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在中国古代科技文化中，能够称得上独立而系统的“文化”，恐怕没有中国传统数学更具有代表性了。深入思考中国传统数学，对于促进当今中国数学甚至整个科学技术良性发展不无裨益。遗憾是人们越来越来追逐当今那些所谓“显学”，对中国传统数学缺乏基本常识，深为我们所忧虑。希望这篇小文，能使读者有所帮助。1.“数学”一词在中国现在，算术是数学的一个分支，其内容包括自然数和在各种运算下产生的性质，运算法则以及在实际中的应用。可是，在数学发展的历史中，算术的含义比现在广泛得多。在我国古代，算是一种竹制的计算器具，算术是指操作这种计算器具的技术，也泛指当时一切与计算有关的数学知识。算术一词正式出现于《九章算术》中。《九章算术》分为九章，即方田、粟米等。这些大都是实用的名称。如“方田”是指土地的形状，讲土地面积的计算，属于几何的范围；“粟米”是粮食的代称，讲的是各种粮食间的兑换，主要涉及的是比例，属于今天算术的范围。可见，当时的“算术”是泛指数学的全体，与现在的意义不同。直到宋元时代，才出现了“数学”这一名词，《益古演段.序》[1]第一句话就是“算数之学由来尚也，率自九章，子分派委，刘徽、李淳风又为之注”，后文继续说“数学在六艺为末，求之人最为切要”。不过，在当时数学家的著作中，数学一词往往与数书、算学等词汇并用，例如《数书九章》也叫《数学九章》，当然，这里的数学仅泛指中国古代的数学。从19世纪起，西方的一些数学学科，包括代数、三角等相继传入我国。西方传教士多使用数学，日本后来也使用数学一词，中国古算术则仍沿用“算学”。1953年，中国数学会成立数学名词审查委员会，确立起“算术”现在的意义，而算学与数学仍并存使用[2]。1937年，清华大学仍设“算学系”。1939年为了统一起见，才确定专用“数学”，直到今天。2.中国传统数学的定义何谓中国传统数学？中国传统数学，指19世纪与西方数学合流之前在中国建立发展起来的那部分数学，它大致经历了初创（秦汉及以前，约公元前2700年到公元前200年）、理论体系的形成（三国两晋）、缓慢发展与数学普及时期（隋唐前后），理论的充实与发展（宋元）、衰退与转型（明及以后）五个阶段，形成了独具特色的思想体系。中国传统数学初以算筹为主要算具，从计算方法、研究方法到基本理论独具一格、自成体系，因此也简称中国传统数学为“中算”[3]。李俨先生在《中算史论丛》[4]、严敦杰先生在《中学课程中的中算史材料》等著作中较早使用“中算”一词。不过，现今“中算”一词还包括用中国传统数学的手段来处理从外国引见的数学新知识和新理论。这样，“中算”包括的范围要比中国传统数学广而大，明清时期的许多数学家所做的工作大多属于这样情况。因此，中算不等于中国传统数学，中算家也不一定是中国传统数学家。3.中国传统数学的基本思想所谓数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果。数学思想是对数学事实与理论经过概括后产生的本质认识；基本数学思想则是体现或应该体现于基础数学中的具有奠基性、总结性和最广泛的数学思想，它们含有传统数学思想的精华和现代数学思想的基本特征，并且是历史地发展着的。“数学思想”比一般的“数学概念”具有更高的概括抽象水平，后者比前者更具体、更丰富，而前者比后者更本质、更深刻。“数学思想”是与其相应的“数学方法”的精神实质与理论基础，“数学方法”则是实施有关的“数学思想”的技术与操作程式。中学数学用到的各种数学方法，都体现着一定的数学思想。数学思想属于科学思想，但科学思想未必就是数学思想。另外，有的哲学思想（例如“一分为二”的思想和“转化”思想）和逻辑思想（例如完全归纳的思想），由于其在数学中的运用而被“数学化”了，也可以称之为数学思想。基本数学思想包括：符号与变元表示的思想，集合思想，对应思想，公理化与结构思想，数形结合思想，化归思想，函数与方程的思想，整体思想，极限思想，抽样统计思想等。当我们按照空间形式和数量关系将研究对象进行分类时，把分类思想也看作基本数学思想。基本数学思想有两大基石——符号与变元表示的思想和集合思想，又有两大支柱——对应思想和公理化结构思想。基本数学思想及其衍生的其他数学思想，形成了一个结构性很强的网络。中国传统数学思想主要包括以下几部分。（1）初创阶段中国传统数学最早最伟大的成就就是十进位制的记数法和在此基础上的算术。在中国传统数学中，“算术”的真正含义就是筹算技术，即使用算筹进行数值运算的技术。算筹是中国古代特有的计算工具，《汉书·律历志》说：“其算法用竹，径一分、长六寸”，此“竹”指的就是算筹。原则上说，中国数学是随着算筹的产生而形成和发展起来的，以算筹为工具的筹算模式是中国数学的本质特性，它规定了中国传统数学发展的概貌，在很大程度上决定了中国数学的性质和思想方法，确定了中国传统数学在筹算形式下的数形理论。（2）第一次高峰时期秦汉时期，中国传统数学的发展出现第一次高峰，它是以中国数学发展史上最早最有影响的数学典籍《九章算术》的出现为标志，《九章算术》由246个数学问题及其解答、术文组成并按算法分方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股九章，归纳全书《九章算术》包括四大算法系统和两大求积公式系统。四大算法系统是分数算法、一般比率算法、组合比率算法、开方算法；两大求积公式系统是面积公式系统和体积公式系统。统览《九章算术》以题解为中心，在题解中给出算法，根据算法分化与归结。因此，《九章算术》是以题解为中心的算法体系，它充分体现了中国数学特有的形式和思想内容。（3）第二次高峰时期三国、南北朝时期(公元220～589年)，中国传统数学之发展在理论上取得重大突破，出现了第二次高峰。在这期间，赵爽撰写“勾股方图”，用几何方法严格证明了勾股定理，而数学大家刘徽更以其独到的思维批判继承了《九章算术》，在其《九章算术注》中，刘微“析理以辞”，觅求各部分内在的逻辑联系，不仅在数学理论上把中国传统数学推到了前所未有的高度，而且在数学方法尤其在逻辑推理与证明方面把中国传统数学发展到历史的最高水平；用比率理论统一数与式，明确论述方程组消元解法的步骤与理论；定义“正负数”，举“开之不尽”的数；“解题用图”，提出“出入相补原理”，建立勾股理论。（4）缓慢发展时期隋唐时期，是中国传统数学发展相对沉闷的时期，尽管在数学理论与数学方法都没有多少突出的成就，但在推动数学应用的普及方面却卓有成效。李淳风、王孝通等整理、注释算经十书（《周碑算经》、《九章算术》、《孙子算经》、《五曹算经》、《夏侯阳算经》、《海岛算经》、《缀术》、《缉古算经》），隋唐统治者设立明算科开科取士，这些工作都是开创性，在一定程度上对保存中国传统数学文献和推动传统数学之普及起到了较大作用。而且，隋唐数学也不是毫无理论成就，数学家刘焯、王孝通、张遂等关于二次内插法和三次方程的研究与应用也是中国传统数学的重要成果。（5）第三次高峰时期宋元时期，是中国传统数学的第三次高峰。秦九韶著《数书九章》，创“大衍求一术”(求一次同余元方法)；贾宪、扬辉“增乘开方”，“详解九章”，作“贾宪——杨辉三角形”；李冶撰《测圆海镜》，释“天元术”，朱世杰作《四元玉鉴》，立“四元术”；集中体现了以算法为中心的中国传统数学思想的精要，使中国数学达到极盛。比较于发源于古希腊的西方数学，中国传统数学的产生具有自己的特点，尤以实用性和发展算法为特征，从数学思想来看，与中国传统数学思想与古希腊的数学思想存在以下几方面的差异。一是从研究对象来看，中国数学以数量关系为主要研究对象，古希腊数学以空间形式为主要研究对象。二是从内容表现形式差异来看，中国数学是以题解为中心的算法体系，而古希腊数学表现为逻辑的演绎体系。三从推理方法来看，中国传统数学思想与古希腊数学思想相比，一个突出的特征和差别就是逻辑推理与证明方式的不同。中国传统数学思想是以筹算为基础的直觉启示，使用具体概念，推理的形式是推类衍化造术，重视的是算“术”，从《九章算术》到“十部算经”，从“勾股”到“四元术”，无不是对精妙的算术追求与表现，其主要推理成分以“类”为基础，主导推理类型是“推类”；而古希腊数学以柏拉图的概念作为最基本的逻辑形态，将逻辑方法确定为数学的基本方法，将数学活动变成纯粹的逻辑活动，数学理论势必成为逻辑演绎体系。四是从思想起源方面来看，中国传统数学起源于原始社会实践中的计数、筹算，其发展的过程就是追求算法创新和算术完善的过程，其内容必须以筹算形式下的数形理论为全貌；而以古希腊为代表的西方古典数学却以远离实际的理念说、逻辑方法论、朴素的演绎推理等哲学观念为源头，其发展趋向数学的逻辑化、公理化，其发展的结果应该为数学演绎体系的建立。五是从文化背景的影响来看，在中西方古代数学思想的滋生养成过程中，传统文化和哲学观念的力量是显而易见的。以儒学为核心，倡导“重德性、轻知性”，“经世致用”的中国传统文化和实用哲学使中国传统数学圉于实用的圈子，于是，以解决实际问题的算法的制定，成为中国数学的根本，成为中国数学赖以存在和发展的基点。而古希腊的数学思想产生在古希腊以城邦制度为优势，以航海贸易为触角的既兼容并蓄又追求独立的系统、思辨的文化氛围中，借助于这种古希腊特有的文化氛围而滋生的诸如苏格拉底、柏拉图、毕达哥拉斯、亚里士多德等哲学家及其哲学流派和观念高屋建瓴地缔造了数学的理性基础，寓示了数学的本质与走向——逻辑演绎，这正是古希腊哲学的深化和文化价值的实现。4.中国传统数学的近代复兴中国传统数学的近代复兴，在很大程度上得益于考据学派推动。清朝考据学派的治学方法主要基于古代文献的考据，何况考据学派中的相当一部分人都是数学家，“考据”在一定程度上促进中国传统数学的发展，也是必然的。例如，乾嘉学派的代表人物之一戴震在编修《四库全书》时，整理从《永乐大典》中辑出的《九章算术》，以及其他天算学名著。《算经十书》多经他整理校勘后写成《提要》，然后列入《四库全书》中，他还将大典本诸算学书和宋本相校，著成《九章算术订讹图补》、《海岛算经正讹》、《五经算术考证》等，后流布全国。经过戴震等的努力，中国传统数学的研究实现了由康熙时的中西兼采，到主要倡扬传统天算之学的转变。乾嘉学派的另一位代表人物钱大昕（1728—1804），以及他的弟子李锐（1769—1817）、汪莱（1768—1813）、焦循（1764—1849）、罗士琳（1789—1817）等，都是清代最著名的数学家。他们的努力，使算学逐渐摆脱经学的附庸地位而独立出来。所得的成就虽比西方晚些，但却是独立研究出来的，方法上有殊途同归之妙，如汪莱对Xn－pXm＋q=0有无正根的讨论，所得结果与当代方程论相合，颇为不易。乾嘉学派的最后一员大将阮元（1764—1848）是经学大师，也是数学家。他倡导考据训诂，认为“舍诂求经，其经不实”（《西湖诂经精舍记》），“为浩博之考据易，为精核之考据难”（《桂未谷晚学集序》）。这里的精核，正是指逻辑上的严谨。在浙江建“诂经精舍”时，阮元既讲经史、文字、训诂、音韵，也讲天文、地理和算学。他还主编中国天算学家传记《畴人传》，这也是中国第一部科学史著作。李善兰（1811—1882）是清末最著名的数学家，他同样熟悉考据学，自称“辞章、训诂之学虽皆涉猎，然好之终不及算学”（《〈则古昔斋算学〉序》）。可惜的是，戴震、阮元等为代表的乾嘉考据学派，奉行的是复古主义，主张“西学中源”，以为“西方数学都可以在中国古代算学中找到根源”，把向西方学习数学的大门关死了。对中国传统数学而言，可谓“成也乾嘉学派，败也乾嘉学派”。当然，复古主义是清代学术的通病，非考据学派所独有。早在清初，康熙帝谈到西方数学时就说过：“算法之理，皆出于《易经》，即西洋算法亦善，原系中国算法，彼称为‘阿尔朱巴尔’，‘阿尔朱巴尔’者，传自东方之谓也。”到乾嘉时期，这种西学源于中土，中算优于西学的论调更成为牢不可破的定论，当时精天算学者如戴震、钱大昕、凌廷堪、焦循、汪莱、李锐、阮元、江藩、李潢、沈钦韩、罗士琳诸人莫不如此。中国传统数学到李善兰时已经画上句号，后来的中国现代数学，则是到国外留学的博士重起