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5.2旋转1.了解生活中的一些旋转现象,掌握旋转的有关概念.2.能正确确定旋转中心、旋转角.(重点)3.理解旋转的性质,并能应用其解决问题.(重点、难点)一、旋转的相关概念观察以上图片,它们都是生活中的一种现象——旋转,旋转也是一种图形的变换.【思考】1.如果我们把时针、风车、风轮等当成一个图形,那么这些图形中的旋转有什么共同特点?提示:这些图形都可以绕着某一固定点转动一定的角度.2.图形的旋转由哪些因素决定?提示:旋转中心、旋转方向和旋转的角度.【总结】将一个平面图形F上的每一个点,绕这个平面内一定点O旋转同一个角α(即把图形F上每一个点与定点的连线绕定点O旋转角α),得到图形F',如图,图形的这种变换叫做旋转,这个定点O叫_________,角α叫做_______(在本书中,旋转角α不大于360°).原位置的图形F叫做_____,新位置的图形F'叫做图形F在旋转下的___,图形F上的每一个点P与它在旋转下的像点P'叫做在旋转下的_______.旋转中心旋转角原像像对应点二、图形旋转的特征如图,△ABC绕着点O旋转到△DEF的位置.旋转中心是点__,两个图形中的对应点分别是:点A与点__,点B与点__,点C与点__.ODEF【思考】1.测量下列各组对应点与点O所连成的线段的长度:AO和DO,BO和EO,CO和FO,你会发现什么?提示:AO=DO,BO=EO,CO=FO.2.图中的旋转角有哪些?并比较它们的大小.提示:旋转角有∠DOA,∠FOC和∠EOB,它们相等.3.观察测量发现:AB=DE,AC=DF,BC=EF;∠ACB=∠DFE,∠ABC=∠DEF,∠BAC=∠EDF.【总结】(1)图形中每一点都绕着旋转中心旋转了_________的角度.(2)对应点到旋转中心的距离_____.(3)对应线段_____,对应角_____.(4)图形的形状与大小都_____________.同样大小相等相等相等没有发生变化(打“√”或“×”)(1)图形的旋转是由旋转中心决定的.()(2)图形的旋转过程中,旋转中心是保持不动的.()(3)旋转中心不同,旋转后图形的形状就不同.()(4)正方形旋转90°后能与原来的正方形重合.()(5)旋转的原象与象的对应点到旋转中心的距离相等.()×√××√知识点1图形的旋转【例1】如图,如果把钟表的指针看作四边形AOBC,它绕O点旋转得到四边形DOEF(旋转角度不大于180°).在这个旋转过程中:(1)旋转中心是哪一点?(2)请指出点A,B,C的对应点.(3)指出旋转方向.(4)旋转角是什么?(用三个字母表示)(5)指出线段AO,BO,AC,BC的对应线段.(6)指出∠A,∠B,∠C的对应角.【解题探究】(1)如何识别旋转中心?提示:旋转图形中的不动点即为旋转中心.即点O为旋转中心.(2)点A,B,C经过旋转后分别与哪个点重合?提示:点A与点D重合,点B与点E重合,点C与点F重合;所以点A,B,C的对应点是点D,E,F.(3)图形的旋转有几种旋转方向?提示:图形的旋转一般有顺时针和逆时针两种;本题的旋转方向为顺时针.(4)旋转角是____________________.(5)线段AO,BO,AC和BC的对应线段分别是线段_____________.(6)∠A,∠B和∠C的对应角分别是_____________.∠AOD或∠BOE或∠COFDO,EO,DF和EF∠D,∠E和∠F【互动探究】将三角形绕某定点顺时针(或逆时针)旋转90°,各对应边有怎样的位置关系?提示:互相垂直.【总结提升】准确理解旋转概念的三个要素1.旋转中心:旋转中心是点而不是直线,比如生活中的开门、关门,虽然门转动了,但它是绕轴旋转一定的角度,所以不属于我们要研究的绕定点旋转.2.旋转角:因为经过旋转,图形上每一个点都绕旋转中心沿相同的方向转动了相同的角度,所以任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角,不要把图形中的某些对应角误以为是旋转角.3.旋转方向:旋转方向通常指顺时针方向或逆时针方向.知识点2旋转的性质【例2】(2012·苏州中考)如图,将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A'OB',若∠AOB=15°,则∠AOB'的度数是()A.25°B.30°C.35°D.40°【思路点拨】由旋转角为45°→得∠BOB'→求∠AOB'.【自主解答】选B.因为△A'OB'是由△AOB绕点O旋转45°得到的,所以∠BOB'=45°,又因为∠AOB=15°,所以∠AOB'=∠BOB'-∠AOB=45°-15°=30°.【总结提升】旋转的特征的两点作用1.利用旋转的特征可以判断线段或角是否相等,主要有两种方法:一是根据旋转角相等,对应点与旋转中心的连线相等可得线段或角相等;二是根据旋转前后的图形与原来图形的形状、大小都相同可得图形的对应线段、对应角相等.2.利用旋转的特征还可以计算图形的面积、线段的长度或角的大小.题组一:图形的旋转1.将图(1)按顺时针方向旋转90°后得到的是()【解析】选A.根据旋转的性质,图(1)按顺时针方向旋转90°,应为选项A.2.下列运动属于旋转的是()A.滚动过程中的篮球B.钟表的钟摆的摆动C.气球升空的运动D.一个图形沿某直线对折的过程【解析】选B.A选项滚动过程中的篮球属于滚动,不是绕着某一个固定的点转动,不属旋转;B选项钟表的钟摆的摆动,符合旋转的定义,属于旋转;C选项气球升空的运动不属于旋转;D选项一个图形沿某直线对折的过程是轴对称,不属于旋转.3.如图,△ABC是等腰直角三角形,D是AB上一点,△CBD经逆时针旋转后到达△CAE的位置,则旋转中心是点;旋转角度是;点B的对应点是点;点D的对应点是点;线段CB的对应线段是;∠B的对应角是.【解析】根据图形分析可知,△CBD绕点C逆时针旋转90°后到达△CAE的位置,故旋转中心是点C;旋转角度是∠BCA=90°;点B的对应点是点A;点D的对应点是点E;线段CB的对应线段是CA;∠B的对应角是∠EAC.答案:C90°AECA∠EAC4.如图所示,在正方形网格中,图①经过变换可以得到图②;图③是由图②经过旋转变换得到的,其旋转中心是点(填“A”“B”或“C”).【解析】根据题意,观察可得:图①与图②对应点位置不变,通过平移可以得到;根据旋转中心的确定方法,两组对应点连线的垂直平分线的交点,可确定图②经过旋转变换得到图③的旋转中心是A.答案:平移A5.如图,四边形ABCD、四边形EFGH都是边长为1的正方形.(1)这个图案可以看作是哪个“基本图案”通过旋转得到的?(2)请指出旋转中心和旋转角.(3)指出经过旋转,点A,B,C,D分别移到什么位置?【解析】(1)可以看作是由正方形ABCD的基本图案通过顺时针方向旋转而得到的.(2)如图:点O为旋转中心,∠AOE(答案不唯一)为旋转角.(3)点A、点B、点C、点D移到的位置是点E、点F、点G、点H.(答案不唯一)题组二:旋转的性质1.如图,已知△AOB是正三角形,OC⊥OB,OC=OB,将△OAB绕点O按逆时针方向旋转,使得OA与OC重合,得到△OCD,则旋转的角度是()A.150°B.120°C.90°D.60°【解析】选A.旋转角∠AOC=∠AOB+∠BOC=60°+90°=150°.2.如图所示,在等腰直角三角形ABC中,∠B=90°,将△ABC绕点A逆时针旋转60°后得到△AB'C',则∠BAC'等于()A.60°B.105°C.120°D.135°【解析】选B.因为在等腰直角三角形ABC中,∠B=90°,将△ABC绕点A逆时针旋转60°后得到△AB'C',所以∠CAC'=60°,所以∠BAC'=45°+60°=105°.3.如图,点D是等边△ABC内的一点,如果△ABD绕点A逆时针旋转后能与△ACE重合,那么旋转了度.【解析】因为△ABC为等边三角形,所以AC=AB,∠BAC=60°,又因为△ABD绕点A逆时针旋转后能与△ACE重合,所以AB绕点A逆时针旋转到AC的位置的旋转角为∠BAC,所以旋转角为60°.答案:604.如图,在等边三角形ABC中,AB=6,D是BC上一点,且BC=3BD,△ABD绕点A旋转后得到△ACE,则CE的长度为.【解析】因为在等边三角形ABC中,AB=6,所以BC=AB=6,因为BC=3BD,所以BD=BC=2,因为△ABD绕点A旋转后得到△ACE,所以CE=BD=2.答案:2135.如图是由三个叶片组成的,绕点O旋转120°后可以和自身重合,若每个叶片的面积为5cm2,∠AOB=120°,则图中阴影部分的面积之和为.【解析】根据旋转的性质和图形的特点,每个叶片的面积为5cm2,图形中阴影部分的面积正好组成一个叶片,因而图中阴影部分的面积之和为5cm2.答案:5cm26.如图,△AEC经旋转后与△BFD重合,确定图中的旋转中心和旋转角,指出图中相等的线段和相等的角.【解析】观察图形可知,A,E,M,F,B共线,所以旋转中心为M点,旋转角的度数为180°.根据旋转的性质可知,相等线段为:AC=BD,CE=DF,AE=BF,EM=FM,AM=BM,AF=BE,相等的角为:∠A=∠B,∠C=∠D,∠CEA=∠DFB.【想一想错在哪？】如图,一块含有30°角(∠BAC=30°)的直角三角板ABC,在水平桌面上绕点C按顺时针方向旋转到A'B'C的位置,则旋转角的度数是多少度?提示:没有正确识别旋转角而出现错误.只要我们坚持了，就没有克服不了的困难。或许，为了将来，为了自己的发展，我们会把一件事情想得非常透彻，对自己越来越严，要求越来越高，对任何机会都不曾错过，其目的也只不过是不让自己随时陷入逆境与失去那种面对困难不曾屈服的精神。但有时，“千里之行，始于足下。”我们更需要用时间持久的用心去做一件事情，让自己其中那小小的浅浅的进步，来击破打破突破自己那本以为可以高枕无忧十分舒适的区域，强迫逼迫自己一刻不停的马不停蹄的一直向前走，向前看，向前进。所有的未来，都是靠脚步去丈量。没有走，怎么知道，不可能；没有去努力，又怎么知道不能实现？幸福都是奋斗出来的。那不如，生活中、工作中，就让这“幸福都是奋斗出来的”完完全全彻彻底底的渗入我们的心灵，着心、心平气和的去体验、去察觉这一种灵魂深处的安详，侧耳聆听这仅属于我们自己生命最原始最动人的节奏。但，这种聆听，它绝不是仅限于、执着于“我”，而是观察一种生命状态能够扩展和超脱到什么程度，也就是那“幸福都是奋斗出来的”深处又会是如何？生命不止，奋斗不息！又或者，对于很多优秀的人来说，我们奋斗了一辈子，拼搏了一辈子，也只是人家的起点。可是，这微不足道的进步，对于我们来说，却是幸福的，也是知足的，因为我们清清楚楚的知道自己需要的是什么，隐隐约约的感觉到自己的人生正把握在自己手中，并且这一切还是通过我们自己勤勤恳恳努力，去积极争取的!“宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。”当我们坦然接受这人生的终局，或许，这无所皈依的心灵就有了归宿，这生命中觅寻处那真正的幸福、真正的清香也就从此真正的灿烂了我们的人生。一生有多少属于我们的时光？陌上的花，落了又开了，开了又落了。无数个岁月就这样在悄无声息的时光里静静的流逝。童年的玩伴，曾经的天真，只能在梦里回味，每回梦醒时分，总是多了很多伤感。不知不觉中，走过了青春年少，走过了人世间风风雨雨。爱过了，恨过了，哭过了，笑过了，才渐渐明白，酸甜苦辣咸才是人生的真味！生老病死是自然规律。所以，面对生活中经历的一切顺境和逆境都学会了坦然承受，面对突然而至的灾难多了一份从容和冷静。这世上没有什么不能承受的，只要你有足够的坚强！这世上没有什么不能放下的，只要你有足够的胸襟！一生有多少属于我们的时光？当你为今天的落日而感伤流泪的时候，你也将错过了明日的旭日东升；当你为过去的遗憾郁郁寡欢，患得患失的时候，你也将忽略了沿途美丽的风景，淡漠了对未来美好生活的憧憬。没有十全十美的生活，没有一帆风顺的旅途。波平浪静的人生太乏味，抑郁忧伤的人生少欢乐，风雨过后的彩虹最绚丽，历经磨砺的生命才丰盈而深刻。见过了各样的人生：有的轻浮，有的踏