32个经典圆锥曲线问题

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..圆锥曲线32题1.如图所示,,分别为椭圆:()的左、右两个焦点,,为两个顶点,已知椭圆上的点到,两点的距离之和为.(1)求椭圆的方程;(2)过椭圆的焦点作的平行线交椭圆于,两点,求的面积.2.已知椭圆:的离心率为,过左焦点且倾斜角为的直线被椭圆截得的弦长为.(1)求椭圆的方程;(2)若动直线与椭圆有且只有一个公共点,过点作的垂线,垂足为,求点的轨迹方程.3.已知椭圆的离心率为,点在上.(1)求的方程;(2)直线不过原点且不平行于坐标轴,与有两个交点,,线段的中点为.证明:直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值.4.已知的顶点,在椭圆上,点在直线:上,且.(1)当边通过坐标原点时,求的长及的面积;(2)当,且斜边的长最大时,求所在直线的方程...5.已知椭圆的中心为坐标原点,一个长轴顶点为,它的两个短轴顶点和焦点所组成的四边形为正方形,直线与轴交于点,与椭圆交于异于椭圆顶点的两点,,且.(1)求椭圆的方程;(2)求的取值范围.6.已知抛物线的焦点为,是抛物线上横坐标为,且位于轴上方的点,到抛物线准线的距离等于,过作垂直于轴,垂足为,的中点为.(1)求抛物线的方程;(2)若过作,垂足为,求点的坐标.7.已知圆过定点,且与直线相切,圆心的轨迹为,曲线与直线相交于,两点.(1)求曲线的方程;(2)当的面积等于时,求的值.8.已知直线与椭圆相交于两个不同的点,记与轴的交点为.(1)若,且,求实数的值;(2)若,求面积的最大值,及此时椭圆的方程.9.如图,设抛物线()的焦点为,抛物线上的点到轴的距离等于.(1)求的值;(2)若直线交抛物线于另一点,过与轴平行的直线和过与垂直的直线交于点,与轴交于点.求的横坐标的取值范围...10.已知点在椭圆上,且点到两焦点的距离之和为.(1)求椭圆的方程;(2)若斜率为的直线与椭圆交于,两点,以为底作等腰三角形,顶点为,求的面积.11.已知椭圆的离心率为,且过点.(1)求椭圆的方程;(2)若,是椭圆上的两个动点,且使的角平分线总垂直于轴,试判断直线的斜率是否为定值?若是,求出该值;若不是,说明理由.12.已知椭圆:的离心率为.其右顶点与上顶点的距离为,过点的直线与椭圆相交于,两点.(1)求椭圆的方程;(2)设是中点,且点的坐标为当时,求直线的方程.13.设,分别是椭圆的左,右焦点,是上一点且与轴垂直.直线与的另一个交点为.(1)若直线的斜率为,求的离心率;(2)若直线在轴上的截距为,且,求,.14.在平面直角坐标系中,点,直线与动直线的交点为,线段的中垂线与动直线的交点为.(1)求点的轨迹的方程;(2)过动点作曲线的两条切线,切点分别为,,求证:的大小为定值.15.已知中心在原点的双曲线的右焦点为,右顶点为...(1)求该双曲线的方程;(2)若直线:与双曲线左支有两个不同的交点,,求的取值范围.16.己知椭圆与抛物线共焦点,抛物线上的点到轴的距离等于,且椭圆与抛物线的交点满足.(1)求抛物线的方程和椭圆的方程;(2)过抛物线上的点作抛物线的切线交椭圆于,两点,设线段的中点为,求的取值范围.17.已知右焦点为的椭圆:关于直线对称的图形过坐标原点.(1)求椭圆的方程;(2)过点且不垂直于轴的直线与椭圆交于,两点,点关于轴的对称原点为,证明:直线与轴的交点为.18.在平面直角坐标系中,抛物线的顶点是原点,以轴为对称轴,且经过点.(1)求抛物线的方程;(2)设点,在抛物线上,直线,分别与轴交于点,,.求直线的斜率.19.已知抛物线与直线相切.(1)求该抛物线的方程;(2)在轴正半轴上,是否存在某个确定的点,过该点的动直线与抛物线交于,两点,使得为定值.如果存在,求出点坐标;如果不存在,请说明理由...20.左、右焦点分别为,的椭圆经过点,为椭圆上一点,的重心为,内心为,.(1)求椭圆的方程;(2)为直线上一点,过点作椭圆的两条切线,,,为切点,问直线是否过定点?若过定点,求出定点的坐标;若不过定点,请说明理由.21.已知抛物线,为其焦点,过点的直线交抛物线于,两点,过点作轴的垂线,交直线于点,如图所示.(1)求点的轨迹的方程;(2)直线是抛物线的不与轴重合的切线,切点为,与直线交于点,求证:以线段为直径的圆过点.22.已知椭圆,其短轴为,离心率为.(1)求椭圆的方程;(2)设椭圆的右焦点为,过点作斜率不为的直线交椭圆于,两点,设直线和的斜率为,,试判断是否为定值,若是定值,求出该定值;若不是定值,请说明理由.23.在平面直角坐标系中,抛物线的焦点为,准线交轴于点,过作直线交抛物线于,两点,且...(1)求直线的斜率;(2)若的面积为,求抛物线的方程.24.过双曲线的右支上的一点作一直线与两渐近线交于,两点,其中是的中点;(1)求双曲线的渐近线方程;(2)当坐标为时,求直线的方程;(3)求证:是一个定值.25.如图,线段经过轴正半轴上一定点,端点,到轴的距离之积为,以轴为对称轴,过,,三点作抛物线.(1)求抛物线的标准方程;(2)已知点为抛物线上的点,过作倾斜角互补的两直线,,分别交抛物线于,,求证:直线的斜率为定值,并求出这个定值.26.如图,已知椭圆的左右顶点分别是,,离心率为.设点,连接交椭圆于点,坐标原点是.(1)证明:;(2)若三角形的面积不大于四边形的面积,求的最小值.27.已知抛物线的焦点为,过的直线交于,两点,为线段的中点,为坐标原点.,的延长线与直线分别交于,两点.(1)求动点的轨迹方程;(2)连接,求与的面积比.28.已知抛物线过点.过点作直线与抛物线交于不同的两点,,过点作轴的垂线分别与直线,交于点,,其中为原点.(1)求抛物线的方程,并求其焦点坐标和准线方程;..(2)求证:为线段的中点.29.如图,在平面直角坐标系中,椭圆的左、右焦点分别为,,离心率为,两准线之间的距离为.点在椭圆上,且位于第一象限,过点作直线的垂线,过点作直线的垂线.(1)求椭圆的标准方程;(2)若直线,的交点在椭圆上,求点的坐标.30.如图:中,,,,曲线过点,动点在上运动,且保持的值不变.(1)建立适当的坐标系,求曲线的标准方程;(2)过点且倾斜角为的直线交曲线于,两点,求的长度.35.已知椭圆的焦点在轴上,中心在坐标原点;抛物线的焦点在轴上,顶点在坐标原点.在,上各取两个点,将其坐标记录于表格中:(1)求,的标准方程;(2)已知定点,为抛物线上一动点,过点作抛物线的切线交椭圆于,两点,求面积的最大值.36.已知点为椭圆:的左焦点,且两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形,直线与椭圆有且仅有一个交点...(1)求椭圆的方程;(2)设直线与轴交于,过点的直线与椭圆交于不同的两点,,若,求实数的取值范围...圆锥曲线32题答案1.(1)由题设知:,即.将点代入椭圆方程得,解得.所以,故椭圆方程为.(2)由()知,,所以,所以所在直线方程为,由得,设,,则,,所以所以2.(1)因为椭圆的离心率为,所以.解得,故椭圆的方程可设为,则椭圆的左焦点坐标为..,过左焦点且倾斜角为的直线方程为:.设直线与椭圆的交点为,,由消去,得,解得,.因为,解得.故椭圆的方程为.(2)①当切线的斜率存在且不为时,设的方程为,联立直线和椭圆的方程,得消去并整理,得.因为直线和椭圆有且只有一个交点,所以.化简并整理,得.因为直线与垂直,所以直线的方程为.联立方程组解得所以把代入上式得②当切线的斜率为时,此时或,符合式.③当切线的斜率不存在时,此时或符合式...综上所述,点的轨迹方程为.3.(1)由题意得解得,.所以的方程为.(2)设直线(,),,,.将代入,得.故,.于是直线的斜率,即.所以直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值.4.(1)因为,且通过原点,所以所在直线的方程为.由得,两点坐标分别是,.所以.又因为边上的高等于原点到直线的距离.所以,.(2)设所在直线的方程为,由得.因为,两点在椭圆上,所以,即.设,两点坐标分别为,,则,,且,...所以又因为的长等于点到直线的距离,即.所以.当时,边最长.(显然).所以,所在直线的方程为.5.(1)由题意,知椭圆的焦点在轴上,设椭圆方程为,由题意,知,,又,则,所以椭圆方程为.(2)设,,由题意,知直线的斜率存在,设其方程为,与椭圆方程联立,即消去,得,,由根与系数的关系,知又,即有,所以.则,..所以.整理,得,又时等式不成立,所以,得,此时.所以的取值范围为.6.(1)抛物线的准线为,于是,所以,所以抛物线方程为.(2)由(1)知点的坐标是,由题意得,.又因为,所以.因为,所以,所以的方程为的方程为由联立得,,所以的坐标为.7.(1)设圆心的坐标为,由题意,知圆心到定点和直线的距离相等,故圆心的轨迹的方程为.(2)由方程组消去,并整理得.设,,则,.设直线与轴交于点,则.所以..因为,所以,解得.经检验,均符合题意,所以.8.(1)因为,所以设点的坐标为,点的坐标为由得则,则,解得.(2)设点的坐标为,点的坐标为,由得,得,则.由得,解得,代入上式得:,则,,当且仅当时取等号,此时,又,..则,解得.所以,面积的最大值为,此时椭圆的方程为.9.(1)由题意可得,抛物线上点到点的距离等于点到直线的距离,由抛物线的定义,即.(2)由(1)得,抛物线方程为,,可设,,.因为不垂直于轴,可设直线:,由消去得,故,所以.又直线的斜率为,故直线的斜为.从而得直线:,直线:.所以.设,由,,三点共线得,于是.所以或.经检验,或满足题意.综上,点的横坐标的取值范围是.10.(1)因为,所以.又点在椭圆上,所以,解得,所以椭圆的方程为.(2)设直线的方程为.由得,..设,的坐标分别为,,的中点为,则,.因为是等腰的底边,所以.所以的斜率,解得.此时方程为,解得,,所以,,所以.此时,点到直线的距离,所以的面积.11.(1)因为椭圆的离心率为,且过点,所以,.因为,解得,,所以椭圆的方程为.(2)法1:因为的角平分线总垂直于轴,所以与所在直线关于直线对称.设直线的斜率为,则直线的斜率为.所以直线的方程为,直线的方程为.设点,,由消去,得因为点在椭圆上,所以是方程的一个根,则.所以.同理.所以...又.所以直线的斜率为.所以直线的斜率为定值,该值为.法2:设点,,则直线的斜率,直线的斜率.因为的角平分线总垂直于轴,所以与所在直线关于直线对称.所以,即因为点,在椭圆上,所以由得,得同理由得由得,化简得由得得.得,得.所以直线的斜率为为定值.法3:设直线的方程为,点,,则,,直线的斜率,直线的斜率.因为的角平分线总垂直于轴,所以与所在直线关于直线对称.所以,即,化简得.把,代入上式,并化简得..由消去得则,,代入得,整理得,所以或.若,可得方程的一个根为,不合题意.若时,合题意.所以直线的斜率为定值,该值为.12.(1)由题意可知:,又,,所以,,所以椭圆的方程为:.(2)①若直线的斜率不存在,此时为原点,满足,所以,方程为.②若直线的斜率存在,设其方程为,,将直线方程与椭圆方程联立可得即,可得设,则,,由可知,化简得,解得或,将结果代入验证,舍掉.此时,直线的方程为.综上所述,直线的方程为或...13.(1)根据及题设知,.将代入,解得或(舍去).故的离心率为.(2)由题意,得原点为的中点,轴,所以直线与轴的交点是线段的中点,故,即由得.设,由题意知,则即代入的方程,得将及代入得.解得,,故,.14.(1)据题意,,所以为点到直线的距离,连接,因为为线段的中垂线与直线的交点,所以,所以点的轨迹是抛物线,焦点为,准线为直线,所以曲线的方程为.(2)据题意,,过点的切线斜率存在,设为,则切线方程为:,联立抛物线方程可得,由直线和抛物线相切,可得,即因为,所以方程存在两个不等实根,设为,,因为,,由方程可知,,所以切线,所以,结论得证.15.(1)由题意设双曲线方程为...由已知得,,再由,得.故双曲线的方程为.(2)设,,将代入,得.由题意知解得.所以的取值范围为.16.(1)因为抛物线上的点到轴的距离等于,所以点到直线的距离等于点到焦点的距离,得是抛物线的准线,即,解得,所以抛物线的方程为;可知椭圆的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