浅谈数学归纳法

1贵州师范大学数学与计算机科学学院2011级高等代数专题研究论文项目名称：浅谈数学归纳法学院：数学与计算机科学学院专业年级：2011级数学与应用数学学生姓名：学号::::联系方式::::指导教师：二〇一四年4月至5月1目录1、浅谈数学归纳法……………………………………………………22、引言…………………………………………………………………23、归纳法………………………………………………………………94、数学归纳法…………………………………………………………35、数学归纳法的应用与易错分析……………………………………56、数学归纳法的用法说明……………………………………………107、小结…………………………………………………………………108、参考文献……………………………………………………………119、致谢词………………………………………………………………1210、初谈写“数学归纳法”之收获……………………………………132浅谈数学归纳法浅谈数学归纳法浅谈数学归纳法浅谈数学归纳法********（贵州师范大学数学与计算机科学学院贵州贵阳）摘要：数学归纳法是数学上证明与自然数N有关的命题的一种特殊方法.在在证明与自然数有关的命题时更是有其独特之处.要熟练的应用数学归纳法，首先必须准确的理解其意义以及熟练的掌握解题步骤，其次理解和掌握“归纳——猜想——证明”这一探索发现的思维方法.再次要注重原理的理解，探索证明的严密性与有效性.最后充分利用假设，掌握其实质.数学归纳法的思想贯穿于发现问题和解决问题的全过程.本文将对数学归纳法的由来、应用技巧、解题思路以及需要注意的问题进行简要的论述.关键词：数学归纳法；归纳；假设；自然数DiscussionDiscussionDiscussionDiscussionononononthethethethemathematicalmathematicalmathematicalmathematicalinductioninductioninductioninductionYaoYun(SchoolofMathematicsAndComputerScience,GuizhouNormalUniversity,GuizhouGuiyang)AbstractAbstractAbstractAbstract：：：：ThemathematicalinductionisaspecialmethodinconnectionwithanaturalnumberNtheproofofmathematics.Inthepropositionconcerningthenaturalnumberisalsohasitsuniquefeatures.Toapplymathematicsskilledinductivemethod,firstmustbeaccurateunderstandingofitsmeaningandmasteringtheproblem-solvingsteps,thenunderstandandmasterinductivethinkingmethod--guess--thatthediscovery.Onceagaintofocusontheunderstandingoftheprinciples,strictandeffectiveexplorationproved.Finallybyhypothesisfully,graspitsessence.Thethoughtofmathematicalinductionthroughfindingandsolvingproblemsinthewholeprocess.Thispaperdiscussestheorigin,mathematicalinductionskills,problem-solvingideasandproblemsneedingattention.KeyKeyKeyKeyword:word:word:word:Mathematicalinduction;Induce;Hypothesis;Naturalnumber.1.1.1.1.引言引言引言引言1111....1111归纳法归纳法归纳法归纳法1111....1111....1111归纳法的定义归纳法的定义归纳法的定义归纳法的定义归纳论证是一种由个别到一般的论证方法.它通过许多个别的事例或分论点，然后归纳出它们所共有的特性，从而得出一个一般性的结论.1111....1111....2222归纳法的特点归纳法的特点归纳法的特点归纳法的特点（1）归纳法是根据特殊现象推断一般现象，因而，由归纳所得的结论，超越了前提所包含的内容；（2）归纳法是依据若干已知的不完尽的现象推断上属未知的现象，因而结论具有猜测的性质；3（3）归纳法的前提是单个事实、特殊情况，所以归纳是立足于观察、经验或实验的基础上的.2222数学数学数学数学归纳法归纳法归纳法归纳法2222....1111数学归纳法的发展数学归纳法的发展数学归纳法的发展数学归纳法的发展普通归纳法与无穷自然数相结合的数学证明方法，让人无法直观感觉的概念相结合的“数学归纳法”,经历了一个漫长的认识过程.在16世纪晚期,数学归纳法开始出现在代数中.1575年意大利数学家莫洛里克斯（1494-1575）在他的著作《算术》中就提出了这种方法,并利用递推关系巧妙的证明出证明了前n个奇数的总和是n^2，由此揭开了数学归纳法之谜.莫洛里克斯并没有把数学归纳法贯彻到底,因为他需要证明的地方没有必要的演绎,但是可以说莫洛里克斯算是一个早期研究数学归纳法的数学家,一般认为,历史上第一次成功利用数学归纳法的是17世纪法国数学家帕斯卡（1623-1662）,1654年,帕斯卡第一次用数学归纳法证明了指数为正整数时的二项式（a+b)^2展开式的系数公式,从而得到有名的帕斯卡三角阵.继帕斯卡之后,数学归纳法就成为数学家们手中得心应手的工具,在费马（1601-1665）、伯努力（1654-1705）、欧拉（1707-1783）这些大数学家们就运用到数学归纳法做出出色的成就,1889年意大利数学家皮亚诺(C·Peano,1858～1932,意大利)发表《算术原理新方法》,给出自然数的公理体系,使数学归纳法有了一个准确、合理的理论基础．现在开始我们重新认识一下数学归纳法.在国内，如《数学教育报》,《数学通报》,《数学通讯》等,刊载的相关文章都从各个角度具体阐述了数学归纳法的常见问题.数学归纳法是数学中一种重要的证明方法,也是中学数学一个非常重要的内容,用于证明与无穷的自然数集相关的命题.2222....2222数学归纳法的定义数学归纳法的定义数学归纳法的定义数学归纳法的定义数学上证明与自然数N有关的命题的一种特殊方法，它主要用来研究与正整数有关的数学问题，在高中数学中常用来证明不等式成立和数列通项公式成立.2222....3333数学归纳法的思想数学归纳法的思想数学归纳法的思想数学归纳法的思想对于一个与自然数有关的命题p(n)，数学归纳法将命题p(n)理解为一系列问题：p(1),p(2),p(3),…,即p(n)={p(n)|n∈N｝.然后有命题p(1),p(2),p(3),…都成立去下决定“命题p(n)成立”，为数学归纳法中的归纳思想.42222....4444数学归纳法的依据及步骤数学归纳法的依据及步骤数学归纳法的依据及步骤数学归纳法的依据及步骤2.4.1数学归纳法的依据理论依据是自然数的皮亚诺（peano,1858年-1932年，意大利数学家）公理，其中一条叫做归纳定理：“如果某一正整数的集合M含有1，而且只要M含有正整数K，就一定含有K后面紧挨着的那个正整数K+1，那么M就是正整数集本身.”现设p(n)是一个与正整数n有关的命题，用M表示使p(n)成立的正整数的集合.由数学归纳法的第一个步骤，可知命题p(1)成立，所以M含有1.再由数学归纳法的第二个步骤，可知在假设n=k时命题p(k)成立后，可以推出n=k+1时命题p(k+1)也成立；换句话说，只要M含有正整数K，就一定含有K后面紧挨着的那个正整数K+1.因此根据归纳公理，M就是正整数集本身，即命题p(n)对于所有正整数都成立.2.4.2数学归纳法的步骤数学归纳法步骤严谨,如果把要证明的命题记作P(n),那么数学归纳法的步骤为：(1)证明当n取对命题适用的第一个自然数n1时,p(n1)正确.(2)假设n=k(且k大于等于零)时,命题成立,即p(k)正确.证明当n=k+1时命题成立.(3)根据(1)、(2)当k≥1且n=k+1时正确,即p(n)正确.运用数学归纳法证题时,以上三个步骤缺一不可,步骤(1)时正确的奠基步骤,称之为归纳基础,步骤(2)反应了无限递推关系,即命题的正确性具有传递性,若只有步骤(1),而无步骤(2),只是证明了命题在特殊情况下的正确性是不完全归纳法,若只有步骤(2),而没有步骤1,那么假设n=k成立,就时没有根据的,缺少递推的基础,也无法进行递推,有了步骤(1)和步骤(2)使递推成为了可能,步骤(3)是将步骤(1)步骤(2)结合完成数学归纳法中递推的全过程,因此三个步骤缺一不可.2222....5555数学归纳法的分类数学归纳法的分类数学归纳法的分类数学归纳法的分类2.5.1第一类数学归纳法定义：在教科书里我们常见到的就是第一数学归纳法，介绍如下：原理：设有一个与正整数n有关的命题P(n).如果：（1）当n=1时命题成立（2）假设n=k时命题成立（3）若能证明n=k+1时命题也成立.证明：反证法.假设该命题不是对于一切正整数都成立.令S表示使该命题不成立的正整数作成的集合，那么s≠Ø，于是由最小数原理，S中有最小数a,因为命题对于n=1时成立，所以a≠1，a1，从而a-1是个正整数，又由于条件5（3）当n=a也成立.因此a S，导致矛盾，因此该命题对于一切正整数都成立，定理证毕.在应用数学归纳法时，有些命题不一定从c开始的，这时在叙述上只要将n=1换成n=c即可，第一数学归纳法主要可概括为以下三步：（1）归纳基础：证明c时命题成立（2）归纳假设：假设n=k时命题成立（3）归纳递推;由归纳假设推出n=k+1时命题也成立.2.5.2第二类数学归纳法第二数学归纳法与第一数学归纳法时等价的，在有些情况下，由归纳法“假设n=k时命题成立”还不够，而需要更强的假定.也就是说，对于命题p(n)，在证明p(n+1)成立，不仅依赖p(K)成立，而且依赖于前面各步成立.这时一般要选用第二数学归纳法.第二数学归纳法原理：设有一个与正整数n有关的命题p(n).如果：（1）当n=1时命题成立（2）在假设命题对于一切正整数n≤k成立时（3）若能证明n=k+1时命题也成立，则这个命题对于一切正整数n都成立其证明方法与上述证明方法类似，在这个地方就不重复了.第二数学归纳法可概括为一下三步：（1）归纳基础：证明n=1时命题成立；（2）归纳假设：假设n≤k时命题成立；（3）归纳递推：由归纳假设推出n=k+1时命题也成立.第二数学归纳法与第一数学归纳法基本形式的区别在于归纳假设.3333数学数学数学数学归纳法归纳法归纳法归纳法的应用与易错分析的应用与易错分析的应用与易错分析的应用与易错分析3333....1111数学归纳法的应用数学归纳法的应用数学归纳法的应用数学归纳法的应用3333....1.11.11.11.1数学归纳法在高考中的应用数学归纳法在高考中的应用数学归纳法在高考中的应用数学归纳法在高考中的应用例1、(全国高考试题)证明下列恒等式：()()()()()()22222212233445212221143nnnnnnn⎡⎤×−×+×−×++−−+=−++⎣⎦⋯证明：当1n=时,左边=22122341814×−×=−=−；右边()()11141314=−+×+=−.等式成立.假设当nk=时等式成立,即()()()()()()22222212233445212221143kkkkkkk⎡⎤×−×+×−×++