运用Lingo的运筹学论文

运筹学期中论文统计班李星颐0733002运筹学期中论文某金属罐铸造厂生产计划的优化分析——李星颐——0733002一．摘要本文要研究的问题严格来讲是一个纯整数规划问题，可用整数规划的模型求解。而该问题的后续问题涉及到应用线性规划的灵敏度分析解决问题的方法，如果用整数规划与线性规划对问题的求解结果是一致的，那么在后续问题中便可以将原问题看做线性规划问题来分析求解。另外，本文对问题求解与分析主要运用的是LINGO软件代替采用单纯形法的手工计算。二．问题的提出北方某金属罐铸造厂的主要产品有4种，分别由代号A,B,C,D表示。近年来，产品销售情况良好，预测结果表明，需求还有进一步扩大的趋势，客户希望能有更多的不同功能的新产品问世。工厂面临着进一步扩大再生产，努力开发适销对路新产品的问题。生产A,B,C,D4种金属罐主要经过4个阶段:第1阶段是冲压：金属板经冲压机冲压，制造成金属罐所需要的零件；第2阶段是成型：在该车间里把零件制成符合规格的形状；第3阶段是装配：在装配车间，各种成型的零件按技术要求焊接在一起成为完整的金属罐；最后阶段为喷漆：装配好的金属罐送到喷漆车间被喷上防火的瓷漆装饰外表。根据工艺要求及成本核算单位产品所需的加工时间、利润以及可供使用的总工时如表1所示。表1单位产品所需加工时间、利润及可利用工时表ABCD可利用总工时产品工时/件工序（min/天）冲压成形装配喷漆1446182412581554480240020003000单产利润（元）96118该厂仅有一台冲压机，每天工作8h，共计480min可供加工用。另有若干个成型中心，装配中心、喷漆中心分属各车间，除承担本厂生产任务外，还承担着科研试验，新产品开发试制等项工作，因此这些生产中心每天可利用的总计时间分别不超过2400min、2000min和3000min。考虑以下问题：问题一、根据当前的生产条件，工厂每天的生产计划如何安排；问题二、对当前资源的利用情况进行分析，并说明资源投入变化时产生的影响；问题三、分析各种产品单位利润的变化对生产的影响；问题四、如果按最优生产方案某种产品不允许生产，给出该产品投产的条件；问题五、为满足市场需求，开发新产品，该厂计划引进1种新型金属罐技术，生产E型金属罐。根据统计，得知生产1个E型金属罐需要1min冲压时间、1min成形时间、6min装配时间、12min喷漆时间，单位产品利润为13元。在试制及制定生产计划之前，研究其投产效果，以便给出是否投产的决策。三．符号说明jx——决策变量，表示第j中产品每天的计划生产量。jc——表示第j种产品的单位利润。ija——表示第i种产品对第j种资源的单位需求量。ib——表示第i种资源的上限。nxxxX21——表示决策变量向量。ncccC,,,21——表示利润向量。mjjjjaaaP21——表示jx对应的系数向量。mbbbb21——表示资1源向量。nmnmmnPPPaaaaaaA,,,212111211——表示约束条件的nm矩阵。一般nm。mmmmmmPPPaaaaaaB,,,212111211——表示线性规划问题的一个基。j——表示非基变量检验数，非基变量指标集j。BC——表示每张单纯形表的基变量的目标函数的系数。myyyY21——表示原问题的对偶问题的可行解。四．模型建立该问题采用的一般整数规划模型为：njxXbAXCXzj,,2,1,0max该问题采用的一般线性规划模型为：0maxXbAXCXz下面对具体问题的模型进行深化：问题一.设A,B,C,D四种金属罐每天的计划生产量为jx，j=1,2,3,4。其整数规划模型为：4,3,2,1,030004846200055242400528448081169max43214321432143214321jxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxzj且为整数，其线性规划模型为：4,3,2,1,030004846200055242400528448081169max43214321432143214321jxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxzj问题二⑴线性规划的LINGO程序的运行结果中，SlackorSurplus表示的是线性规划中在最优解处，松弛变量或剩余变量的值。对于不等式约束011innjiinjijnjijijxbxxabxa这里的inx就是松弛（Slack）变量。同样，对于不等式约束011innjiinjijnjijijxbxxabxa这里的inx就是剩余（Surplus）变量。当松弛变量或剩余变量（inx）的值为0时，此时不等式约束中的等号成立，称这个约束为“紧约束”或有效约束。也就是说，改动此时约束的值会影响到最优解的值。若松弛变量或剩余变量严格大于0，此时这个约束可以看成“松的”，也就是说，在一定的范围内改动约束的某些值，并不影响最优解的值。⑵在线性规划的LINGO程序的运行结果中，DualPrice（对偶价格）就是影子价格，它有明显的经济含义。它本质上是对偶问题的可行解，有对偶问题与原问题的性质，得到BTCBY,bYbBCzTTB1且iiBTiyCBbz因此，iy是右端项ib改变量的变化量，也就是说，iy是当ib增加1时的改变值。因此，DualPrice的意义为：在最优解下，“资源”增加1单位时，“效益”的增加。⑶利用LINGO程序得出的灵敏度分析报告中，RighthandSideRanges表示右端项的变化范围，其中Row表示行，即对应的约束；CurrentRHS表示当前右端项，即b的值；AllowableIncrease表示允许增大的上限，即b的上界；AllowableDecrease表示允许减小的上限，它取负号是b的下界。问题三LINGO程序得出的灵敏度分析报告中，ObjectiveCoefficientRanges表示目标函数系数的变化范围，其中Variable表示变量名称；CurrentCoefficient表示当前系数；AllowableIncrease表示当前系数允许增大的上限，即jc的上界；AllowableDecrease表示当前系数允许减小的上界，它取负号是jc的下界。问题四按照最优生产方案，去掉第j种不允许生产的产品，以其他投产的产品建立新模型。在该模型的LINGO软件求解结果中，ReducedCost的值实际上只与检验数相差一个负号，为方便起见，将第j个值记为jRC，即jjTjTBjjcpypBcRC1把第j种产品看做新增变量，则01jTjjTBjjPYcPBCc为第j种产品投产的条件。问题五其线性规划模型为：设A,B,C,D,E四种金属罐每天的计划生产量为jx，j=1,2,3,4,55,4,3,2,1,03000124846200065524240052844801381169max5432154321543215432154321jxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxzj五．模型求解求解问题一：方法一：用整数规划模型求解，编写LINGO程序（见附录Ⅰ），根据求解结果（见附录Ⅰ）知，每天生产A金属罐400件，生产B金属罐0件，生产C金属罐70件，生产D金属罐10件。每天获得的最大利润是4450元。方法二：用线性规划模型求解，编写LINGO程序（见附录Ⅱ），根据求解结果（见附录Ⅱ）知，每天生产A金属罐400件，生产B金属罐0件，生产C金属罐70件，生产D金属罐10件。每天获得的最大利润是4450元。由此可看出，两种方法的求解结果一样。由于从问题二开始要涉及到灵敏度分析，而用对整数规划问题做灵敏度分析没有意义，所以在以后的问题中，我们都采用线性规划模型进行研究。求解问题二：⒈先对当前资源的利用情况进行分析：由问题一的最优解可知，第二个约束条件中，成型中心每天有2400-1790=610min的工时未被利用。造成了成形中心资源的浪费。⒉下面说明资源投入变化时产生的影响：⑴.首先，分析约束条件是“松的”还是“紧的”。（件附录Ⅱ）①第二个约束（SlackorSurplus的第三行）松弛变量是610，所以这个约束是“松的”，因此，改动约束的某些值并不影响最优解。如成形中心每天可利用的总时间减少在610分钟以内，最优解保持不变。当然，增加成形中心每天可利用的总时间（无论多少分钟），同样也不会影响到最优解。因此，去掉第二个约束，即没有成形中心可利用时间的限制，最优解仍保持不变。可用LINGO程序实验一下（见附录Ⅲ），从结果看出最优解不变，所以第二个约束为非有效约束。②另外三个约束的松弛变量值为0，也就是说，这三个约束是“紧的”，此时若改动冲压机、装配中心和喷漆中心的每天可供利用的总时间，就会改变最优解的值。⑵.其次，分析“紧约束”改变时，最优值的改变。（见附录Ⅱ）当“紧约束”的值改变时，最优解的改变要从参数DualPrice得知：从问题一的求解结果知，①第一个约束（第二行）的DualPrice的值是2.5，表示当冲压机每天可供加工的时间上限增加一分钟后，利润会上升2.5元。②第二个约束（第三行）的DualPrice的值是0，表示即使增加成形中心每天可利用的总时间，也不会带来任何利润。③第三个约束（第四行）的DualPrice的值是0.5，表示当装配中心每天可利用的总时间上限增加一分钟后，利润会上升0.5元。④第四个约束（第五行）的DualPrice的值是0.75，表示当喷漆中心每天可利用的总时间上限增加一分钟后，利润会上升0.75元。将LINGO软件中的约束条件做相应的改动，很容易验证上述结论。这里我们仅对第一个约束加以验证，其他约束验证方法相同。（见附录Ⅳ）⑶由影子价格，已经知道增加冲压机、装配中心和喷漆中心每天可利用的时间，都可以增加利润，但增加多少，这个问题并没有回答。下面用LINGO程序的灵敏度分析得出相应的结果（见附录Ⅴ）：综合其中的内容得知，当前值1b480，1b的变化范围是20801b，所以在最优基不变的情况下，1b允许变化的范围是500,400。类似地，可得2b允许变化的范围是,1790，3b允许变化的范围是2400,1800，3b允许变化的范围是3040,2720。因此，对于资源的投入，有这样的结论：每增加一分钟冲压机加工的时间，利润可增加2.5元，但只能增加20分钟的加工时间，达到500分钟。再增加冲压机的加工时间就可能达不到增加利润的效果了。同样，装配中心每天的可利用时间也只能增加400分钟，达到2400分钟；喷漆中心每天可利用的时间也只能增加40分钟，达到3040分钟。求解问题三：在灵敏度分析报告中（附录Ⅴ），ObjectiveCoefficientRanges表示目标函数值系数的变化范围。综合其中的内容得知，当前值91c，1c的范围是5.01666667.01c，所以在最优基不变的情况下，1c允许变化的范围是5.9,8333333.8。类似地，得到关于系数2c的允许变化区间是5.6,，系数3c的允许变化区间是3333333.11,10，系数4c的允许变化区间是9,7。下面仅对1c的变化进行验证：当5.91c时，用LINGO求解，得出最优解不变，最优值增大到4650（见附录Ⅵ）；当101c时，用LINGO求解，得出最优基变为31xx和，生产方案发生改变（见附录Ⅶ）。求解问题四：按照最优生产方案，B金属罐不允许生产。则去掉变量2x，建立