高中数学倾斜角与斜率导学案

3.1.1直线的倾斜角与斜率探究点一：直线的倾斜角1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任意一条直线都有倾斜角．()(2)任意一条直线都有斜率．()(3)经过两点的直线的斜率公式适用于任何直线．()2．下图中，所标直线的倾斜角正确的是()3.(1)设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角为()A．α＋45°B．α－135°C．135°－αD．当0°≤α135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α180°时，倾斜角为α－135°(2)已知直线l1的倾斜角α1＝15°，直线l1与l2的交点为A，直线l1和l2向上的方向所成的角为120°，如图，则直线l2的倾斜角为________．跟踪练习1．已知直线l的倾斜角为α－15°，则下列结论正确的是()A．0°≤α180°B．150°α180°C．15°≤α195°D．15°≤α180探究点二:直线的斜率及其应用例1已知直线的倾斜角，求直线的斜率：(1)=30。；(2)=135。;(3)=60。;(4)=90。变式：已知直线的斜率，求其倾斜角.（1）k=0；（2）k=1；（3）k=3；（4）k不存在.例2.求经过两点A(2,3),B(4,7)的直线的斜率和正切值,判断这条直线的倾斜角是锐角还是钝角。变式.1.求经过下列两点直线斜率，判断其倾斜角是锐角还是钝角.（1）A(2,3),B(1,4)；（2）A(5,0),B(4,2).2．已知过点P(－2，m)和Q(m,4)的直线的斜率等于1，则m＝________例3.(1)若三点A(2，－3)、B(4,3)、C(5，k)在同一条直线上，则实数k＝________.(2)已知A(3,3)，B(－4,2)，C(0，－2)．①求直线AB和AC的斜率；②若点D在线段BC上(包括端点)移动时，求直线AD的斜率的变化范围．错误!未指定书签。跟踪练习(1)如图，已知直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则()A．k1k2k3B．k3k1k2C．k3k2k1D．k1k3k2(2)①当且仅当m为何值时，经过两点A(－m,6)，B(1,3m)的直线的斜率为12?②当且仅当m为何值时，经过两点A(m,2)，B(－m,2m－1)的直线的倾斜角是60°？探究点三:直线的斜率与倾斜角的综合应用例4.(1)已知点A(2，－3)，B(－3，－2)，直线l过点P(1,1)，且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是()A．k≥34或k≤－4；B．k≥34或k≤－14C．－4≤k≤34；D.34≤k≤4.（2）点M(x，y)在函数y＝－2x＋8的图象上，当x∈[2,5]时，求y＋1x＋1的取值范围．错误!未指定书签。跟踪练习1.直线l经过A(2,1)，B(1，m2)(m∈R)两点，那么直线l的倾斜角α的取值范围是()A．0°≤α45°B．0°≤α≤45°或90°α180°C．0°≤α≤45°D．45°≤α90°或90°α180°2.已知实数x，y满足y＝x2－2x＋2(－1≤x≤1)，试求y＋3x＋2的最大值和最小值．3.已知直线的倾斜角α∈[3060。。，],求k的范围;已知k∈[-1,1]求α的范围.课后练习1.关于直线的倾斜角和斜率，下列说法正确的是()A．直线的倾斜角越大，它的斜率越大B．平行于x轴的直线的倾斜角为0°或180°C．若一条直线的倾斜角为α，则它的斜率k＝tanαD．直线斜率的取值范围是(－∞，＋∞)2.以下两点确定的直线的斜率不存在的是()A．(4,2)与(－4,1)B．(0,3)与(3,0)C．(3，－1)与(2，－1)D．(－2,2)与(－2,5)3.一条直线l与x轴相交，其向上方向与y轴正方向所成的角为α(0°α90°)，则其倾斜角为()A．αB．180°－αC．180°－α或90°－αD．90°＋α或90°－α4.过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角是135°，则y等于()A．1B．5C．－1D．－55.在平面直角坐标系中,正三角形ABC边BC所在直线斜率是0,则AC、AB所在直线斜率之和为（）A.23B.0C.3D.236.直线l经过第二、四象限,则直线l倾斜角的范围是()A．0°≤α90°B．90°≤α180°C．90°α180°D．0°α180°7.经过两点A(2,1),B(1，m)的直线的倾斜角为锐角,则m的取值范围是()A．m1B．m－1C．－1m1D．m1或m－18.下列说法：①若点A(1，－3)，B(1,3)，则直线AB的倾斜角为90°；②若直线过点(1,2)，且它的倾斜角为45°，则这条直线必过(3,4)点；③若直线的斜率为34，则这条直线必过(1,1)与(5,4)两点．其中正确的序号为________．9.直线l的倾斜角为α，斜率为k，则当k∈________时，0°≤α90°；当k∈________时，90°α180°.10.已知三点A(－3，－1)，B(0,2)，C(m,4)在同一直线上，则实数m的值为________．11.若三点A（2,2）,B（,0a）,C（0，b）（0ab）共线，则11ab的值等于________。12．设P为x轴上的一点,A(－3,8)、B(2,14),若PA斜率是PB斜率的两倍,则点P的坐标为______.13．若经过点P(1－a，1＋a)和Q(3，2a)的直线的倾斜角为锐角，则实数a的取值范围是________．14．直线l过点A(1,2)，且不过第四象限，则直线l的斜率的取值范围是_____.15．设直线l的倾斜角为，且，则直线l的斜率k的取值范围是_________．16．若直线l沿x轴负方向平移3个单位，再沿y轴正方向平移1个单位后，又回到原来的位置，那么直线l的斜率是________．17.直线经过二、三、四象限,l的倾斜角为,斜率为k,则为角；k的取值范围.18.已知直线1l的倾斜角为1a,则1l关于x轴对称的直线2l的倾斜角2a为________.19.已知直线l的斜角[0,45](135,180)a，则直线l的斜率的取值范围是_________。20.已知点A(1,2)，在坐标轴上求一点P，使直线PA的倾斜角为60°.21.已知两点A(－3,4)，B(3,2)，过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点．(1)求直线l的斜率k的取值范围；(2)求直线l的倾斜角α的取值范围．22.已知直线l过))1(,2(),)1(,2(22ttBttA两点，求此直线的斜率和倾斜角.3.1.2两条直线平行与垂直的判定探究点一：两条直线平行的判定及应用1.判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若两条直线平行，则这两条直线斜率相等．()(2)若两条不重合的直线的倾斜角相等，则这两条直线必定平行．()2.直线l1的倾斜角为30°，直线l1∥l2，则直线l2的斜率为()A.3B．－3C.33D．－33例1.判断下列各小题中的直线1l与2l是否平行。（1）1l经过点A（-1，-2）,B(2,1),2l经过点M（3，4），N（-1，-1）（2）1l经过点A（0，1）,B(1,0),2l经过点M（-1，3），N（2，0）（3）l1的倾斜角为60°，l2经过点M(1，3)，N(－2，－23)；变式.1.直线l1的斜率k1＝34，直线l2经过点A(1,2)，B(a－1,3)，l1∥l2，则a的值为()A．－3B．1C.103D.742.已知P(－2，m)，Q(m,4)，M(m＋2,3)，N(1,1)，若直线PQ∥直线MN，求m的值.探究点二：两条直线垂直的判定及应用1.已知直线l1的斜率k1＝－85，直线l2的斜率k2＝58，则l1与l2的位置关系为()A．平行B．重合C．垂直D．无法确定2.已知△ABC的三个顶点分别是A(2,2)，B(0,1)，C(4,3)，点D(m,1)在边BC的高所在的直线上，则实数m＝________.例2.(1)l1经过点A(3,4)和B(3,6)，l2经过点P(－5，20)和Q(5,20)，判断l1与l2是否垂直；(2)直线l1过点(2m,1)，(－3，m)，直线l2过点(m，m)，(1，－2)，若l1与l2垂直求实数m的值．错误!未找到引用源。变式：已知点A（-2，-5），B（6，6），点P在x轴上，且90APB，试求点P的坐标。探究点三：平行与垂直的综合问题例3.已知点A(0,3)，B(－1,0)，C(3,0)，求点D的坐标，使四边形ABCD为直角梯形(A，B，C，D按逆时针方向排列)．变式：1.直线l1，l2的斜率k1，k2是关于k的方程2k2－3k－b＝0的两根，若l1⊥l2，则b＝________；若l1∥l2，则b＝________.2.已知A(2,2＋22)，B(－2,2)，C(0,2－22)，D(4,2)四个点，顺次连接这四点，试判断四边形ABCD的形状．(说明理由)例4.如图所示，一个矩形花园里需要铺两条笔直的小路，已知矩形花园长AD＝5m，宽AB＝3m，其中一条小路定为AC，另一条小路过点D，问如何在BC上找到一点M，使得两条小路AC与DM相互垂直？课后练习1.直线l1的斜率为a，l1⊥l2，则直线l2的斜率为()A.1aB．aC．－1aD．－1a或不存在2.若直线l1∥l2，且l1的倾斜角为45°，l2过点(4,6)，则l2还过下列各点中的()A．(1,8)B．(－2,0)C．(9,2)D．(0，－8)3.若l1与l2为两条直线，它们的倾斜角分别为α1，α2，斜率分别为k1，k2，有下列说法：①若l1∥l2，则斜率k1＝k2；②若斜率k1＝k2，则l1∥l2；③若l1∥l2，则倾斜角α1＝α2；④若倾斜角α1＝α2，则l1∥l2.其中正确说法的个数是()A．1B．2C．3D．44.若过点P（1，4）和Q（a，2a+2）的直线与直线032yx平行，则a的值是（）A、1B、-1C1aD1a5.设点P(－4,2),Q(6，－4),R(12,6),S(2,12),则下面四个结论:①PQ∥SR；②PQ⊥PS；③PS∥QS；④RP⊥QS.正确的个数是()A．1B．2C．3D．46.已知两点A(2,0)，B(3,4)，直线l过点B，且交y轴于点C(0，y)，O是坐标原点，有O，A，B，C四点共圆，那么y的值是()A．19B.194C．5D．47.已知直线l的倾斜角为20°，直线l1∥l，直线l2⊥l，则直线l1与l2的倾斜角分别是______________．8.若点P(a，b)与Q(b－1，a＋1)是关于直线l对称的两点，则直线l的倾斜角为________9.已知定点A(1,3)，B(4，－2)，在y轴上求一点C，使得AC⊥BC，那么C点坐标是________．10.已知Rt△ABC的三个顶点A(2，－2)，B(4,0)，C(m,0)，那么m的值是________．11.已知l1的斜率是2，l2过点A(－1，－2)，B(x,6)，且l1∥l2，则19logx＝________.12.已知A（1，-1），B（2，2），C（3，0）三点，求点D使CDAB且CB//ＡＤ.13.直线l的倾斜角为30°，点P(2,1)在直线l上，直线l绕点P(2,1)按逆时针方向旋转30°后到达直线l1的位置，直线l2与l1平行，且l2是线段AB的垂直平分线，A(1，m－1)，B(m,2)，试求m的值．14.已知点M(2,2)，N(5，－2)，点P在x轴上，分别求满足下列条件的点P的坐标．(1)∠MOP＝∠OPN(O是坐标原点)；(2)∠MPN是直角．15.已知过原点O的一条直线与函数y＝log8x的图象交于A，B两点，分别过点A，B作y轴的平行线与函数y＝log2x的图象交于C，D两点．(1)证明：点C，D和原点O在同一直线上．(2)当BC平行于x轴时，求点A的坐标．3.2.1直线的点斜式方程探究点一:直线的点斜式方程及其应用例1.(1)写出满足