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回顾与思考如图1,∠AOB是角。OAB如图2,AB=CD,则∠AOB与∠COD的大小关系是：。BAOCD圆心相等用心想一想，马到功成在射门游戏中，球员射中球门的难易与他所处的位置B对球门AC的张角（∠ABC）有关。用心想一想，马到功成如图，当他站在B，D，E的位置射球时,对球门AC的张角的大小相等吗？你能观察到这三个角有什么共同特征吗?（与圆弧联系思考）用心想一想，马到功成为解决这个问题我们先来研究一种角。观察图中的∠ABC，顶点在什么位置？角的两边有什么特点？ABC用心想一想，马到功成观察图中的∠ABC，可以发现，它的顶点在圆上，它的两边分别与圆还有另一个交点。像这样的角，叫做圆周角。ABC请同学们考虑两个问题：（1）顶点在圆上的角是圆周角吗？（2）角的两边都和圆相交的角是圆周角吗？为解决这个问题，我们先回答下面的问题。下列各图形中的角是不是圆周角？请说明理由。ABCDE由圆周角的定义可知，只有C是圆周角，其它都不是。你能总结出圆周角的特征吗？圆周角有两个特征：①角的顶点在圆上；②两边在圆内的部分是圆的两条弦。用心想一想，马到功成我们再来研究圆周角的性质。为了解决这个问题，我们先研究一条弧所对的圆周角与它所对的圆心角之间的关系。请同学们在圆上确定一条劣弧，画出它所对的圆心角与圆周角。AC用心想一想，马到功成归纳同学们的意见我们得到以下几种情况。①∠ABC的一边BC经过圆心O。②∠ABC的两边都不经过圆心O。③∠ABC的两边都不经过圆心O。请问∠ABC与∠AOC它们的大小有什么关系？说说你的想法，并与同伴进行交流。BAOC①ABCO②BACO③下面我们首先考虑同学们列举的一种特殊情况，即∠ABC的一边BC经过圆心O。BAOC∵∠AOC是△ABO的外角，∴∠AOC=∠ABO+∠BAO。∵OA=OB，∴∠ABO=∠BAO。∴∠AOC=2∠ABO，∴∠ABC=∠AOC。12下面我们首先考虑同学们列举的一种特殊情况，即∠ABC的一边BC经过圆心O。BAOC∵∠AOC是△ABO的外角，∴∠AOC=∠ABO+∠BAO。∵OA=OB，∴∠ABO=∠BAO。∴∠AOC=2∠ABO，∴∠ABC=∠AOC。12那么当∠ABC的两边都不经过圆心O时，∠ABC与∠AOC又有怎样的大小关系呢？ABCOBACO我们可以考虑把这两种情况分别转化成刚才的特殊情形来考虑。ABCO也就是借用直径，连接BO并延长，与圆相交于点D。D（此时我们得到与图①同样的情形）132BAOC①∵∠1是△ABO的外角，∴∠1=∠2+∠3。∵OA=OB，∴∠2=∠3。∴∠1=2∠2，∴∠2=∠1。125412同理,∠4=∠5。12∴∠2+∠4=（∠1+∠5）。∴∠ABC=∠AOC。12BACOBAOC①如图，连接BO并延长，与圆相交于点D。（此时我们得到与图①同样的情形）D∵∠AOD是△ABO的外角，∴∠AOD=∠A+∠ABO。∵OA=OB，∴∠A=∠ABO。∴∠AOD=2∠ABD，∴∠ABD=∠AOD。12BACOBAOC①如图，连接BO并延长，与相交于点D。（此时我们得到与图①同样的情形）D∵∠AOD是△ABO的外角，∴∠ABD=∠A+∠ABO。∵OA=OB，∴∠A=∠ABO。∴∠AOD=2∠ABD，∴∠ABD=∠AOD。12同理,∠CBD=∠COD。12BACOBAOC①如图，连接BO并延长，与相交于点D。（此时我们得到与图①同样的情形）D∵∠AOD是△ABO的外角，∴∠ABD=∠A+∠ABO。∵OA=OB，∴∠A=∠ABO。∴∠AOD=2∠ABD，∴∠ABD=∠AOD。12同理,∠CBD=∠COD。12∴∠ABD－∠CBD=∠AOD－∠COD=（∠AOD－∠COD）。∴∠ABC=∠AOC12121212认真观察，探求结果通过对三种情形的证明，同学们再认真观察图形，你会得到什么结果？BAOCABCOBACO一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的。一半AOCB如图，在⊙O中，∠BOC=50°，则∠BAC=。025°点拨：此题要选择关键点：∠BOC与∠BAC对着BC，因此∠BOC等于∠BAC的2倍。AOCB如图，在⊙O中，∠BOC=50°，则∠BAC=。变化题2：如图，∠BAC=40°，则∠OBC=。ABCO变化题1：如图，点A，B，C是⊙O上的三点，∠BAC=40°，则∠BOC=。025°50°80°如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠AOB=2∠BOC，∠ACB与∠BAC的大小有什么关系？为什么？ABCO答：∠ACB=2∠BAC.理由是:∵∠AOB=2∠ACB∠BOC=2∠BAC∠AOB=2∠BOC∴2∠ACB=2（2∠BAC）∴∠ACB=2∠BACABCDO如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，且∠BCD=100°，求∠BOD（BCD所对的圆心角）和∠BAD的大小。解：∵∠BCD=100°∴∠1=200°∴∠BOD=360°－200°=160°1ABCDO如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，且∠BCD=100°，求∠BOD（BCD所对的圆心角）和∠BAD的大小。解：∵∠BCD=100°∴∠1=200°∴∠BOD=360°－200°=160°1∴∠BAD=∠BOD=×160°=80°1212课内拓展延伸1.到目前为止,我们学习到和圆有关的角有几个?它们各有什么特点?相互之间有什么关系?答:和圆有关的角有圆心角和圆周角.圆心角顶点在圆心;圆周角顶点在圆上，角的两边和圆相交。一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。2.课后思考如图，当他站在B，D，E的位置射球时对球门AC的张角的大小相等吗？为什么？