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3.1能控性的定义3.2线性定常系统的能控性判别3.3线性连续定常系统的能观性3.4离散时间系统的能控性与能观性3.5时变系统的能控性与能观性3.6能控性与能观性的对偶关系3.7状态空间表达式的能控标准型与能观标准型3.8线性系统的结构分解3.9传递函数阵的实现问题3.10传递函数中零极点对消与状态能控性和能观性之间的关系3.1能控性的定义1．线性连续定常系统的能控性定义线性连续定常系统：如果存在一个分段连续的输入，能在有限时间区间内，使系统由某一初始状态，转移到指定的任一终端状态工，则称此状态是能控的。若系统的所有状态都是能控的，则称此系统是状态完全能控的，或简称系统是能控的。几点说明：1)在线性定常系统中，为简便计，可以假定初始时刻，初始状态为，而任意终端状态就指定为零状态。即2)也可以假定=0，而工为任意终端状态，换句话说，若存在一个无约束控制作用，在有限时间内，能将由零状态驱动到任意。在这种情况下，称为状态的能达性。3)在讨论能控性问题时，控制作用从理论上说是无约束的，其取值并非唯一的，因为我们关心的只是它能否将驱动到，而不计较的轨迹如何。2．线性连续时变系统的能控性定义线性连续时变系统：3．离散时间系统这里只考虑单输入的n阶线性定常离散系统：3.2线性定常系统的能控性判别3.2.1具有约旦标准型系统的能控性判别1．单输入系统具有约旦标准型系统矩阵的单输入系统，状态方程为：线性定常系统能控性判别准则有两种形式，一种是先将系统进行状态变换，把状态方程化为约旦标准型，再根据阵，确定系统的能控性；另一种方法是直接根据状态方程的A阵和B阵，确定其能控性。或式中(2)(1)为简明起见，下面列举三个具有上述类型的二阶系统，对其能控性加以剖析。(3)(4)(5)1)对于式(3)的系统，系统矩阵A为对角线型，其标量微分方程形式为：(6)(7)2)对于式(4)的系统，系统矩阵A为约旦型，微分方程组为：3)对于式(5)的系统，系统矩阵虽也为约旦型，但控制矩阵第二行的元素却为0，其微分子方程组为：(8)(9)(10)(11)2．具有一般系统矩阵的多输入系统系统的状态方程为：(12)3.2.2直接从A与B判别系统的能控性1．单输入系统线性连续定常单输入系统：其能控的充分必要条件是由A、b构成的能控性矩阵：满秩，即。否则，当时，系统为不能控的。2．多输入系统对多输入系统，其状态方程为：其能控的充分必要条件是矩阵：式中,B为阶矩阵；为r维列矢量。的秩为。(14)(15)3.3线性连续定常系统的能观性3.3.1能观性定义能观性所表示的是输出反映状态矢量的能力，与控制作用没有直接关系，所以分析能观性问题时，只需从齐次状态方程和输出方程出发，即如果对任意给定的输入，在有限观测时间,使得根据期间的输出能唯一地确定系统在初始时刻的状态，则称状态是能观测的。若系统的每一个状态都是能观测的，则称系统是状态完全能观测的，或简称是能观的。(1)3.3.2定常系统能观性的判别定常系统能观性的判别也有两种方法，一种是对系统进行坐标变换，将系统的状态空间表达式变换成约旦标准型，然后根据标准型下的C阵，判别其能观性，另一种方法是直接根据A阵和C阵进行判别。1．转换成约旦标准型的判别方法线性时不变系统的状态空问表达式为：现分两种情况叙述如下：(1)A为对角线矩阵(2)这时式(2)用房承租形式表示，可有：(3)(4)从而可得结构图如图所示。将式(3)带入输出方程式(4)，得：(2)A为约旦标准型矩阵以三阶为例：这时，状态方程的解为：从而(5)由式(5)可知，当且仅当输出．矩阵C中第一列元素不全为零时，y(t)中总包含着系统的全部自由分量而为完全能观。2．直接从A、C阵判断系统的能观性约旦标准型系统具有串联型的结构，如图所示：3.4离散时间系统的能控性与能观性3.4.1能控性矩阵M离散时间系统的状态方程如下：(1)3.4.2能观性矩阵N离散时间系统的能观性，是从下述两个方程出发的。式中,为维列矢量；C为输出矩阵，其余同式(6)。(2)当系统为单输入系统时，式中为标量控制作用．控制阵为维列矢量；G为系统矩阵；为状态矢量。根据3.3节中能观性定义，如果知道有限采样周期内的输出，就能唯一地确定任意初始状态矢量，则系统是完全能观的，现根据此定义推导能观性条件。从式(1)，有：若系统能观，那么在知道时，应能确定出，，现从式(7)可得：(3)写成矩阵形式：有唯一解的充要条件是其系数矩阵的秩等于。这个系数矩阵称为能观性矩阵。仿连续时间系统，记为N。即(4)(5)3.5时变系统的能控性与能观性3.5.1能控性判别1.有关线性时变系统能控性的几点说明这个限制条件是为了保证系统状态方程的解存在且唯一。3)根据能控性定义，可以导出能控状态和控制作用之问的关系式。4)非奇异变换不改变系统的能控性。2)定义中的，是系统在允许控制作用下，由初始状态转移到目标状态(原点)的时刻。1)定义中的允许控制，在数学上要求其元在区间是绝对平方可积的，即5)如果是能控状态，则也是能控状态，是任意非零实数。7)由线性代数关于线性空间的定义可知，系统中所有的能控状态构成状态空间中的一个子空间。此子空间称为系统的能控子空间，记为。6)如果和是能控状态，则也必定是能控状态。2．线性连续时变系统的能控性判别时变系统的状态方程如下：为非奇异的。系统在上状态完全能控的充分必要条件是格拉姆矩阵为非奇异的。(1)(2)3.5.2能观性判别1．有关线性时变系统能观性的几点讨论2)根据不能观测的定义，可以写出不能观测状态的数学表达式：这是一个很重要的关系式，下面的几个推论都是由它推证出来的。3)对系统作线性非奇异变换，不改变其能观测性。5)如果和都是不能观的，则也是不能观的。1)时间区间是识别初始状态所需要的观测时间，对时变系统来说，这个区问的大小和初始时刻的选择有关。4)如果是不能观测的，为任意非零实数，则也是不能观测的。6)根据前面分析可以看出，系统的不能观测状态构成状态空间的一个子(3)2．线性连续时变系统能观性判别为非奇异的。在上状态完全能观测的充分必要条件是格拉姆矩阵3.5.3连续时变系统可控性和可观性判别法则和连续定常系统的判别法之间的关系时变系统(4)(5)态空间中是零空间，则该系统才是完全能观的。空间，称为不能观子空间，记为。只有当系统的不能观子空问。在状众所周知，一个矩阵：因此，有这个矩阵的列矢量线性无关与非奇异等价。式中，为列矢量，当且仅当由构成的格拉姆矩阵为非奇异时，列矢量是线性无关的。现在3.6能控性与能观性的对偶关系能控性与能观性有其内在关系，这种关系是由卡尔曼提出的对偶原理确定的，利用对偶关系可以把对系统能控性分析转化为对其对偶系统能观性的分析。从而也沟通了最优控制问题和最优估计问题之间的关系。3.6.1线性系统的对偶关系有两个系统，一个系统为：另一个系统：为：若满足下述条件，则称与是互为对偶的。式中，为维状态矢量；各为r与m维控制矢量；各为与维输出矢量；为系统矩阵；各为，与，维控制矩阵；各为与维输出矩阵。3.6.2对偶原理3.6.3时变系统的对偶原理时变系统的对偶关系和定常系统稍有不同，且其对偶原理的证明也复杂得多。对偶原理是现代控制理论中一个十分重要的概念，利用对偶原理可以把系统能控性分析方面所得到的结论用于其对偶系统，从而很容易地得到其对偶系统能观性方面的结论。系统和是互为对偶的两个系统，则的能控性等价于的能观性，的能观性等价于的能控性。或者说，若是状态完全能控的(完全能观的)，则是状态完全能观的(完全能控的)。3.7状态空间表达式的能控标准型与能观标准型3.7.1单输入系统的能控标准艰如果系统是状态完全能控的，即满足：对于一般的维定常系统：1．能控标准型(1)若线性定常单输入系统：是能控的，则存在线性非奇异变换：(2)(3)使其状态空间表达式(1)化成：(4)其中(5)称形如式(4)的状态空间表达式为能控标准型。其中，为特征多项式：的各项系数。若线性定常单输入系统：2.能控标准型(6)相应的状态空间表达式(6)转换成：(7)是能控的，则存在线性非奇异变换：(8)其中(9)(10)(11)并称形如式(8)的状态空间表达式为能控标准型。式(9)中的是系统特征多项式：的各项系数，亦即系统的不变量。式(11)中的是相乘的结果，即：(12)3.7.2单输出系统的能观标准型与变换为能控标准型的条件相似，只有当系统是状态完全能观时，即有：系统的状态空间表达式才可能导出能观标准型。若线性定常系统：是能观的，则存在非奇异变换：(13)(14)1．能观标准型状态空间表达式的能观标准型也有两种形式，能观标准型和能观标准型，它们分别与能控标准型和能控标准型相对偶。使其状态空间表达式(13)化成：(15)其中(16)(17)(18)称形如式(15)的状态空间表达式为能观标准型。其中是矩阵A的特征多项式的各项系数。取变换阵：直接验证，或者用对偶原理来证明。证明过程如下：首先构造的对偶系统然后写出对偶系统的能控标准型，∑的状态空间表达式的能观标准型即是的能控标准型，即(19)的能控标准I型对应的系数阵；2．能观标准型(20)若线性定常单输出系统：是能观的，则存在非奇异变换式中，为系统的能控标准II型对应的系数阵；(21)的对偶系统的能控标准型对应的系数阵。为系统为系统使其状态空问表达式(20)变换为：(22)其中(23)(24)(25)称形如式(22)的状态空间表达式为能观标准型。3.8线性系统的结构分解3.8.1按能控性分解设线性定常系统(1)是状态不完全能控，其能控性判别矩阵：的秩则存在非奇异变换：(2)将状态空间表达式(1)变换为：(3)其中(4)(5)(6)可以看出，系统状态空间表达式变换为式(3)后，系统的状态空间就被分解成能控的和不能控的两部分，其中维子空问：是能控的，而维子系统：是不能控的。对于这种状态结构的分解情况如图所示，因为对不起作用，仅作无控的自由运动。显然，若不考虑维子系统，便可得到一个低维的能控系统。至于非奇异变换阵：(7)其中个列矢量可以按如下方法构成，前个列矢量是能控性矩阵M中的个线性无关的列，另外的个列在确保为非奇异的条件下，完全是任意的。3.8.2按能观性分解设线性定常系统：其状态不完全能观的，其能观性判别矩阵的秩(8)则存在非奇异变换：(9)将状态空间表达式(8)变换为：(10)其中(11)(12)(13)可见，经上述变换后系统分解为能观的，维子系统：结构图如下。显然，若不考虑维不能观测的子系统，便得到一个。维的能观系统。和不能观的，维子系统：非奇异变换阵是这样构成的，取(14)3.8.3按能控性和能观性进行分解1)如果线性系统是不完全能控和不完全能观的，若对该系统同时按能控性和能观性进行分解，则可以把系统分解成能控且能观、能控不能观、不能控能观、不能控不能观四部分。当然，并非所有系统都能分解成有这四个部分的。2)变换矩阵R确定之后．只需经讨一次变换便可对系统同时按能控性和能观性进行结构分解．但是R阵的构造需要涉及较多的线性空间概念。3)结构分解的另一种方法：先把待分解的系统化约旦标准型，然后按能空判别法则和能管判别个状态变量的能控型和能观性，最后按能控能观、能控不能观、不能控能观、不能控不能观四种类型分类排列，即可组成相应的子系统。3.9传递函数阵的实现问题3.9.1实现问题的基本概念对于给定传递函数阵W(s)，若有一状态空间表达式∑：则称该状态空间表达式∑为传递函数阵W(s)的一个实现。使之成立3.9.2能控标准型实现和能观标准型实现(1)3.7节已经介绍，对于一个单输入单输出系统，一旦给出系统的传递函数，便可以直接写出其能控标准型实现和能观标准型实现。本节介绍如何将这些标准型实现推广到多输入多输出系统。为此，必须把维的传递函数阵写成和单输入单输出系统的传递函数相类似的形式，即式中，为维常数阵；分母多项式为该传递函数阵的特征多项式。显然W(s)是一个严格真有理分式的矩阵，且当时，W(s)对应的就是单输入单输出系统的传递函数。(2)对于式形式的传递函数阵的能控标准型实现为：(3)