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第一章幼儿数学教育的基本理论第一节数学教育与幼儿发展一、数学是什么？在很多人心目中，数学就是计算。几乎每个人在成长的历程中，都经受过数数、加减之类的“数学启蒙”。然而，数学究竟是什么？这个问题并不容易回答。而在教育实践中，我们也常常感到困惑：儿童怎样才算是真正“掌握”了数学？恩格斯称数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的科学。这种“空间形式”和“数量关系”，即是从具体现实世界中抽取出来、又区别于具体事物的“模式”。数学和一般自然科学的区别就在于，它研究的不是具体事物自身的特性，而是事物与事物之间的抽象关系，即数、量、形等等。数学和具体事物既有距离，又有着密切的关系。说数学是一门科学，它的真理性不仅表现为“现实真理”，即数学反映了真实世界中的某种关系形式或特征；还表现为一种“模式真理”，即数学是具有真实背景的、遵循科学规律的一种抽象。简而言之，我们可以认为，数学就是一种模式，一种对模式的研究，或者一种模式化（抽象化）的过程。数学将具体的问题普遍化、抽象化为一个纯粹的数学问题，而对这个抽象的问题的解决又具有实际的意义，有助于解决实际的问题。因此，数学具有两重属性，即抽象性和现实性（或应用性）。著名数学家和数学教育家波利亚曾精辟地指出：“数学有两个侧面，一方面它是欧几里德式的严谨科学，从这个方面看，数学像是一门系统的演绎科学，但另一方面，创造过程中的数学，看起来却像是一门试验性的归纳科学。”数学的抽象性和现实性并不是对立的、矛盾的。现实生活是数学抽象的来源。恩格斯在其著作《反杜林论》中，对数学的实践本质作了精辟的论述。他写道：“数和形的概念不是从其它任何地方，而是从现实世界中得来的。人们曾用来学习计数，从而用来作第一次算数运算的十个指头，可以是任何别的东西，但是总不是理性的自由创造物。为了计数，不仅要有可以计数的对象，而且还要有一种在考察对象时撇开对象的其它一切特性而仅仅照顾到数目的能力，而这种能力是长期以来的以经验为依据的历史发展的结果。和数的概念一样，形的概念也完全是从外部世界得来的，而不是在头脑中由纯粹的思维产生出来的。必须先存在具有一定形状的物体，把这些形状加以比较，然后才能构成形的概念。纯数学的对象是现实世界的空间形式和数量关系，所以是非常现实的材料。这些材料以极度抽象的形式出现，这只能在表面上掩盖它起源于外部世界的事实。……但是，正如同其它一切思维领域中的一样，从现实世界抽象出来的规律，在一定的发展阶段上就和现实世界脱离，并且作为某种独立的东西，作为世界必须适应的外来的规律与世界相对立。”恩格斯的论述不仅令人信服地说明了数学的实践本质，而且指出了，数学之所以具有应用性，正是因为它植根于现实世界并反映了现实世界的必然规律，这也正是数学真理性的根源。回到前面的两个事例上来。我们既然认识到数学的这两重属性，就更应该坚信：儿童学习数学，须从他们生活中熟悉的具体事物入手，逐步开始数学的抽象过程。仅仅停留于具体问题的解决不能称为数学，而不从具体的事物出发或者脱离具体实践来教授抽象的数学运算，更是违背了数学的本质属性。对于当前的教育现状，后一种问题可能更为突出。就在几年以前，市面上还流行过一种加法口诀的录音磁带。里面有一群童声跟着诵读：“一加一等于二、二加二等于四……”而幼儿园里面，在懵懵懂懂、似懂非懂中学习数学运算的幼儿也不在少数。这些幼儿即便被教会了计算，也没有真正地学到数学。事实上，数学之难教，正是由于它“源于现实并高于现实”的双重属性：它既需要建立在具体事物的基础上，又需要拜摆脱具体事物进行抽象的思考。正由此，数学又具有双重的价值，即：理智训练价值和实践应用价值。二、数学教育对幼儿发展的价值幼儿处在逻辑思维萌发及初步发展的时期，也是数学概念初步形成的时期。这一时期的儿童还不能完全理解抽象的数学概念，但是并不是说他们就不可能学习数学。对于幼儿来说，学习数学同样具有理智训练和实践应用两方面的价值。除此之外，数学学习作为幼儿最早接触到的“学术性”学习活动，能够给他们一些早期的学习习惯和学习品质的训练，使他们将来能更好地适应小学阶段的学习。1．数学教育能使幼儿学会“数学地思维”，体验数学在生活中的应用。2．数学教育能训练幼儿的抽象思维能力，促进其逻辑思维的发展。3．数学教育能培养幼儿良好的学习习惯和学习品质，以更好地适应小学阶段的学习。此外，幼儿对规则的遵从也是在数学学习活动中逐步发展起来的。教师在数学活动中，往往会对幼儿提出一定的操作要求，规定幼儿按照一定的规则进行操作。规则在数学活动中具有特别重要的意义。只有遵从一定的规则，才能显现出数学特有的逻辑性。比如，“按特征分类”的活动，就要求幼儿给一组物体按照特定的标准（颜色或形状）进行分类，而不能随意乱分，否则幼儿就不可能理解其中所蕴含的逻辑。尽管有的小班幼儿开始并不能完全听从规则，常常“自行其是”，但是随着他们认识能力的发展，会逐渐理解规则的意义，并按照规则操作。幼儿对操作规则的理解和遵守，具有双重的意义。它既是幼儿完成数学操作的保证，也是幼儿社会性发展的具体表现。任务意识、规则意识的发展，能为幼儿适应小学的正规化的学习活动打下了重要的基础。数学教育还能培养幼儿学习数学的主动性、积极性，激发其学习动机。幼儿园的数学活动为幼儿提供了主动参与活动的机会。即使在小班的数学活动中，幼儿也有机会主动地活动。比如，教师为了让幼儿认识圆形和方形，请他们到教室内外到处寻找，哪些东西是圆形的，哪些东西是方形的。幼儿也非常积极主动地去寻找。对于较大的幼儿，教师常常给他们同时提供多种活动内容，幼儿可以自己选择活动内容和材料，自己独立完成各种操作活动。这些都能够培养幼儿学习的主动性、积极性。由于数学本身所具有的抽象性特点，它既不像自然物那样具备外在的形象，也不像科学现象那样发生奇幻的变化，更不像艺术作品那样富于动人的旋律或鲜艳的色彩，幼儿一般不会自发地对事物背后抽象的数学属性产生兴趣。但是，只要教师选择恰当的教育内容，采用得当的方法，并加以适当的引导，同样可以激发幼儿对数学的兴趣。幼儿对数学的兴趣往往开始于对材料的兴趣，对活动的过程和成果的兴趣。教师如提供色彩鲜艳、形象可爱的操作材料，能够吸引幼儿操作的兴趣，进而将兴趣转移到操作的内容。在数学操作活动的过程中，让幼儿自主操作，充分地和材料相互作用，能够满足幼儿操作的愿望，培养幼儿对数学操作活动的兴趣。有的活动还让幼儿通过操作完成一个小小的作品或作业，也能强化幼儿对数学活动的兴趣。当幼儿在具体操作活动中真正体验到数学内在的魅力，就会使这种对数学操作活动的外在的兴趣转变成对数学本身的内在的兴趣。这种兴趣不仅是对数学知识的兴趣，更是一种对理智活动和思维活动的兴趣。如果幼儿真正体会到数学的乐趣和学习的乐趣，幼儿园的数学学习必将成为他们学校生涯的良好开端。而如果幼儿真正获得一种全面的学习准备，而不仅仅是一种数学知识上的准备，他们将终生受益。无论在东方还是西方的文化中，数学都是年轻一代学习的一门重要学科。数学作为人类文化的一个重要组成部分，是幼儿将要面临的一个长期的学习任务。这并不是说，要使每个儿童将来都成为数学家，或者从事和数学有关的工作。事实上，这样的人所占比例很少，对于其他大多数人来说，数学的作用在于使之形成一种思维习惯，并帮助他们解决日常生活中的具体问题。这一观点是和世界上从20世纪80年代开始兴起的“大众数学”的教育观念是相一致的，即：（1）人人学有用的数学；（2）人人掌握数学；（3）不同的人学习不同的数学。而幼儿园阶段的数学教育，作为一种数学启蒙，其价值更体现在培养幼儿基本的数学素养，包括对数学活动的兴趣，主动学习数学和运用数学的态度等。第二节幼儿怎样学习数学儿童是怎样学习数学的？这个问题既简单又复杂。简单的理由是，他们几乎在不经意间就学会了数数。尽管开始时是胡乱地数，但逐渐地，他们就记住了正确的顺序，并且还能理解数的实际意义、做简单的加减运算……这一切似乎都顺理成章。然而，这对幼儿来说是一项了不起的成就。事实上，幼儿的数学概念从萌发到初步形成，经历了一个复杂而漫长的过程。而这一切都缘于数学知识本身的特点。一、数学知识的特点前面已经阐明，数学是对现实的一种抽象。1，2，3，4……等等数字，绝不是一些具体事物的名称，而是人类所创造的一个独特的符号系统。正如卡西尔（E.Cassirer）所言，“数学是一种普遍的符号语言——它与对事物的描述无关而只涉及对关系的一般表达”。也就是说，数是对事物之间关系的一种抽象。数学知识究其实质，是一种高度抽象化的逻辑知识。1.数学知识是一种逻辑知识。数学知识所反映的不是客观事物本身所具有的特征或属性，而是事物之间的关系。当我们说一堆橘子的数量是“5个”时，并不能从其中任何一个橘子中看到“5”这一属性，因为“5”这一数量属性并不存在于任何一个橘子中，而是存在于它们的相互关系中——所有的橘子构成了一个数量为“5”的整体。我们要通过点数得出橘子的总数来，就需要协调各种关系。可以说数目概念的获得是对各种关系加以协调的结果。总之，数学知识的逻辑性，决定了幼儿学习数学知识不是一个简单的记忆的过程，而是一个逻辑的思考的过程。它必须依赖于对各种逻辑关系的协调，这是一种反省的抽象。2.数学知识是一种抽象的逻辑知识。数学知识所反映的还不仅仅是具体事物之间的关系，而是从中抽象出来的、普遍存在的数学关系。即使是幼儿阶段所学习的10以内的自然数，也具有抽象的意义。比如“5”，它可以表示5个人、5只狗、5辆汽车、5个小圆片……任何数量是“5”的物体。只有当幼儿懂得了数字所表示的各种含义时，才能说他真正理解了数字的意义。这不仅需要他能从一堆具体的事物中抽取出5这一数量属性，还要能把这一抽象的计数原则运用于各种具体的事物身上，知道“5”不仅属于5只橘子，它是一种抽象的数学关系。幼儿要能理解数学知识的抽象性，必须具备一种抽象的逻辑思考能力，即要能摆脱具体事物的干扰，对其中的数学关系进行思考。如在进行“5的分合”时，具备抽象思考能力的幼儿就能理解，他分的不仅是5个橘子，而且是一个抽象的数量“5”。他分的结果也不仅对当前的事情有意义，而且能够推广到其它任何数量为“5”的事物上面——它们都可以根据这个原则进行分合，因为它们具有相同的数量。反过来，如果幼儿不能进行抽象的思考，即使他能够分5只橘子，也不一定会分5个苹果，因为对他来说这又是另一件事情了。由此可见，幼儿学习数学知识是一个从具体的事物中抽象出普遍的数学关系的过程。幼儿要能理解数这种抽象的逻辑知识，不仅要具备一定的逻辑观念，还要具备一定的抽象思考能力。那么，幼儿是否具有了这些心理准备呢？二、幼儿学习数学的心理准备幼儿有没有逻辑呢？皮亚杰认为是有的。儿童通过反省的抽象所获得的逻辑数理知识，正是其逻辑的来源。这里要解释的是，皮亚杰所说的逻辑，不同于我们平时所说的思维的“逻辑”，而是包含两个层面，即动作的层面和抽象的层面。儿童逻辑的发展遵循着从动作的层面向抽象的层面转化的规律。他对儿童逻辑的心理学研究发现，对应结构、序列结构和类包含结构不仅是数学知识的基础，也是儿童的基本的逻辑结构。也就是说，数学知识的逻辑和幼儿的心理逻辑是相对应的。幼儿思维的发展，特别是幼儿逻辑观念的发展，为他们学习数学提供了重要的心理准备。那么，幼儿的思维发展为他们学习数学知识提供了什么样的逻辑准备呢？1．幼儿逻辑观念的发展我们以数学知识中普遍存在的逻辑观念——一一对应观念、序列观念和类包含观念为例，考察幼儿逻辑观念的发展。（1）一一对应观念幼儿的一一对应观念形成于小班中期（3岁半以后）。起初，他们可能只是在对应的操作中感受到一种秩序，并没有将其作为比较两组物体数目多少的办法。逐渐地，他们发现过去仅靠直觉判断多少是不可靠的：有的时候，占的地方大，数目却不一定多。而通过一一对应来比较多少更加可靠一些。在小班末期，有的儿童已建立了牢固的一一对应观念。比如在“交替排序”活动中，存在四种物体，其中既有交替排序，又有对应排序。教师问一个儿童小鸡有多少，他通过点数说出有4只，再问小虫（和小鸡对应）有多少，他一口报出有4条。又问小猫有多少，他又