第十章--自然对流

高等传热学内容第一章导热理论和导热微分方程第二章稳态导热第三章非稳态导热第四章凝固和熔化时的导热第五章导热问题的数值解第六章对流换热基本方程第七章层流边界层的流动与换热第八章槽道内层流流动与换热第九章湍流流动与换热第十章自然对流第十一章热辐射基础第十二章辐射换热计算第十三章复合换热第十章自然对流无论内部流动或外部流动，从能量守恒的观点看，都存在流动动力问题。由流体的粘性导致可用能的损耗，因而任何流动均需要驱动力来维持。前面第七、第八章讨论的对流换热问题属于受迫对流换热的范畴，即换热是由于外力的作用导致的流动引起的，泵功率的消耗是维持流动的条件。对于粘性流体，流动中可用能的贬值是由于热力学的原因。本章将重点讨论与受迫流动不同的对流换热问题，区别不仅在热力学方面，数学方面也有明显不同。本章讨论的流动不是受迫流动，而是自然对流，其原因是由于密度变化引起的浮升力的作用。流场与温度场是耦合的，因为温度的变化将引起密度的变化。自然对流与受迫流动的另一区别是远离里面的边界条件。自然对流的自然流速度为零，且最大速度在边界层内。自然对流分为外部流动和内部流动两类。前者指半无限大空间中壁面附近的自然对流，也称为无限大空间自然对流；后者是在有限封闭空间内的自然对流。10-1自然对流层流边界层方程组在自然对流中，密度的变化由重力场体现其影响，体积力是不能忽视的，而密度的变化又是温度引起的，因而自然对流问题与受迫流动换热的求解明显不同，动量方程与能量方程必须同时求解。在二维稳态流动情况下，如图10-1所示，自然对流的方程组为(10-1-1)(10-1-2)(10-1-3)(10-1-4)0uvxy2uupuvuxyx2vvpuvvgxyy2ttuvatxy10-1自然对流层流边界层方程组10-1自然对流层流边界层方程组与第二章的方程相比较，只是在y方向动量方程增加了体积力ρg。如果考虑到边界层的特点(x～δt，y～H，H)，动量方程可简化为(10-1-5)(10-1-6)(10-1-7)其中式(10-1-6)简化为(10-1-8)dppdpydydy22Vvvvuvgttxyx22tttuvaxyxdpgdy22vvvuvgxyx流动的动力是体积力项。布斯涅斯克认为，在温差不大的情况下，温度只影响密度，其它物性参数均可视为常数。此外，压力对密度的影响忽略不计。引入容积膨胀系数(10-1-9)近似地可以写为(10-1-10)则(10-1-11)10-1自然对流层流边界层方程组g1VpT1VTTVggtt这样边界层自然对流的控制方程为(10-1-12)(10-1-13)(10-1-14)需要强调的是，布斯涅斯克近似的应用有一定的范围。10-1自然对流层流边界层方程组0uvxy22Vvvvuvgttxyx22tttuvaxyx下面进行数量级分析。考虑热边界层特点，即x～δt，y～H，分析式(10-1-14)的能量方程：对流项导热项(10-1-15)其中，的数量级是。由连续性方程，有(10-1-16)代入式(10-1-15)得到(10-1-17)即(10-1-18)然而δt是未知量。10-1自然对流层流边界层方程组ttu2~tttvaHwttttt~tuvH2~tttvaH2~taHv考虑动量方程(10-1-13)：惯性力项摩擦力项浮升力项，(10-1-19)同除以浮外力项，并代入式(10-1-18)有惯性力项摩擦力项浮升力项1(10-1-20)其中(10-1-21)称为瑞利数。上式表明惯性力与粘性力的关系由物性Pr数制约。Pr1时，边界层内摩擦力与浮升力平衡；Pr1时，边界层内惯性力与浮升平衡。Pr1时(10-1-22)10-1自然对流层流边界层方程组tvuvvH2tv~Vgt411PrHtHRa41HtHRa3VHgtHRaa1/4~HtHRa代入式(10-1-18)有(10-1-23)因，则有(10-1-24)由于Pr1，与第二章分析类似，δδt。由于热边界层外流体等温，流动的动力来自δt。在δ层中惯性力与摩擦力平衡(见图10-2)：(10-1-25)将代入上式得(10-1-26)10-1自然对流层流边界层方程组1/2HavRaH~/th1/4~HhHNuRa2~vvvH1/2~HaRaH1/41/21/22~aaRaRaaHHRavHH10-1自然对流层流边界层方程组图10-2Pr1时的边界分析从而有(10-1-27)或(10-1-28)考虑式(10-1-22)得到(10-1-29)即高Pr数流体中，受热层推动一个更厚的未加热层。通常将δ称为速度边界层厚度的表示对于自然对流问题是不恰当的，因为速度分布由δ和δt两个变量决定，不只取决于δ。Pr1时，在δt层内力的平衡由惯性力项和浮升力顶构成，见图10-3。考虑式(10-I-19)的对应项(10-1-30)10-1自然对流层流边界层方程组221/2~vHRaa1/21/4~PrHRa1/2~Pr1t2~VvgtH10-1自然对流层流边界层方程组而代入式(10-1-30)有(10-1-31)(10-1-32)(10-1-33)(10-1-34)式中，RaHPr的作用与Pr1情形中的RaH是一样的。定义10-1自然对流层流边界层方程组2~taH22~tVaHgtH1/4~PrtHHRa1/2~PrHavRaH1/4~~PrHhHNuHRa(10-1-35)称为布斯涅斯克数。图10-3给出了δt和v的分布。热边界层δt内动力来自浮升力，而滞止项为惯性力；在热边界层δt外流体等温且无运动，速度分布贯穿在整个δt内。δv表示速度的极值位置，其内速度由摩擦滞止到壁面的无滑移边界，即δv层内摩擦力与浮生力平衡：(10-1-36)应用式(10-1-33)有(10-1-37)其中(10-1-38)比较式(10-1-37)、(10-l-32)得到(10-1-39)值得指出的是，δv不是δ。10-1自然对流层流边界层方程组32PrVHgHBoRaa2~Vvvvgt1/4~vHGrH32PrVgtHRaGr1/2~Pr1vt10-2-1相似解不难观察到，竖直板附近的自然对流产生的流动层与竖直板高度相比，边界层很薄，与受迫对流不同的是其主流速度和层外静压。可以设想，竖壁附近自然对流的层流边界层也可采用相似方法来求解。1．常壁温条件的求解引入相似变量(10-2-1)类似地引入流函数(10-2-2)相应的边界层动量方程和能量方程为(10-2-3)(10-2-4)10-2层流边界层的相似解与积分解1/44xGryuyvx22323Vgttyxxxyx22tttayxxyx10-2层流边界层的相似解与积分解定义无量纲温度(10-2-5)引入无量纲流函数(10-2-6)令(10-2-7)则相似变量表示为(10-2-8)(10-2-9)wtttt1/4/44yGrf1/444yGrGy1/4144yGrGHyyyxHyGyfy10-2层流边界层的相似解与积分解不难求出(10-2-10a)(10-2-10b)(10-2-11)(10-2-12)fuGyHyfxfx313444GyGyvfGyffGyyfyyyyy2uGyHyfx232uGyHyfx24GyHyuffyy4yyHyx222Hyx10-2层流边界层的相似解与积分解将以上各项代入式(10-2-3)、（10-2-4)得到(10-2-13)(10-2-14)边界条件为(10-2-15)式(10-2-13)、(10-2-14)为非线性常微分方程，采用数值方法求解。10-4给出了斯托克斯公式在Pr＝0.01～100范围内的速度分布和温度分布。壁面处的换热方程为(10-2-16)无量纲化上式得则220ffff3Pr0f0,0,0,1ff,0,0f0xwthttx1/404yGrhy012xhyNu10-2层流边界层的相似解与积分解10-2层流边界层的相似解与积分解沿竖壁平均对流换热的表面传热系数(10-2-17)或(10-2-18)表10-1给出了与Pr数的关系。在和时得到以下结果：(10-2-19a)(10-2-19b)伊得给出了适用于不同Pr数的近似式：(10-2-20)1/4yyNuGrPr0Pr1/4000144343yyyxGrhhdyhyy043yyNuNu1/421/40.6Pr0.6,Pr0NuGrBo1/421/40.503Pr0.503,PrNuGrRa21/41/232Pr4512Pr2PrNuGr10-2层流边界层的相似解与积分解10-2层流边界层的相似解与积分解2．常热流壁面杨光祖分析了等壁温状况，发现壁温按指数规律变化时，同样存在相似解：(10-2-21)相似变量与常壁温相同，得到(10-2-22)(10-2-23)当n＝0时，常数，即常壁温状态。若n＝1/5，则壁面温度的变化与常热流边界条件给定的规律一致。由式(10-2-16)有nwttcy23210fnffnf3Pr4Pr0nfnfwtt10-2层流边界层的相似解与积分解(10-2-24)考虑上式可写为(10-2-25)当时，，上式变为即常热流边界条件。1/4004yxwwGrtqhttttx32VygtyGr1/45/41/4,202Vwywgqtty15n1/5wttcy1/4,202Vwygqc常数10-2层流边界层的相似解与积分解表10-2给出了常热流时的相似解。需要指出的是．尽管常热流条件存在相似解，但壁温是待定量，因而Gr不是已知值，斯帕罗等提出以下修正：(10-2-26)式中各项均为已知值，富级(Fuji)等给出了用表示的准则关联式：(10-2-27)一些文献指出，自然对流问题中物性变化的影响较大，应用Ra作为流态的判据。因Ra＝GrPr，主要依据并不是恰当的边界层厚度的数量级，并且它随Pr变化很大。同样，无量纲速度采用，其随Pr数量级亦有较大的变化。42VyyqgyGrGrNuGr1/51/51/2P