数学：一次函数与全等综合

初二数学尖子班第9讲练习题一次函数与全等综合习题1如图，已知在平面直角坐标系xOy中，点04A，，点BC，在x轴上，作BEAC，垂足为E（点E在线段AC上，且点E与点A不重合），直线BE与y轴交于点D，若BDAC．⑴求点B的坐标；⑵设OC长为m，BOD△的面积为S，求S与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围．(0,4)OyxEDCBA【解析】⑴如图，由BODAOC△≌△可知4BOAO∴B点坐标为40，．⑵由⑴可知DOOCm，∴142Sm，2Sm，m的取值范围是04m．习题2如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点．直线ykxb经过02A，、40B，两点．⑴求直线AB的解析式；⑵点C的坐标为(01)，，过点C作CDAO交AB于D．x轴上的点P和A、B、C、D、O中的两个点所构成的三角形与ACD全等，这样的三角形有_______个，请在图中画出其中两个三角形的示意图．BDCAOxy【解析】⑴122yx．⑵有4+1+2+1=8个（POA△有2个，PCD△有2个，PCO△有2个，PBD△有1个，POD△有1个.图略（注：任意两个即可，答案不唯一）．习题3如图所示，在直角坐标系中，直线AB：443yx交坐标轴于A、B两点，以AB为边，在AB左侧作正方形ABCD，点D的坐标为．【解析】(4,1)习题4如图，直线AB与x轴负半轴、y轴正半轴分别交于A、B两点，OA、OB的长度分别为a和b，且满足a2﹣2ab+b2=0，直线OQ与直线AB交于点Q，过A、B两点分别作AM⊥OQ于M，BN⊥OQ于N，若AM=9，BN=4，求MN的长．【解析】∵OA、OB的长度分别为a和b，且满足a2﹣2ab+b2=0，∴a=b，即AO=OB．∵AM⊥OQ，BN⊥OQ，∴∠AOM=∠OBN=90°﹣∠NOB在ᇞAOM和ᇞOBN中，OMABNOAOMOBNAOOB，∴ᇞAOM≌△OBN（AAS），∴AM=ON，OM=BN=4（全等三角形对应边相等），∴MN=ON﹣OM=9﹣4=5．习题5如图，直线AB交x轴正半轴于点A（a，0），交y轴正半轴于点B（0，b），且a、b满足22()160abb．⑴求A、B两点的坐标；⑵如图，P为x轴上A点右侧任意一点，以BP为边作等腰RtᇞPBM，其中PB=PM，直线MA交y轴于点Q，当点P在x轴上运动时，线段OQ的长是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求线段OQ的取值范围．【解析】⑴∵22()160abb，∴0ab，2160b．∵a＞0，b＞0，∴a=b=4，∴点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，4）．⑵点M作MN⊥x轴，由题意可得：ᇞBOP≌△PNM∴BO=PN=OA,OP=NM∴OP=AN=NM∴45MAN∴45OAQMAN∴OQ=OA=4．习题6如图，等边ᇞOAC的边长是2，点O与原点重合，点B是x轴正半轴上的动点，以AB为边向上作等边ᇞABE．⑴如图1，当EB⊥x轴时，求直线CE的解析式；⑵连接CE，如图2．判断CE与BO是否相等，并说明理由；【解析】⑴∵EB⊥x，ᇞABE是等边三角形，∴∠ABO=30°，∵等边ᇞOAC的边长是2，∴OB=4，AB=BE=23，∴C（2，0），E（4，23）设直线CE的解析式为：y=kx+b，则20423kbkb解得：3k，23b．所以直线CE的解析式为：323yx．⑵CE=BO．∵△OAC和ᇞABE是等边三角形，∴AO=AC，AE=AB，∠OAC=∠BOE=60°，∴∠OAC+∠CAB=∠BOE+∠CAB，即∠OAB=∠CAE，在ᇞOAB和ᇞCAE中，AOACOABCAEAEAB，∴△OAB≌△CAE（SAS）∴CE=BO．习题7如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、B的坐标分别为10，、40，，点D在y轴上ADBC∥，点E在CD上，且满足AE、BE分别平分DAB、CBA．⑴请你判断此时线段CE与DE是否相等，并证明你的结论；⑵已知60DAB°，直接写出线段BC的长．-15142OEDCBAyxD'EDCBA542-11【解析】⑴相等，证明如下如上右图，在AB上取点D，使ADAD，连接DE，可证ADEADE△≌△，∴DEDE由ADBC∥，AE、BE平分DAB与ABC可得90AEB°从而可知DEBCEB由此，CEBDEB△≌△，∴ECED∴DEEC⑵∵60DAB°，∴30ADO°，∴22ADAO由⑵可知，2ADAD∴523BCBD．习题8在平面直角坐标系中，点40A，，点04B，，点P在直线AB上运动；⑴若P点横坐标为2Px，求以直线OP为图象的函数解析式（直接写出结论）；⑵若点P在第四象限，作BMOP于点M，ANOP于点N，求证：MNBMAN；⑶若点P在第一象限，仍作BMOP于点M，ANOP于点N，试探究线段MNBMAN、、所满足的数量关系式，直接写出结论，并画图说明．MPNBAOxy【解析】⑴3yx⑵如图1.图1MPNBAOxy图2yxOABNPM图3MPNBAOxy因为OAOB易证BMOONA△≌△所以MOANBMON，所以MNMOONANBM⑶若P点在第一象限，如图2、图3同样有BMOONA△≌△即MOANBMON，若45POA，即APBP则ANBM故MNONMOBMAN若45POA，即APBP则ANBM故MNMOONANBM若45POA，即APBP则0ANBMMN，即MNBMAN综上，当P在第一象限，MNBMAN初二数学尖子班第9讲学案一次函数和全等综合学案1如图，一次函数334yx的图象分别与x轴、y轴交于点A、B，以线段AB为边在第一象限内作等腰RtᇞABC，∠BAC=90°．则过B、C两点直线的解析式为（）A.137yxB.135yxC.134yxD.133yxBACOyxDxyOCAB【解析】可得B的坐标（0，3），A的坐标（4，0）；作CD⊥x轴于点D．ᇞABO≌△CAD得C的坐标是（7，4）．∴直线BC的解析式是137yx．故选A．学案2如图，一次函数24yx的图象与坐标轴分别交于A、B两点，把线段AB绕着点A沿逆时针方向旋转90°，点B落在点B′处，则点B′的坐标是（）A．（6，4）B．（4，6）C．（6，5）D．（5，6）xyOB'AB【解析】选A.学案3如图，以O为原点的直角坐标系中，A点的坐标为0,1，直线1x交x轴于点B．P为线段AB上一动点（不与端点重合），作直线PCPO，交直线1x于点C，过P点作直线MN平行于x轴，交y轴于点M，交直线1x于点N．⑴当点C在第一象限时，求证：OPMPCN△≌△；⑵当点C在第一象限时，设点P的横坐标为m，POB△的面积为S．请求出S与m间的函数关系式，并求出自变量m的取值范围．【解析】⑴在OPM△与PCN△中，OMNPNCMOPNPCOMPN，故OPMPCN△≌△⑵AB：1yx，1OMPNm，故11(1)2Sm又0m，10m，120m，所以102m．学案4已知一次函数1ykxb的图象平行于直线7yx，且与正比例函数212yx的图象相交于点6,Pa；⑴求一次函数解析式；⑵若一次函数的图象交x、y轴于A、B两点，动点,Mxy在线段AB上运动，点M运动到什么位置时，点A、O、B、M可以构成两个全等三角形，并说明理由．⑶动点,Mxy在线段BP上运动时，若13AOMPOBSS△△时，求M点的坐标．【解析】⑴3yx；x=1PMNyCOxBA⑵3yx当M运动到AB中点时，AOBBOM△≌△，利用SSS可证得．⑶9,3POBAOMSS，故1332y，2y进而求得M点的坐标为1,2或5,2．