直线和平面所成角

X直线和平面所成的角一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足。斜线上一点与斜足间的线段叫做这点到这个平面的斜线段。ACB过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影；垂足与斜足间的线段叫做这点到平面的斜线段在这个平面上的射影。ACBDE垂线段比任何一条斜线段都短从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段AB、AC、AD、AE…中，那一条最短？探究1ACBOOB=OCAB=ACOB＞OCAB＞ACAB=ACOB=OCAB＞ACOB＞OC射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长1.点P是△ABC所在平面外一点，且P点到△ABC三个顶点距离相等，则P点在△ABC所在平面上的射影是△ABC的心。PCBAO练习外思考：若三角形ABC是直角三角形？练习2.判断下列说法是否正确（1）两条平行直线在同一平面内的射影一定是平行直线（）（2）两条相交直线在同一平面内的射影一定是相交直线（）（3）两条异面直线在同一平面内的射影要么是平行直线，要么是相交直线（）（4）若斜线段长相等，则它们在平面内的射影长也相等（）平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角。一条直线垂直与平面，它们所成的角是直角；一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0的角。直线和平面所成角的范围是[0，90]。AlBODl是平面的斜线，A是l上任意一点，AB是平面的垂线，B是垂足，OB是斜线l的射影，θ是斜线l与平面所成的角.θ与∠AOD的大小关系如何？C探究3AlBODθ与∠AOD的大小关系如何？在Rt△AOB中，AOABsin在Rt△AOC中，AOACAODsin∵AB＜AC，∴sinθ＜sin∠AOD∴θ＜∠AOD斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角。斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内任意的直线所成的一切角中最小的角。C最小角原理例1在正方体ABCD-A1B1C1D1中.（1）求直线A1B和平面ABCD所成的角；（2）求直线A1B和平面A1B1CD所成的角.D1ABA1CB1C1DO例题例2.如图，AO是平面π的斜线，AB⊥平面π于B，OD是π内不与OB重合的直线，∠AOB=，∠BOD=，∠AOD=，求证：cos=coscosABODC练习1.AO与平面斜交，O为斜足，AO与平面成角，B是A在上的射影,OD是内的直线，∠BOD=30，∠AOD=60，则sin=。36练习3.两条平行直线和一个平面所成的角相等吗？2.已知斜线段的长是它在平面β上射影的2倍，求斜线和平面β所成的角。βABO如图，斜线段AB是其射影OB的两倍，求AB与平面β所成的角。如果两条直线与一个平面所成的角相等，它们平行吗？例2.线段MN长6厘米，M到平面β的距离是1厘米，N到平面β的距离是4厘米，求MN与平面β所成角的余弦值。βMNM'N'βMNM'N'OO∠MOM'就是MN与β所成的角移出图移出图MNN'M'O614M'MON'N614ABaaaabbbbAGFEDCBHHC与FG在平面ABCD上的射影分别是什么？FG与EA在平面ABCD上的射影分别是什么？BC与A点DC与BCHC与EF在平面ABCD上的射影分别是什么？DC与ABABONM从平面内一点发出的斜线段，长度虽然相等，但射影不一定相等。从平面外不同点发出的斜线段，长度虽然相等，但射影不一定相等。