2020版高三数学二轮复习(全国理)讲义：专题8---第2讲---不等式选讲1

第二讲不等式选讲高考考点考点解读不等式的证明与不等式的性质相结合，考查综合法在比较大小中的应用绝对值不等式的解法1.求解绝对值不等式的解集2．与集合、概率等内容相结合命题3．与不等式的恒成立相结合考查求解参数的取值范围备考策略本部分内容在备考时应注意以下几个方面：不等式选讲也是高考必考内容，重点考查绝对值不等式的解法、不等式的证明及求参数取值范围问题．题型多为解答题，难度为中档．Z知识整合hishizhenghe1．绝对值不等式定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．2．绝对值不等式的解法(1)|ax＋b|≤c(c0)和|ax＋b|≥c(c0)型不等式的解法①|ax＋b|≤c(c0)⇔－c≤ax＋b≤c.②|ax＋b|≥c(c0)⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.(2)|x－a|＋|x－b|≥c(c0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c0)型不等式的解法①利用绝对值不等式几何意义求解，体现数形结合思想．②利用“零点分段法”求解，体现分类讨论思想．③通过构建函数，利用函数图象求解，体现函数与方程思想．3．证明不等式的基本方法(1)比较法；(2)综合法；(3)分析法；(4)反证法；(5)放缩法．4．二维形式的柯西不等式若a，b，c，d∈R，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时，等号成立．,Y易错警示icuojingshi1．应用绝对值不等式性质求函数的最值时，一定要注意等号成立的条件．特别是多次使用不等式时，必须使等号同时成立．2．利用基本不等式证明要注意“一正、二定、三相等”三个条件同时成立，缺一不可．3．在去掉绝对值符号进行分类时要做到不重不漏.1．(2018·全国卷Ⅰ，23)已知f(x)＝|x＋1|－|ax－1|.(1)当a＝1时，求不等式f(x)1的解集；(2)若x∈(0，1)时不等式f(x)x成立，求a的取值范围．[解析](1)当a＝1时，f(x)＝|x＋1|－|x－1|，即f(x)＝－2，x≤－1，2x，－1＜x＜1，2，x≥1.结合函数图象可知，不等式f(x)＞1的解集为x|x＞12.(2)当x∈(0,1)时|x＋1|－|ax－1|＞x成立等价于当x∈(0,1)时|ax－1|＜1成立．若a≤0，则当x∈(0,1)时|ax－1|≥1；若a＞0，|ax－1|＜1的解集为0＜x＜2a，所以2a≥1，故0＜a≤2.综上，a的取值范围为(0,2]．2．(2018·全国卷Ⅱ，23)设函数f(x)＝5－|x＋a|－|x－2|.(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥0的解集．(2)若f(x)≤1，求a的取值范围．[解析](1)当a＝1时，f(x)＝2x＋4，x≤－1，2，－1＜x2，－2x＋6，x≥2.可得f(x)≥0的解集为{x|－2≤x≤3}．(2)f(x)≤1等价于|x＋a|＋|x－2|≥4.而|x＋a|＋|x－2|≥|a＋2|，且当x＝2时等号成立．故f(x)≤1等价于|a＋2|≥4.由|a＋2|≥4可得a≤－6或a≥2，所以a的取值范围是(－∞，－6]∪[2，＋∞)．3．(2018·全国卷Ⅲ，23)设函数f(x)＝|2x＋1|＋|x－1|.(1)画出y＝f(x)的图象；(2)当x∈[0，＋∞)时，f(x)≤ax＋b，求a＋b的最小值．：。，[解析](1)f(x)＝－3x，x－12，x＋2，－12≤x1，3x，x≥1.y＝f(x)的图象如图所示．(2)由(1)知，y＝f(x)的图象与y轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当a≥3且b≥2时，f(x)≤ax＋b在[0，＋∞)成立，因此a＋b的最小值为5.4．(2018·江苏卷，21D)若x，y，z为实数，且x＋2y＋2z＝6，求x2＋y2＋z2的最小值．[解析]由柯西不等式，得(x2＋y2＋z2)(12＋22＋22)≥(x＋2y＋2z)2.因为x＋2y＋2z＝6，所以x2＋y2＋z2≥4，当且仅当x1＝y2＝z2时，不等式取等号，此时x＝23，y＝43，z＝43，所以x2＋y2＋z2的最小值为4.5．(2017·全国卷Ⅰ，23)已知函数f(x)＝－x2＋ax＋4，g(x)＝|x＋1|＋|x－1|.(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥g(x)的解集；(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[－1,1]，求a的取值范围．[解析](1)当a＝1时，不等式f(x)≥g(x)等价于x2－x＋|x＋1|＋|x－1|－4≤0.当x－1时，①式化为x2－3x－4≤0，无解；当－1≤x≤1时，①式化为x2－x－2≤0，从而－1≤x≤1；当x1时，①式化为x2＋x－4≤0，从而1x≤－1＋172.所以f(x)≥g(x)的解集为{x|－1≤x≤－1＋172}．(2)当x∈[－1,1]时，g(x)＝2，所以f(x)≥g(x)的解集包含[－1,1]等价于当x∈[－1,1]时，f(x)≥2.又f(x)在[－1,1]的最小值必为f(－1)与f(1)之一，所以f(－1)≥2且f(1)≥2，得－1≤a≤1.所以a的取值范围为[－1,1]．命题方向1绝对值不等式的解法例1(2018·昆明一模)已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|的定义域为实数集R.(1)当a＝5时，解关于x的不等式f(x)9.(2)设关于x的不等式f(x)≤|x－4|的解集为A，B＝{x∈R||2x－1|≤3}，如果A∪B＝A，求实数a的取值范围．[解析](1)当a＝5时，关于x的不等式f(x)9，即|x＋5|＋|x－2|9，故有x－5，－x－5＋2－x9①；或－5≤x≤2，x＋5＋2－x9②；或x2，x＋5＋x－29③.解①求得x－6；解②求得x∈∅，解③求得x3.综上可得，原不等式的解集为{x|x－6或x3}．(2)设关于x的不等式f(x)＝|x＋a|＋|x－2|≤|x－4|的解集为A，B＝{x∈R||2x－1|≤3}＝{x|－1≤x≤2}，如果A∪B＝A，则B⊆A，所以|－1＋a|＋3≤|－1－4|，|2＋a|＋0≤|2－4|，即－1≤a≤3，－4≤a≤0，求得－1≤a≤0，故实数a的范围为[－1,0]．『规律总结』1．用零点分段法解绝对值不等式的步骤(1)求零点；(2)划区间，去绝对值符号；(3)分别解去掉绝对值符号的不等式(组)；(4)取每个结果的并集，注意在分段讨论时不要遗漏区间的端点值．2．图象法求解不等式用图象法，数形结合可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法．G跟踪训练enzongxunlian(2016·全国卷Ⅰ，24)已知函数f(x)＝|x＋1|－|2x－3|.(Ⅰ)画出y＝f(x)的图像；(Ⅱ)求不等式|f(x)|﹥1的解集．：。，[解析](Ⅰ)f(x)＝x－4，x≤－1，3x－2，－1x≤32，－x＋4，x32，y＝f(x)的图像如图所示．(Ⅱ)由f(x)的表达式及图像知，当f(x)＝1时，可得x＝1或x＝3；当f(x)＝－1时，可得x＝13或x＝5.故f(x)1的解集为{x|1x3}；f(x)－1的解集为{x|x13或x5}．所以|f(x)|1的解集为{x|x13或1x3或x5}．命题方向2不等式的证明例2设a0，b0，且a＋b＝1a＋1b.证明：(1)a＋b≥2；(2)a2＋a2与b2＋b2不可能同时成立．[证明]由a＋b＝1a＋1b＝a＋bab，a0，b0.得ab＝1.(1)由基本不等式及ab＝1，有a＋b≥2ab＝2，即a＋b≥2.(2)假设a2＋a2与b2＋b2同时成立，则由a2＋a2及a0，得0a1；同理，0b1，从而ab1，这与ab＝1矛盾．故a2＋a2与b2＋b2不可能同时成立．『规律总结』本题主要考查了不等式的证明与反证法等知识点，属于中档题，第一小问需将条件中的式子作等价变形，再利用基本不等式即可求解；第二小问从问题不可能同时成立，可以考虑采用反证法证明，否定结论，从而推出矛盾，反证法作为一个相对冷门的数学方法，在后续复习时亦应予以关注．G跟踪训练enzongxunlian(2016·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝|x－12|＋|x＋12|，M为不等式f(x)2的解集．(1)求M.(2)证明：当a，b∈M时，|a＋b||1＋ab|.[解析](1)当x－12时，f(x)＝12－x－x－12＝－2x2，解得－1x－12；当－12≤x≤12时，f(x)＝12－x＋x＋12＝12恒成立；当x12时，f(x)＝2x2，解得12x1.综上可得，M＝{x|－1x1}．(2)当a，b∈(－1,1)时，有(a2－1)(b2－1)0，即a2b2＋1a2＋b2，则a2b2＋2ab＋1a2＋2ab＋b2，则(ab＋1)2(a＋b)2，即|a＋b||ab＋1|.命题方向3绝对值不等式恒成立存在问题例3(2018·汉中二模)设函数f(x)＝|x－1|＋|x－a|，(1)若a＝－1，解不等式f(x)≥3.(2)如果任意x∈R，f(x)≥2，求a的取值范围．[解析](1)当a＝－1时，f(x)＝|x－1|＋|x＋1|，由f(x)≥3有|x－1|＋|x＋1|≥3，据绝对值几何意义求解．|x－1|＋|x＋1|≥3几何意义是数轴上表示实数x的点距离实数1，－1表示的点距离之和不小3，由于数轴上数－32左侧的点与数32右侧的点与数－1与1的距离之和不小于3，所以所求不等式解集为(－∞，－32]∪[32，＋∞)．(2)由绝对值的几何意义知，数轴上到1的距离与到a的距离之和大于等于2恒成立，则1与a之间的距离必大于等于2，从而有a∈(－∞，－1]∪[3，＋∞)．『规律总结』1．求含绝对值号函数的值的两种方法(1)利用|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|求解．(2)将函数化为分段函数，数形结合求解．2．恒成立(存在)问题的等价转化f(x)≥Mf(x)≤M任意x恒成立⇔f(x)min≥Mf(x)max≤M存在x成立⇔f(x)max≥Mf(x)min≤MG跟踪训练enzongxunlian已知函数f(x)＝|x－5|－|x－2|.(1)若存在x∈R，使得f(x)≤m成立，求m的范围．(2)求不等式x2－8x＋15＋f(x)≤0的解集．[解析](1)f(x)＝|x－5|－|x－2|＝3，x≤2，7－2x，2x5，－3，x≥5.当2x5时，－37－2x3，所以－3≤f(x)≤3，所以m≥－3.(2)不等式x2－8x＋15＋f(x)≤0，即－f(x)≥x2－8x＋15由(1)可知，当x≤2时，－f(x)≥x2－8x＋15的解集为空集；当2x5时，－f(x)≥x2－8x＋15，即x2－10x＋22≤0，所以5－3≤x5，即x2－8x＋12≤0，所以5≤x≤6；当x≥5时，－f(x)≥x2－8x＋15，综上，原不等式的解集为{x|5－3≤x≤6}．A组1．已知函数f(x)＝|x－2|－|2x－a|，a∈R.(1)当a＝3时，解不等式f(x)0；(2)当x∈(－∞，2)时，f(x)0，求a的取值范围．[解析](1)f(x)＝1－x，x2，5－3x，32≤x≤2，x－1，x32.当x2时，1－x0，即x1，此时无解；当32≤x≤2时，5－3x0，即x53，解得32≤x53；当x32时，x－10，即x1，解得1x32.∴不等式解集为{x|1x53}．(2)2－x－|2x－a|0⇒2－x|2x－a|⇒xa－2或xa＋23恒成立．∵x∈(－∞，2)，∴a－2≥2，∴a≥4.2．(2018·南宁二模)设实数x，y满足x＋y4＝1.(1)若|7－y|2x＋3，求x的取值范围．(2)若x0，y0，求证：xy≥xy.[解析](1)根据题意，x＋y4＝1，则4x＋y＝4，即y＝