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高中数学选择性必修课程学业质量标准与教学实施（上）天津市中小学教育教学研究室教研室数学室一、学业质量水平二、教学提示三、学业要求四、教学案例教研室数学室选择性必修课程包括四个主题，分别是函数、几何与代数、概率与统计、数学建模活动与数学探究活动．选择性必修课程共6学分108课时（其中4课时为机动时间）．在这108课时里，除要达到必须的学业质量水平要求，还要把数学文化融入课程内容，引导学生了解数学与人类发展的相互作用，体会数学的科学价值、文化价值和应用价值；在寻求数学发展历史轨迹的过程中，激发学生数学创新的动力，提升学生的文化素养和科学精神．高中数学选择性必修课程学业质量标准与教学实施（上）教研室数学室主题一函数在必修课程中，学生学习了函数的概念和性质，总结了研究函数的基本方法，掌握了一些具体的基本函数类，探索了函数的应用．在本主题中，学生将学习数列和一元函数导数及其应用．数列是一类特殊的函数，是数学重要的研究对象，是研究其他类型函数的基本工具，在日常生活中也有着广泛的应用．导数是微积分的核心内容，是现代数学的基本概念，蕴含微积分的基本思想；导数定量地刻画了函数的局部变化，是研究函数性质的基本工具．本主题建议30个课时完成．高中数学选择性必修课程学业质量标准与教学实施（上）教研室数学室一、学业质量水平1.数列本单元的学习，可以帮助学生通过对日常生活中实际问题的分析，了解数列的概念；探索并掌握等差数列和等比数列的变化规律，建立通项公式和前n项和公式；能运用等差数列、等比数列解决简单的实际问题和数学问题，感受数学模型的现实意义与应用；了解等差数列与一元一次函数、等比数列与指数函数的联系；感受数列与函数的共性与差异，体会数学的整体性．本单元的内容包括：数列概念、等差数列、等比数列、*数学归纳法．高中数学选择性必修课程学业质量标准与教学实施（上）教研室数学室2.一元函数导数及其应用本单元的学习，可以帮助学生通过丰富的实际背景理解导数的概念，掌握导数的基本运算，运用导数研究函数的性质，并解决一些实际问题．本单元的内容包括：导数概念及其意义、导数运算、导数在研究函数中的应用、微积分的创立与发展．高中数学选择性必修课程学业质量标准与教学实施（上）教研室数学室二、教学提示在数列的教学过程中，应引导学生通过具体实例（如购房贷款、放射性物质的衰变、人口增长等），理解等差数列、等比数列的概念、性质和应用；引导学生掌握数列中各个量之间的基本关系．高中数学选择性必修课程学业质量标准与教学实施（上）教研室数学室应特别强调数列作为一类特殊的函数在解决实际问题中的作用，突出等差数列、等比数列的本质，引导学生通过类比的方法探索等差数列与一元一次函数、等比数列与指数函数的联系，加深对数列及函数概念的理解．在教学中可以组织学生收集、阅读数列方面的研究成果，特别是我国古代的优秀研究成果，如，以“杨辉三角”、《四元玉鉴》等，撰写小论文，论述数列发展的过程、重要结果、主要人物、关键事件及其对人类文明的贡献，感悟我国古代数学的辉煌成就．高中数学选择性必修课程学业质量标准与教学实施（上）教研室数学室在一元函数导数及其应用的教学中，应通过丰富的实际背景和具体实例引入导数的概念，例如，斜率、增长率、膨胀率、效率、密度、速度、加速度等；应引导学生经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数是如何刻画瞬时变化率的，感悟极限的思想；应引导学生通过具体实例感受导数在研究函数和解决实际问题中的作用，体会导数的意义．学生对导数概念的理解不可能一步到位，导数概念的学习应该贯穿在一元函数导数及其应用学习的始终．一般地，在高中阶段研究与导数有关的问题中，涉及的函数都是可导函数．在教学中可以组织学生收集、阅读微积分创立与发展的历史资料，撰写小论文，论述微积分创立与发展的过程、重要结果、主要人物、关键事件及其对人类文明的贡献．高中数学选择性必修课程学业质量标准与教学实施（上）教研室数学室三、学业要求能够结合具体实例，理解通项公式对于数列的重要性，知道通项公式是这类函数的解析表达式；通过等差数列和等比数列的研究，感悟数列是可以用来刻画现实世界中一类具有递推规律事物的数学模型，掌握通项公式与前n项和的关系；能够运用数列解决简单的实际问题．高中数学选择性必修课程学业质量标准与教学实施（上）教研室数学室能够通过具体情境，直观理解导数概念，感悟极限思想，知道极限思想是人类深刻认识和表达现实世界必备的思维品质；理解导数是一种借助极限的运算；掌握导数的基本运算规则，能求简单函数和简单复合函数的导数；能够运用导数研究简单函数的性质和变化规律，能够利用导数解决简单的实际问题；知道微积分创立过程，以及微积分对数学发展的作用．重点提升数学抽象、数学运算、直观想象、数学建模和逻辑推理素养．高中数学选择性必修课程学业质量标准与教学实施（上）教研室数学室四、教学案例平均变化率高中数学选择性必修课程学业质量标准与教学实施（上）教研室数学室（一）教学任务分析通过本节内容的教学，促进学生全面认识数学的价值，使学生对变量数学的思想方法有新的感悟，进一步发展学生的数学思维能力，感受数学产生和发展的规律以及人类智慧和文明的传承.通过本节内容的教学，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，体会变化率的广阔实际背景；体会导数的思想及其内涵，知道瞬时变化率就是导数；认识平均变化率与瞬时变化率的区别与联系；通过函数图象直观地理解导数的几何意义.高中数学选择性必修课程学业质量标准与教学实施（上）教研室数学室本节约5课时，本课时为第1课时．通过几个实例的分析，抽象出平均变化率的概念，并在实例的体验中，体验平均变化率的意义.围绕本课时的教学内容，设计如下教学目标：1．理解平均变化率的意义，经历平均变化率概念的形成过程，体会平均变化率是刻画变量变化快慢程度的一种数学模型.2．了解平均变化率的几何意义，会计算函数在某个区间上的平均变化率.3．感受数学模型在刻画客观世界的作用，进一步领会变量数学的思想，提高分析问题、解决问题的能力.高中数学选择性必修课程学业质量标准与教学实施（上）教研室数学室4．在平均变化率概念的建构过程中，提升学生的数学抽象和逻辑推理等素养.（二）教学重点与难点1．教学重点：平均变化率的意义.2．教学难点：平均变化率概念的形成过程.（三）教学过程设计教学过程设计见附表5-1.高中数学选择性必修课程学业质量标准与教学实施（上）教研室数学室主题二几何与代数在必修课程学习平面向量的基础上，本主题将学习空间向量，并运用空间向量研究立体几何中的位置关系和度量关系．解析几何是数学发展过程中的标志性成果，是微积分创立的基础．本主题将学习平面解析几何，通过建立坐标系，借助直线、圆与圆锥曲线的几何特征，导出相应方程，用代数方法研究它们的几何性质，体现数与形的结合．本主题建议44个课时完成．高中数学选择性必修课程学业质量标准与教学实施（上）教研室数学室一、学业质量水平1.空间向量与立体几何本单元的学习，可以帮助学生在学习平面向量的基础上，利用类比的方法理解空间向量的概念、运算、基本定理和应用，体会平面向量和空间向量的共性和差异；运用向量的方法研究空间基本图形的位置关系和度量关系，体会向量方法和综合几何方法的共性和差异；运用向量方法解决简单的数学问题和实际问题，感悟向量是研究几何问题的有效工具．本单元的内容包括：空间直角坐标系、空间向量及其运算、向量基本定理及坐标表示、空间向量的应用．高中数学选择性必修课程学业质量标准与教学实施（上）教研室数学室2.平面解析几何本单元的学习，可以帮助学生在平面直角坐标系中，认识直线、圆、椭圆、抛物线、双曲线的几何特征，建立它们的标准方程；运用代数方法进一步认识圆锥曲线的性质以及它们的位置关系；运用平面解析几何方法解决简单的数学问题和实际问题，感悟平面解析几何中蕴含的数学思想．本单元的内容包括：直线与方程、圆与方程、圆锥曲线与方程，*平面解析几何的形成与发展．高中数学选择性必修课程学业质量标准与教学实施（上）教研室数学室二、教学提示本主题的研究对象是几何图形，所用的研究方法主要是代数方法．在空间向量与立体几何的教学中，应重视以下方面：第一，引导学生运用类比的方法，经历向量及其运算由平面向空间的推广过程，探索空间向量与平面向量的共性和差异，引发学生思考维数增加所带来的影响；第二，鼓励学生灵活选择运用向量方法与综合几何方法，从不同角度解决立体几何问题（如距离问题），通过对比体会向量方法的优势．在上述过程中，引导学生理解向量基本定理的本质，感悟“基”的思想，并运用它解决立体几何中的问题．高中数学选择性必修课程学业质量标准与教学实施（上）教研室数学室在平面解析几何的教学中，应引导学生经历以下过程：首先，通过实例了解几何图形的背景．例如，通过行星运行轨道、抛物运动轨迹等，使学生了解圆锥曲线的背景与应用；进而，结合情境清晰地描述图形的几何特征与问题，例如，两点决定一条直线，椭圆是到两个定点的距离之和为定长的动点的轨迹等；再结合具体问题合理地建立坐标系，用代数语言描述这些特征与问题；最后，借助几何图形的特点，形成解决问题的思路，通过直观想象和代数运算得到结果，并给出几何解释，解决问题．高中数学选择性必修课程学业质量标准与教学实施（上）教研室数学室应充分发挥信息技术的作用，通过计算机软件向学生演示方程中参数的变化对方程所表示的曲线的影响，使学生进一步理解曲线与方程的关系．在教学中，可以组织学生收集、阅读平面解析几何的形成与发展的历史资料，撰写小论文，论述平面解析几何发展的过程、重要结果、主要人物、关键事件及其对人类文明的贡献．高中数学选择性必修课程学业质量标准与教学实施（上）教研室数学室三、学业要求能够理解空间向量的概念、运算、背景和作用；能够依托空间向量建立空间图形及图形关系的想象力；能够掌握空间向量基本定理，体会其作用，并能简单应用；能够运用空间向量解决一些简单的实际问题，体会用向量解决一类问题的思路．能够掌握平面解析几何解决问题的基本过程：根据具体问题情境的特点，建立平面直角坐标系；根据几何问题和图形的特点，用代数语言把几何问题转化成为代数问题；根据对几何问题（图形）的分析，探索解决问题的思路；运用代数方法得到结论；给出代数结论合理的几何解释，解决几何问题．高中数学选择性必修课程学业质量标准与教学实施（上）教研室数学室能够根据不同的情境，建立平面直线和圆的方程，建立椭圆、抛物线、双曲线的标准方程，能构运用代数的方法研究上述曲线之间的基本关系，能构运用平面解析几何的思想解决一些简单的实际问题．重点提升直观想象、数学运算、数学建模、逻辑推理和数学抽象的素养．高中数学选择性必修课程学业质量标准与教学实施（上）教研室数学室四、教学案例椭圆的标准方程高中数学选择性必修课程学业质量标准与教学实施（上）教研室数学室（一）教学任务分析通过本节内容的教学，使学生了解椭圆的实际背景，感受椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．通过本节内容的教学，使学生经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程，掌握其定义、标准方程、几何图形及简单性质．通过本节内容的学习，能用坐标法解决一些与椭圆有关的简单几何问题（如直线与椭圆的位置关系）和实际问题.通过本节内容的学习，结合椭圆及其标准方程的实例，了解曲线与方程的对应关系，进一步体会数形结合的思想.高中数学选择性必修课程学业质量标准与教学实施（上）教研室数学室本节约4课时，本课时为第1课时．从学生已经建立的直线与圆的方程的经验出发，选择适当的坐标系来建立椭圆的方程，将复杂的方程进行化简，引进参数b，使方程形式简洁，利用所得标准方程解决简单的问题等，是本课时的主要教学内容，围绕本课时的教学内容，设计如下教学目标：1．通过建立直角坐标系，根据椭圆的定义建立标准方程，能根据已知条件求椭圆的标准方程．2．能用标准方程判断曲线是否为椭圆.3．在已有经验（直线、圆的方程及求法）的基础上，进一步感受曲线方程的概念，了解建立曲线方程的基本方法，体会数形结合的数学思想.4．在对椭圆标准方程的探究中，培养学生的理性思维习惯和数学运