知识典型例题9.2直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的判定与性质1111ABCDABCD1DD11BCCB例2如图长方体中,直线吗？为什么？平行于平面1111ABCDABCD11DCCD所以DD1∥CC1．解在长方体中，因为四边形边是长方形，又因为CC1在平面BCC1B1内，DD1在平面BCC1B1外，1DD11BCCB．平行于平面因此直线动脑思考探索新知9.2直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的判定与性质如果一条直线与一个平面平行，并且经过这条直线的一个平面直线与平面平行的性质：和这个平面相交，那么这条直线与交线平行.如图所示，设直线l为平面与平面的交线，直线m在平面ml∥内且则．m∥巩固知识典型例题9.2直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的判定与性质解画线的方法是：过点P作直线B1C1的平行线EF，分别交直线A1B1及直线D1C1与点E、F，连接EB和FC．在平面A1B1C1D1内，BC11AC例3在如图所示的一块木料中，已知∥平面，BC11BC∥，11AC内的一点P与棱BC将木料锯开，应当怎样画线？要经过平面动脑思考探索新知9.2直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的判定与性质如果两个平面没有公共点，那么称这两个平面互相平行．平面画两个互相平行平面的图形时，要使两个平行四边形的对应边与平面平行，记做∥．分别平行（如图）．空间两个平面就有两种位置关系：平行与相交．动脑思考探索新知9.2直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的判定与性质判定平面与平面平行的方法：如果一个平面内的两条相交直线都与另一个平面平行，那么这两个平面平行．如果一个平面内的一条直线平行于另一个平面内的一条直线,那么这两个平面是否一定平行？巩固知识典型例题9.2直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的判定与性质Amnkl解因为m在外、l在内，且m∥l，所以，直线m∥平面．同理可得直线n∥平面．由于m、n是平面内两条相交直线，∥．故可以判断直线k，l（如图），试判断平面，是否平行？例4设平面内的两条相交直线m，n分别平行于另一个平面内的两条动脑思考探索新知9.2直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的判定与性质如果一个平面与两个平行平面相交，两个平面平行的性质：那么它们的交线平行．如图所示，如果，平面与//都相交，交线分别为m、n，那么、m∥n．运用知识强化练习略．画出下列各图形：9.2直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的判定与性质（1）两个水平放置的互相平行的平面．（2）两个竖直放置的互相平行的平面．（3）与两个平行的平面相交的平面．不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线..异面直线的定义？理论升华整体建构9.2直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的判定与性质第九章立体几何9．3直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角创设情境兴趣导入9．3直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角1BC在如图所示的长方体中，直线和直线AD是异面直线，度量1CBC1DAD和，发现它们是相等的．1BC如果在直线AB上任选点P，那么过点P分别作直线与直线AD1CBC相等？的平行线，它们所成的角是否与动脑思考探索新知9．3直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角两条相交直线的夹角是这两条直线相交所成的最小的正角．经过空间任意一点分别作与两条异面直线平行的直线，这两条相交直线的夹角叫做两条异面直线所成的角．动脑思考探索新知9．3直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角nmnOnmOmn如图所示，m∥m、n∥n，则与的夹角就是异面直线m与n所成的角．为了简便，经常取一条直线与过另一条直线的平面的交点作为点O．如下图巩固知识典型例题9．3直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角ABCD1A1D1C1B例1如图所示的长方体中，130BAB，求下列异面直线所成的角：1AB1AB1CC．(1)与DC；(2)与1BAB1AB解（1）因为DC∥AB，所以为异面直线与DC所成的角．30．即所求角为1CC1BB1ABB1AB1CC（2）因为∥，所以为异面直线与所成的角．在直角△1ABB中，119030ABBBAB，，所以1903060ABB，即所求的角为60．运用知识强化练习9．3直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角在如图所示的正方体中，求下列各直线所成的角的度数：11DDBC　与112AABC　　与创设情境兴趣导入9．3直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角1111ABCDABCD1BB正方体中，直线与直线AB、BC、CD、AD、AC所成的角各是多少？可以发现，这些个角都是直角．动脑思考探索新知9．3直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直，那么就称直线l与的交点叫做垂足．l垂直，记作．直线l叫做平面的垂线，垂线l与平面平面画表示直线l和平面垂直的图形时，要把直线l画成与平行四边形的横边垂直（如图所示），其中点A垂足．创设情境兴趣导入9．3直线与直线、直线与平面、平面与