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一．勾股定理1.在如下图的圆中，正方形ABCD的边长为8，圆心O到AB的距离为5，求正方形EFGH的面积。2.如图，直角三角形ABC中，两直角边分别为7，24，三角形内有一点P到各边的距离相等，这这个距离为多少？3.如图，对角线BD将矩形ABCD分割为两个三角形，AE和CF分别是两个三角形上的高，长度都等于6cm，EF的长度为5cm，求矩形ABCD的面积？二．2已知长方形长为8，宽为4，将长方形沿一条对角线折起压平，如图，求重叠部分△FBD的面积？二．3.如图：矩形ABCD，AB=3cm,AD=9cm,折叠矩形，使B点与D点重合，折痕为EF，则三角形BEF的面积是多少？EABFCF三．2.在一个直径为一丈的圆形池中有一芦苇，高出水面1尺，风吹过，芦苇高刚好倒下碰到水面，芦苇到了岸边，那么水面的深度和芦苇的高度是多少？DCEFOHGBA学案1.如图所示，直角三角形PQR的直角边为5厘米和9厘米，问图中3个正方形面积之和比4个三角形面积之和大多少？学案3.下图是一个长为16，宽为10的长方形，沿着图中虚线的位置将这个长方形折叠成一个等腰梯形，则这个梯形的面积是_______。补充1.将B点折到AD边上的E点，E是五等分点，AE＝1，求三角形BCF的面积。补充2.一根绳子在一个圆柱上从一端到另一端均匀的绕了4圈，圆柱的底面积周长为4米，长12米，求绳子的长度？第二讲完全平方数一4.求一个最小的自然数，它乘以2后是完全平方数，乘以3后是完全立方数，乘以5后是五次方数。1610ADCBEF一5.从乘法算式1×2×3×…×15中至少要删除多少个数，才能使剩下的数的乘积为完全平方数？一6.从1!、2!、3!、…、100!这100个数中去掉一个数，使得剩下各数的乘积是一个完全平方数，请问：被去掉的那个数是什么？二3.100名同学，编号为1～100，面向南站成一排，第1次全体同学向后转；第2次编号为2的倍数的同学向后转；第3次编号为3的倍数的同学向后转；……；第100次编号为100的倍数的同学向后转；这时，面向南的同学有______名？二4.100名同学，编号为1～100，面向南站成一排，第1次全体同学向右转；第2次编号为2的倍数的同学向右转；第3次编号为3的倍数的同学向右转；……；第100次编号为100的倍数的同学向右转；这时，面向东的同学有______名？三3.(1)形如11…1(n＞1，n个1)的完全平方数有______个；(2)形如1444…4(n＞1，n个4)的完全平方数有______个；三5.m3+n3+1（m、n为自然数）能否为平方数？学案1.称能表示成1+2+3+…+k的形式的自然数为三角数。有一个四位数N，它既是三角数，又是完全平方数，则N＝______。学案3.有两个两位数，它们的差是14，将它们分别平方得到的两个平方数的末两位数（个位数和十位数）相同，那么这两个两位数是多少？作业2.试求一个四位数，它是一个完全平方数，并且它的前两位数字相同，后两位数字也相同?作业3.五个连续的自然数，它们的和是一个完全平方数，中间三个数的和是完全立方数，则这五个数中最小数的最小值是多少？作业5.是否存在自然数a，b，使得2ab11×7是完全平方数？作业6.已知ABCA是一个四位数，若两位数AB是一个质数，BC是一个完全平方数，CA是一个质数与一个不为1的完全平方数之积，则满足条件的所有四位数有哪些？补充1：有一个数加10是完全平方数，减10还是完全平方数，求这个数？补充2.从1!×2!×3!…31！×32!划掉谁？为完全平方数？补充3.求一个最小的自然数，乘以2后是完全平方数，乘以3后，还是完全平方数。三：类比与猜想1.如果mn20122014201420132013（其中m与n为互质的自然数）,那么m+n的值是多少？3.一个半径为1厘米的圆，向前滚动了10厘米，求园扫过的面积是多少？4.一个半径为1厘米的圆，沿边长为10厘米的正方形外围滚动了一圈，求园扫过的面积是多少？是上一问的4倍吗？5.一个半径我为1厘米的圆，沿长为10厘米，宽为6厘米的长方形外围滚动了一圈，求园扫过的面积？6.一个半径为1厘米的圆，沿着边长为10厘米的菱形滚动一周，求园扫过的面积？这个结果与菱形边上的高有关吗？7.一个半径为1厘米的圆，沿边长为10厘米的正六边形外围滚动一圈，求圆扫过的面积是多少？沿边长为10厘米的正八边形外围滚动一圈，求圆扫过的面积？8.一个半径为1厘米的圆，沿半径为5厘米的圆外围滚动一圈，求小圆扫过的面积是多少？这次我们继续使用之前几问得到的方法来计算，结果是否仍然正确？9.一个半径为r的圆，沿着周长为L的任意凸图形外围滚动一周，求圆扫过的面积？作业3.两枚一模一样的硬币，半径都是1厘米，把其中一枚硬币固定在桌面上，另一枚硬币贴住被固定的硬币，无滑动的绕固定的硬币滚动一周，请问：（1）滚动的那枚硬币扫过的面积是多少？（2）滚动的那枚硬币绕固定的硬币公转了一圈，那么自转了几圈？（3）如半径为1厘米的硬币绕半径为5厘米的圆环外围无滑动的滚动一周，硬币自转了几圈？如半径为1厘米的硬币绕半径为5厘米的圆环内环无滑动的滚动一周，硬币自转了几圈？作业5.某班女生人数是男生的2倍，女生的平均身高为150cm，男生的平均身高是162cm，求全班的平均身高是多少？11.直角三角形ABC中,DE∥AC，BD=20，CF=13，那么△BEF的面积是多少？BDAF第五讲带余除法一4.两个数相除，商9余4，如被除数、除数都扩大原来的3倍，那么被除数、除数、商、余数四数之和是2583。求原来的被除数和除数各是多少?一5.一个自然数被8除余1，所得的商被8除也余1，再把第二次所得的商被8除后余7，最后一个商是a;又知这个自然数被17除余4，所得的商被17除余15，最后一个商是2a。求这个自然数？二5.一个数除以9得到的商和余数相等，求所有满足条件的自然数？（商可以为0）二6.一个数除以8得到的商和余数的和为13，求所有满足条件的自然数。二7.一个数除以8得到的商加上这个数除以9的余数，其和是13.求所有满足条件的自然数。三3.这组数中有_________个大于1？三5.请用高思记号表示：在1～1000中即不是5的倍数也不是7的倍数的数的数量。三6.二元一次方程组三.7用[x]表示不大于x的最大整数，如[4.1]＝4，[2.5]＝2，则方程6x-3[x]-7＝0的解是_______。学案1.A、B、C三个数之和是57，A除以B、C除以A的商都是3，余数都是1，那么A、B、C分别是多少？35倍数7的倍数5的倍数学案2.在大于1000的整数中，找出所有被34除后商和余数相等的数，这些数的和是多少?A＝20101([12010]+[22010]+[32010]+…+[20102010])B＝20111([12011]+[22011]+[32011]+…+[20112011])，请判断A、B的大小。作业1.有三个自然数a、b、c，已知b除以a得商3余3；c除以a得商9余11；则c除以b，得到的余数是______。作业3.一个两位数除351，余数是21，这个两位数最小是多少？作业4.在算式2013÷□＝△…11填上合适的除法算式，一共可以组成_____个正确的除法算式。作业5.在[201112]、[201122]、[201132]、…、[201120112]中共出现多少个互不相同的数？作业6.用[x]表示不大于x的最大整数，记{x}＝x-[x]，则算式[512]+[513]+[514]+…+[52012]的值为_______。作业6.的值为______?补充1.1979年,诺贝尔奖获得者李政道教授到中国科技大学讲学,他给少年班的同学出了这样一道算术题：有5只猴子在海边发现一堆桃子,决定第二天来平分.第二天清晨,第一只猴子最早来到,它吃掉一个,恰好可以分成5份,它拿上自己的一份走了。第2,3,4,5只猴子也遇到同样的问题,采用了同样的方法,都是吃掉1个,恰好可以分成5份，自己拿走一份，剩余4份，第5个猴子拿走后剩余4堆。问这堆桃子至少有多少个。补充2.有一些四位数每个分别去除以15，17，19，得到的商与余数的和都是相等的，请问满足要求的四位数，最小是多少？第六讲同余“a和b除以m余数相同”表示为：a≡b(modm)，m≠0。重要知识点如下：(1)“和的余数”与“余数的和”同余；“差的余数”与“余数的差”同余；“积的余数”与“余数的积”同余；(2)同余方程常用“同余做差能整除”，a≡b(modm)，m≠0，m|(a-b)，对(a-b)进行分解，一般就可以得到需要求解的结果。(3)一个数与其数字和(mod9)同余.(4)剩余系:就是按照除以n的余数从0到n-1分成n类，利用抽屉原理。一3.一个数除30和23，余数相同，请问这个数是多少？一4.(1)求(5412×852)÷9的余数。(2)求20132÷9的余数；(3)有一只猴子摘了一大堆香蕉，他把香蕉平分成3小堆，不多不少。又把其中一小堆再平分成5份，发现多了一根。如果他一开始就把香蕉平分成5堆，会多出几根？(4)有一只猴子摘了一大堆香蕉，他把香蕉平分成6小堆，多了2根。又把其中一小堆再平分成5份，发现多了4根。如果他一开始就把香蕉平分成5堆，会多出几根？一5.(1)小明按顺序写出了从1开始的完全平方数1、4、9、……除以7的余数，请猜测22013除以7的余数是多少？（2)求201348(mod5)。一6.(1)求3130×3031(mod13)；(2)已知A＝20132013…2013（2013个2013），求A除以13的余数。二1.(1)一个数去除33，48，68，余数相同，请问这个数是几？(2)一个数除50余1，除79余2，除89余5，请问这个数是几？二2.(1)用412、133、257除以一个相同的自然数，所得余数相同，这个数最大是几？(2)有三个吉利数888、518、666，用他们分别除以同一个自然数，所得的余数分别是a、a+7、a+10，则这个自然数是多少？(3)有一个整数去除70、110、160所得的3个余数之和为50，那么这个整数是多少？(4)有一个自然数，分别去除63、90、130都有余数，并且3个余数之和为25，求最大那个余数是多少？二3.(1)求20132013的末位数字；(2)求证：10|2013a－1989a。二4.将1到2000的自然数写成一排：12345…19992000，这个数除以9的余数是多少？二5.(1)一个三位数是它数字和的33倍，求此数；（思路）(2)一个五位数是它数字和的2013倍，求此数；(3)一个五位数是它数字和的2008倍，求此数；三1.袁世凯于1916年1月1日星期六称帝，只当了82天就被逼退位，问他退位那天是星期几？三2.小明说，任意6个整数里，一定有某两个数的差是5的倍数，他说的对吗？三3.求证：1、11、111、1111、11111、……这若干个数里面一定有2013的倍数。三4.求证：20、2020、202020…里面一定有2012的倍数。三5.M、N均为非零自然数，且(M2007+N2008)能被7整除，求(M+N)的最小值。三6.求1～2013的所有自然数中，有多少个整数x使得x2和2x被7除的余数相同。学案1.甲乙两个代表团去参观中山陵，每辆车可以乘36人，两代表团坐满若干辆车后，甲代表团剩下的11人和乙代表团剩下的人恰好又能坐满一辆车。参观完之后甲代表团的每个成员都与乙代表团的每个成员拍了一张两人合影。如果一个胶卷可以拍36张照片，那么拍完最后一张照片后，相机里的胶卷还能拍几张？学案2.我们把拥有0～9所有数码的数称为十全数，求证：对于任意一个n，必能找到一个十全数是n的倍数。学案3.任取2013（或n）个数，求证里面一定能选出若干个数之和是2013（或n）的倍数。作业1.20132013的末两位数是多少？作业3.请证明不存在三个完全平方数之和为641607。作业4.请说明任意6个正整数中必然可以选出4个，用这四个数进行四则运算后（各用一次）可以得到1