1中考数学压轴题集训(八个类型)一.面积与动点1.(重庆市綦江县)如图,已知抛物线y=a(x-1)2+(a≠0)经过点A(-2,0),抛物线的顶点为D,过O作射线OM∥AD.过顶点D平行于轴的直线交射线OM于点C,B在轴正半轴上,连结BC.(1)求该抛物线的解析式;(2)若动点P从点O出发,以每秒1个长度单位的速度沿射线OM运动,设点P运动的时间为t(s).问:当t为何值时,四边形DAOP分别为平行四边形?直角梯形?等腰梯形?(3)若OC=OB,动点P和动点Q分别从点O和点B同时出发,分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC和BO运动,当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动.设它们的运动的时间为t(s),连接PQ,当t为何值时,四边形BCPQ的面积最小?并求出最小值及此时PQ的长.解:(1)把A(-2,0)代入y=a(x-1)2+,得0=a(-2-1)2+.∴a=-·································1分∴该抛物线的解析式为y=-(x-1)2+即y=-x2+x+.·······················3分(2)设点D的坐标为(xD,yD),由于D为抛物线的顶点∴xD=-=1,yD=-×12+×1+=.∴点D的坐标为(1,).如图,过点D作DN⊥x轴于N,则DN=,AN=3,∴AD==6.∴∠DAO=60°·······························4分∵OM∥AD①当AD=OP时,四边形DAOP为平行四边形.2∴OP=6∴t=6(s)························5分②当DP⊥OM时,四边形DAOP为直角梯形.过点O作OE⊥AD轴于E.在Rt△AOE中,∵AO=2,∠EAO=60°,∴AE=1.(注:也可通过Rt△AOE∽Rt△AND求出AE=1)∵四边形DEOP为矩形,∴OP=DE=6-1=5.∴t=5(s)································6分③当PD=OA时,四边形DAOP为等腰梯形,此时OP=AD-2AE=6-2=4.∴t=4(s)综上所述,当t=6s、5s、4s时,四边形DAOP分别为平行四边形、直角梯形、等腰梯形.······································7分(3)∵∠DAO=60°,OM∥AD,∴∠COB=60°.又∵OC=OB,∴△COB是等边三角形,∴OB=OC=AD=6.∵BQ=2t,∴OQ=6-2t(0<t<3)过点P作PF⊥x轴于F,则PF=t.·······························8分∴S四边形BCPQ=S△COB-S△POQ=×6×-×(6-2t)×t=(t-)2+···························9分∴当t=(s)时,S四边形BCPQ的最小值为.················10分此时OQ=6-2t=6-2×=3,OP=,OF=,∴QF=3-=,PF=.∴PQ===·················12分二.几何图形与变换2.(辽宁省铁岭市)如图所示,已知在直角梯形OABC中,AB∥OC,BC⊥x轴于点C,A(1,1)、B(3,1).动点P从O点出发,沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度移动.过P点作PQ垂直于直线..OA,3垂足为Q.设P点移动的时间为t秒(0<t<4),△OPQ与直角梯形OABC重叠部分的面积为S.(1)求经过O、A、B三点的抛物线解析式;(2)求S与t的函数关系式;(3)将△OPQ绕着点P顺时针旋转90°,是否存在t,使得△OPQ的顶点O或Q在抛物线上?若存在,直接写出t的值;若不存在,请说明理由.【解析】(1)设抛物线解析式为y=ax2+bx(a≠0),将A.B点坐标代入得出:,解得:,故经过O、A、B三点的抛物线解析式为:y=-x2+x.(2)①当0<t≤2时,重叠部分为△OPQ,过点A作AD⊥x轴于点D,如图1.在Rt△AOD中,AD=OD=1,∠AOD=45°.在Rt△OPQ中,OP=t,∠OPQ=∠QOP=45°.∴OQ=PQ=t.∴S=S△OPQ=OQ•PQ=×t×t=t2(0<t≤2);②当2<t≤3时,设PQ交AB于点E,重叠部分为梯形AOPE,作EF⊥x轴于点F,如图2.∵∠OPQ=∠QOP=45°∴四边形AOPE是等腰梯形∴AE=DF=t-2.∴S=S梯形AOPE=(AE+OP)•AD=(t-2+t)×1=t-1(2<t≤3);③当3<t<4时,设PQ交AB于点E,交BC于点F,重叠部分为五边形AOCFE,如图3.∵B(3,1),OP=t,∴PC=CF=t-3.∵△PFC和△BEF都是等腰直角三角形4∴BE=BF=1-(t-3)=4-t∴S=S五边形AOCFE=S梯形OABC-S△BEF=(2+3)×1-(4-t)2=-t2+4t-(3<t<4);(4)存在,t1=1,t2=2.将△OPQ绕着点P顺时针旋转90°,此时Q(t+,),O(t,t)①当点Q在抛物线上时,=-×(t+)2+×(t+),解得t=2;②当点O在抛物线上时,t=-t2+t,解得:t=1.三.相似3.(四川省遂宁市)如图,二次函数的图象经过点D(0,),且顶点C的横坐标为4,该图象在x轴上截得的线段AB的长为6.(1)求该二次函数的解析式;(2)在该抛物线的对称轴上找一点P,使PA+PD最小,求出点P的坐标;(3)在抛物线上是否存在点Q,使△QAB与△ABC相似?如果存在,求出点Q的坐标;如果不存在,请说明理由.【解析】(1)设二次函数的解析式为:y=a(x-h)2+k∵顶点C的横坐标为4,且过点(0,)5∴y=a(x-4)2+k,=16a+k①又∵对称轴为直线x=4,图象在x轴上截得的线段长为6∴A(1,0),B(7,0)∴0=9a+k②由①②解得a=,k=-∴二次函数的解析式为:y=(x-4)2-(2)∵点A、B关于直线x=4对称∴PA=PB∴PA+PD=PB+PD≥DB∴当点P在线段DB上时PA+PD取得最小值∴DB与对称轴的交点即为所求点P设直线x=4与x轴交于点M∵PM∥OD,∴∠BPM=∠BDO,又∵∠PBM=∠DBO∴△BPM∽△BDO∴∴∴点P的坐标为(4,)(3)由(1)知点C(4,),又∵AM=3,∴在Rt△AMC中,cot∠ACM=,∴∠ACM=60°,∵AC=BC,∴∠ACB=120°①当点Q在x轴上方时,过Q作QN⊥x轴于N如果AB=BQ,由△ABC∽△ABQ有BQ=6,∠ABQ=120°,则∠QBN=60°6∴QN=3,BN=3,ON=10,此时点Q(10,),如果AB=AQ,由对称性知Q(-2,)②当点Q在x轴下方时,△QAB就是△ACB,此时点Q的坐标是(4,),经检验,点(10,)与(-2,)都在抛物线上综上所述,存在这样的点Q,使△QAB∽△ABC点Q的坐标为(10,)或(-2,)或(4,).四.等腰,直角三角形4.(广东省湛江市)已知矩形纸片OABC的长为4,宽为3,以长OA所在的直线为x轴,O为坐标原点建立平面直角坐标系;点P是OA边上的动点(与点OA不重合),现将△POC沿PC翻折得到△PEC,再在AB边上选取适当的点D,将△PAD沿PD翻折,得到△PFD,使得直线PE、PF重合.(1)若点E落在BC边上,如图①,求点P、C、D的坐标,并求过此三点的抛物线的函数关系式;(2)若点E落在矩形纸片OABC的内部,如图②,设OP=x,AD=y,当x为何值时,y取得最大值?(3)在(1)的情况下,过点P、C、D三点的抛物线上是否存在点Q,使△PDQ是以PD为直角边的直角三角形?若不存在,说明理由;若存在,求出点Q的坐标.解:(1)由题意知,△POC,△PAD均为等腰直角三角形,可得P(3,0),C(0,3),D(4,1),设过此三点的抛物线为y=ax2+bx+c(a≠0),则,7∴,∴过P、C、D三点的抛物线的函数关系式为y=x2-x+3.(2)由已知PC平分∠OPE,PD平分∠APF,且PE、PF重合,则∠CPD=90°,∴∠OPC+∠APD=90°,又∠APD+∠ADP=90°,∴∠OPC=∠ADP.∴Rt△POC∽Rt△DAP.∴即∵y=x(4-x)=-x2+x=-(x-2)2+(0<x<4)∴当x=2时,y有最大值.(3)假设存在,分两种情况讨论:①当∠DPQ=90°时,由题意可知∠DPC=90°,且点C在抛物线上,故点C与点Q重合,所求的点Q为(0,3)②当∠QDP=90°时,过点D作平行于PC的直线DQ,假设直线DQ交抛物线于另-点Q,∵点P(3,0),C(0,3),∴直线PC的方程为y=-x+3,将直线PC向上平移2个单位与直线DQ重合,∴直线DQ的方程为y=-x+5.由,得或.又点D(4,1),∴Q(-1,6),故该抛物线上存在两点Q(0,3),(-1,6)满足条件.85.(广东省深圳市)已知:Rt△ABC的斜边长为5,斜边上的高为2,将这个直角三角形放置在平面直角坐标系中,使其斜边AB与x轴重合(其中OA<OB),直角顶点C落在y轴正半轴上(如图1).(1)求线段OA、OB的长和经过点A、B、C的抛物线的关系式.(2)如图2,点D的坐标为(2,0),点P(m,n)是该抛物线上的一个动点(其中m>0,n>0),连接DP交BC于点E.①当△BDE是等腰三角形时,直接写出....此时点E的坐标.②又连接CD、CP(如图3),△CDP是否有最大面积?若有,求出△CDP的最大面积和此时点P的坐标;若没有,请说明理由.【解析】(1)设OA的长为x,则OB=5-x;∵OC=2,AB=5,∠BOC=∠AOC=90°,∠OAC=∠OCB;9∴△AOC∽△COB,∴OC2=OA•OB∴22=x(5-x)…(1分)解得:x1=1,x2=4,∵OA<OB,∴OA=1,OB=4;…(2分)∴点A、B、C的坐标分别是:A(-1,0),B(4,0),C(0,2);(注:直接用射影定理的,不扣分)方法一:设经过点A、B、C的抛物线的关系式为:y=ax2+bx+2,将A、B、C三点的坐标代入得…(3分)解得:a=,b=,c=2所以这个二次函数的表达式为:…(4分)方法二:设过点A、B、C的抛物线的关系式为:y=a(x+1)(x-4)…(3分)将C点的坐标代入得:a=所以这个二次函数的表达式为:…(4分)(注:表达式的最终结果用三种形式中的任一种都不扣分)(2)①当△BDE是等腰三角形时,点E的坐标分别是:,,.…1+1+(1分)(注:符合条件的E点共有三个,其坐标,写对一个给1分)②如图1,连接OP,S△CDP=S四边形CODP-S△COD=S△COP+S△ODP-S△COD…(8分)==m+n-2==…(9分)∴当m=时,△CDP的面积最大.此时P点的坐标为(,),S△CDP的最大值是.…(10分)另【解析】如图2、图3,过点P作PF⊥x轴于点F,则S△CDP=S梯形COFP-S△COD-S△DFP…(8分)==m+n-2==…(9分)10∴当m=时,△CDP的面积最大.此时P点的坐标为(,),S△CDP的最大值是.(注:只回答有最大面积,而没有说明理由的,不给分;点P的坐标,或最大面积计算错误的,扣(1分);其他解法只要合理,酌情给分.)五、特殊四边形。6.(内蒙古赤峰市)如图,Rt△ABC的顶点坐标分别为A(0,),B(-,),C(1,0),∠ABC=90°,BC与y轴的交点为D,D点坐标为(0,),以点D为顶点、y轴为对称轴的抛物线过点B.(1)求该抛物线的解析式;(2)将△ABC沿AC折叠后得到点B的对应点B′,求证:四边形AOCB′是矩形,并判断点B′是否在(1)的抛物线上;(3)延长BA交抛物线于点E,在线段BE上取一点P,过P点作x轴的垂线,交抛物线于点F,是否存在这样的点P,使四边形PADF是平行四边形?若存在,求出点P的坐标,若不存在,说明理由.【解析】11(1)设抛物线的解析式为y=ax2+,(1分)∵B(,)在抛物线上,∴把B(,)代