“应用基本不等式求最值”教学设计

1“应用基本不等式求最值”教学设计孙志华一、教材分析（一）本节教材所处的地位和作用“基本不等式ab≤a＋b2”是普通高中标准实验教科书数学必修5第三章“不等式”的内容，是在学完不等式性质的基础上对不等式的进一步研究．本节内容具有变通灵活性、应用广泛性、条件约束性等特点，所以在一轮复习中本节内容是培养学生应用数学知识，灵活解决实际问题，学数学用数学的好素材；同时本节知识又渗透了数形结合、化归等重要数学思想，所以有利于培养学生良好的思维品质．（二）教材处理依据一轮复习计划，本节分为二个课时进行教学．第一课时讲解利用基本不等式的证明问题．第二课时讲解应用基本不等式解决某些最值问题．本节课为第二课时。为了讲好这节内容，在紧扣考纲的前提下，对例题作适当的调整，适当增加例题．（三）教学目标知识目标：（1）会利用“基本不等式”解决某些最值问题；（2）掌握获得“基本不等式”条件的常用方法。能力目标：（1）学生对问题的探索、研究、归纳，能总结出一般性的解题方法和解题规律，提高学生的抽象概括能力。（2）通过学生的口头表述和书面表达提高学生的数学表达和数学交流的能力。（3）通过例题、变式练习的解决树立学生的化归思想；德育目标：通过具体问题的解决，增强科学严谨的治学态度，体会“探究学习”在学习过程中的作用，使学生体验成功，增强学习数学的自信心。（四）教学重点、难点、关键重点：用基本不等式求解最值问题的思路和基本方法。难点：基本不等式的使用条件，合理地应用基本不等式．关键：理解基本不等式的约束条件，掌握化归的数学思想是突破重点和难点的关键．二、学情分析我所教的两个班都是理科普通班，大部分学生数学基础较差；学生的理解能力，运算能力，思维能力等方面参差不齐；但学生有学好数学的自信心，有一定的学习积极性。三、教法分析（－）教学方法为了激发学生学习的主体意识，又有利于教师引导学生学习，培养学生的数学能力与创新能力，使学生能独立实现学习目标，课前下发学案，课上采用合作探究式学习．其中，在探索结论时，采用发现法；在训练部分，主要采用讲练结合法进行．（二）教学手段根据本节知识特点，为突出重点，突破难点，增加教学容量，利用计算机和实物投影辅导教学．四、教学过程设计（一）考纲点击1.了解基本不等式的证明过程.22.会用基本不等式解决简单的最值问题.生：齐读考纲师：明确本节课重点“求最值”，板书课题。设计意图：通过齐读考纲让学生明确基本不等式在高考中的地位和作用，明确本节的学习目标，并导入课题。引出课题——利用“均值不等式”求最值（二）、考点梳理1.基本不等式ab≤a＋b2;重要不等式a2＋b2≥2ab(1)基本不等式成立的条件：①__________.(2)等号成立的条件：当且仅当②__________时取等号．(3)两个平均数：a＋b2称为正数a，b的③______，ab称为正数a，b的④__________.2．利用基本不等式求最值问题已知a＞0，b＞0，则(1)如果积ab是定值p，那么当且仅当⑨__________时，a＋b有最小值是⑩______(简记：“积定和最小”)．(2)如果和a＋b是定值s，那么当且仅当⑪__________时，ab有最大值是⑫__________(简记：“和定积最大”)．师：抽签提问。生：口答。师：强调“一正、二定、三相等”设计意图：通过梳理知识点让学生对即将用到的知识点有个清楚的认识，进一步强化“基本不等式”的使用条件。（三）合作探究探究任务一：本部分包括一个例题，五个变式，题目的安排本着由简单到复杂，层层递进的原则，而问题的解决恰是一个互逆的过程，即由复杂到简单，步步转化的过程。例一：1=+yxx求值域.变式1：已知1,x求1=+-1yxx的最小值为.变式2：若x45,求y=4x-2+541x的最大值.变式3：若x2，求y=2542xxx的最小值.变式4：若0,x求2+3+1xyxx的最大值.变式5：求1522xxy的值域.生：合作探究，组内讨论5分钟，解决疑难师：巡视指导，抽小组签生：被抽中组选派一人，投影展示答题结果，并解答其他同学的疑问3师：点评并表扬，对变式中的问题再做变形，变式2变为若x45,求y=x-2+541x的最大值；变式5变为求4522xxy的值域生：讨论，口答师：总结这组题型为“积为定值”设计意图：通过一个例题五个变式让学生对“积为定值”求最值题型理解。探究任务二：本部分包括一个例题，二个变式，题目的安排本着由简单到复杂，层层递进的原则，而问题的解决恰是一个互逆的过程，即由复杂到简单，步步转化的过程。例二：若x,y∈R+,x+y=4,求xy的最小值.变式1：已知232yx，（x0,y0）,求xy的最小值.变式2：求函数1()(12)(0)2fxxxx的最大值.生：合作探究，组内讨论2分钟，解决疑难师：巡视指导，抽小组签生：被抽中组选派一人，投影展示答题结果，并解答其他同学的疑问师：点评并表扬，总结这组题型为“和为定值”设计意图：通过一个例题两个个变式让学生对和为定值求最值题型理解。探究任务三：本部分包括一个例题，二个变式，题目的安排本着由简单到复杂，层层递进的原则，而问题的解决恰是一个互逆的过程，即由复杂到简单，步步转化的过程。例三：已知0,0,xy且19+=1xy，求+xy的最小值.变式1：若0x1,求xx112的最小值.变式2：若正数x，y满足x＋3y＝5xy，求3x＋4y的最小值.生：合作探究，组内讨论3分钟，解决疑难师：巡视指导，抽小组签生：被抽中组选派一人，投影展示答题结果，并解答其他同学的疑问师：点评并表扬，对例题问题再做变形，变为已知0,0,xy且，+xy=1求yx91的最小值.再变已知0,0,xy且yx91=4，求+xy的最小值.生：讨论，口答师：总结这组题型为“乘一法”，并指出这种方法的本质是积为定值。4设计意图：通过一个例题两个个变式让学生对“乘一法”求最值题型理解，并指出这种方法的本质是积为定值。探究设计意图：通过三个例题及三组变式，让学生掌握获得“基本不等式”条件的基本方法，同时提高学生分析问题、解决问题的能力，培养学生的化归思想。（四）课堂小结培养学生的归纳、概括能力及对问题进行反思的习惯，使学生系统地巩固所学知识。（五）当堂检测课堂检测1．函数y＝x＋1x(x＞0)的值域为()A．(－∞，－2]∪[2，＋∞)B．(0，＋∞)C．[2，＋∞)D．(2，＋∞)2．已知m＞0，n＞0，且mn＝81，则m＋n的最小值为()A．18B．36C．81D．2433．若M＝a2＋4a(a∈R，a≠0)，则M的取值范围为()A．(－∞，－4]∪[4，＋∞)B．(－∞，－4]C．[4，＋∞)D．[－4,4]4．若x＞1，则x＋4x－1的最小值为__________．5．已知x＞0，y＞0，lgx＋lgy＝1，则z＝2x＋5y的最小值为__________．设计意图：检验学生的学习效果。设计感想：以上就是我对本节课教学的总体设计，遵照以学生为主体，教师为主导的原则，努力营造一个宽松、和谐、生动的学生气氛，以更好地提高教育教学的质量，达到师生共同学习，共同进步的目的。