数学转化思想(初中-九年级-数学课件)

转化思想转化思想是解决数学问题的一种最基本的数学思想，在研究数学问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题，我们也常常在不同的数学问题之间互相转化，可以说在解决数学问题时转化思想几乎是无处不在的。例题分析例1解方程组xxxyxxy()()13514445242分析：从表面上看此题属于二元三次方程组的求解问题，超过我们所掌握的知识范围，但仔细分析可将方程组变形为()()()()xxxyxxxy22351443524，再利用换元法，问题就迎刃而解了。解：设xxuxyv235，原方程组可化为uvuv14424解之，得uv1212即xxxy2123512解之，得xy11448.xy22306.例2若m、n、p同时满足下面二式：23572351111mnpmnp，，求23511mnp的取值范围。分析：直接利用已知条件中的两个等式得到23511mnp的取值范围不好下手，如果换个角度考虑2351111mnp可变形为2235511mnp，令2ma，3nb，5pc，则已知条件可转化为方程组abcabc72511，进而找到a、b与c的关系，可以确定所求式子的取值范围。解：设235mnpabc，，，则abcabc7125112()()由(1)、(2)可得ac88(3)bc159(4)此时，23525365111mnpabcc(5)a0，由(3)得c1b0，由(4)得c53153c由(5)得3152351111mnp例3如图，ABC中，BC＝4，ACACB2360，，P为BC上一点，过点P作PD//AB，交AC于D。连结AP，问点P在BC上何处时，APD面积最大？ADBPHC分析：本题从已知条件上看是一个几何问题，而求最大值又是一个代数问题，因此把几何问题转化为代数中的函数问题是解题的关键，为了完成这种转化，需要把位置关系转化为数量关系，得出函数解析式。解：设BP＝x，APD的面积为y作AHBC于H则AHACCsin23323SBCAHSBPAHxABCABP12124361232PDABPCDBCA//~SSCPCBSCPSxPCDBCAPCDABC()()()2224384SSSSyxxAPDABCABPPCD6323842()化简得yxx38322配方得yx382322()x2即P为BC中点时，APD的面积最大这时APD的面积最大值为32例4已知二次函数yaxbxc2过点O(0，0)，A(13，)，B(－，243)和C(1，m)四点。(1)确定这个函数的解析式及m的值；(2)判断OAC的形状；(3)若有一动圆⊙M，点M在x轴上，与AC相切于T点，⊙M和OA、OC分别交于点R、S，求证RTS⌒弧长为定值。分析：(1)由于二次函数过三个定点，因此可以利用待定系数法确定函数的解析式，进而求出m的值。(2)分别计算出OA、OC、AC的长即可判定OAC的形状。(3)这一问综合性较强，需要根据条件列出点的坐标，再利用方程和距离公式求解。解：(1)yaxbxca20()的图象过点O(0，0)、A(13，)、B(－，243)cbaccba243403解得abc300，，二次函数解析式为yx32yx32的图象过点Cm()1，m3132()(2)OAOC()()13222AC()()1133222AOC是等边三角形(3)设点M的坐标为(P，0)⊙M与AC相切于T点⊙M的半径为3若⊙M与OA、OC分别交于RxySxy()()1122，、，则||()()||()()MRxPyMSxPy21212222223132yxyx11223334()()由(1)、(2)知，xx12、是方程()xPx2233的两个根即423022xPxP的两根为xx12、xxPxxPMRMSRSxxyy1212221221222343，||||||()()()()()xxxxxxxx122122122212343)434(4])[(42221221PPxxxx||RS3MRS是等边三角形，RMS60RTS⌒的弧长为603602333()（定值）说明：本例是一个综合问题，尤其是第(3)小题体现了代数与几何的综合，需将几何中的点用坐标表示出来，再通过代数方法列出方程通过距离公式确定MRS的形状，从而确定RMS的度数，最后计算出RTS⌒的弧长。例5如图，两圆同心，大圆的弦AD交小圆于B、C两点，AE切小圆于点E，连结CE，直线BE交大圆于P、Q两点，已知BE＝AE＝b，AB＝a。求证：(1)CD、CE的长是方程axabxab22220()的两个根；(2)求PB的长。DCPOBAEQ分析：此例不仅把线段CD、CE的长作为关于x的一元二次方程的根，还将含线段长a、b的代数式作为方程的系数，所以解此例的关键是用几何知识寻找线段CD、CE与实数a、b的等量关系，用含a、b的代数式表示CD、CE的长。略解：(1)依题意，可证ACEAEB~得CE＝AC由切割线定理，得baAC2，即CEACba2又CD＝AB＝aCDCEabaabaCDCEabab22222CDCE、的长是方程axabxab22220()的两个根(2)由相交弦定理，得PBBQABBD即PBPBbaba()2解得PBb512（不合题意，舍去）PBb512易错题分析例1.四边形ABCD中，ABC60，AC平分BAD，ACAD76，，SADC1523，求BC和AB的长。分析：本题是四边形问题，通常要转化为直角三角形来解决。由已知60ABC，AC平分BAD，所以想到由C点作ABCE于E，作ADCF于F。由已知3215ADCS可求出CF，由CFCE，可知CE的长，通过解BECRt可求出BC的长。BE也可求，再通过解AECRt由勾股定理求出AE的长，这样，AB的长就求出来了。解：作ABCE于E，ADCF于F21235,2356213215CECFADADCFSCFCEADC在BECRt中，235,60CEABC5,25BCBE在ACERt中，7AC由勾股定理，4121222CEACAE825211211EBAEABAE综上所述：8,5ABBC。A12FEDBC点评：本题有的同学没有思路，但如果想到由已知3215ADCS，想到作AD边上的高线，再由AC平分BAD想到从C点作角的两边的垂线段，总之，把四边形转化为直角三角形解决问题。例2.四边形ABCD中，120A，90ABC，7BD，3143cosDBC，求AB。分析：本题是四边形问题，可以通过分割或补全直角三角形进行转化，从而解决问题。解：过D点作BAED的延长线于E，若C为钝角，作BCDF延长线于F，（若C为锐角，作BCDF于F，同理）在DBFRt中，3143cosDBC，7BD，32331437cosDBCBDBF，213DF90ABCFE四边形EBFD是矩形213DFBE233BFDE在DEARt中，120DAB60EAD523213213,23AEBEABBEAEEAB60120CDF'C点评：本题通过分割或补全直角三角形来求解四边形，注意对C的讨论。C有可能是锐角、直角或钝角，但无论C是什么角，都不影响解题的结果。例3.在四边形ABCD中，ADAB，10,135,60ABDBAC，340ABCS，求CD的长。分析：本题也是四边形问题，需要转化为直角三角形解决。解：若B是锐角，（B是钝角或直角同理）过C点作ABCF于F，过C点作ADCE的延长线于E。10,34021ABABCFSABC90,9038DABEAFCCF四边形AECF是矩形38CFAE在AECRt中，60,90CABDAB838,30ECAEEAC在DECRt中，2845135DCEDCADCAFB6030D45EC点评：以上三个题组成一个题组，都是解四边形的问题。在四边形中，常常通过分割或补全直角三角形来求解四边形。其实质就是把四边形的问题转化为直角三角形的问题，所运用的数学思想就是转化的思想。以上三题容易错的地方是如何把四边形通过分割或补全直角三角形，另外要注意计算不要出错。练习一.选择题：1.若x、y都是实数，且||()xxyxx2229237120，则23xy的值是（）A.12B.－12C.12D.92.设关于x的二次方程()axax221420的两根为xx12、，若231212xxxx，则a的值是（）A.3B.－1C.3或－1D.－33.如图，梯形ABCD中，AB//DC，AB＝a，BD＝b，CD＝c，且a、b、c使方程axbxc220有两个相等实数根，则DBC和A的关系是（）A.DBCAB.DBCAC.DBCAD.DBCADC12AB4.在关于x的一元二次方程axbxcx()()1221022中，a、b、c是RtABC的三条边，C90，那么这个方程根的情况是（）A.没有实数根B.有两个相等的实数根C.有实数根D.有两个不相等的实数根5.已知a、b、c是ABC三边的长，ba＝c，且方程axbxc220两根的差的绝对值等于2，则ABC中最大角的度数是（）A.90B.120C.150D.606.已知a、b、c是ABC三条边长，关于x的方程axbxcx()()121022有两个相等的实数根，且224acb，则coscoscosABC的值是（）A.1B.15C.35D.757.若、是直角三角形两锐角，那么关于x的一元二次方程xtgxtg220根的情况是（）A.有两个相等的正根B.有两个不等的负根C.有一正根和一个负根D.没有实数根二.填空题：1.在长方形内有1989个点，以这1993个点（包括长方形四个顶点）为顶点画三角形，使每个三角形内部都不包含其它已知点，则这个长方形被分成________个三角形。2.方程xmxm22210在区间(－4，0)中有两个不相等实根，则m的取值范围是_______。3.在RtABC中，C90，D是BC中点，DEAB于E，tgB12，AE＝7，则DE的长为_______。三.解答题：1.解分式方程：xxx2229316().2.已知pqpq332，、为实数，证明：pq2。3.如图，AB是半圆O的直径，O是圆心，若ADCDCB105120，，CD22，求四边形ABCD的周长和面积。DCAOB4.已知：如图，在ABC中，E是BC的中点，D在AC边上，若AC长是1，且BAC60，ABCDEC10080，，求SSABCCDE2。BEADC5.已知边长为1的正方形ABCD内接于⊙O，延长BC到点E，使CE＝BC，