人教版数学必修四1.4.1-1.5知识点总结+例题

1/6sin21112cos;2sin32);1tan3)log[12cos()]2xyxxyxyx例、求下列函数的定义域：）sin(2)sin()xkxkZCh1三角函数1.4.1正弦函数、余弦函数的图像1.4.2正弦函数、余弦函数的性质正弦函数、余弦函数的定义域与值域正弦函数：y=sinx定义域：R值域：[-1，1]余弦函数：y=cosx定义域：R值域：[-1，1]正弦函数、余弦函数的周期性正弦函数、余弦函数具有“周而复始”的变化规律,这可以从正弦线、余弦线、函数的图象的变化规律及诱导公式中得到反映。即自变量x的值增加2π的整数倍时,函数的值重复出现,数学上用周期性，这个概念来定量地刻画这种“周而复始”的变化规律.一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。注意事项：结论：2sin(),cos(),(00)yAxxRyAxxRAA一般地，函数或、、为常数，且，的周期是：(1)()()()sin()sin,sin()sin,sin4243232..xxfxTfxxTfx例定义是对定义域中的每一个的值来说的，如果只有个别的值满足，那么不能说是的周期如：但是不是的周期(2)()((2)(2)T(2)T())(2)22TfxTfxffxTxfxfxx的周期不是，应从等式来看：自变量本身加的常数才是周期；如：其周期应成为该写。(3)().fx如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期，今后提到的三角函数的周期，如无特别说明，就是最小正周期(6)sin,,cos,22(4)(5)yxxRyxxRk正弦函数与余弦并不是所有的周期函数都存在最小正周期。周期函数的周期不止函数都是周期函数，为周期，最小正一周期是个。11)3sin,;2)sin2,;3)2sin(2),;64)cos(),.23yxxRyxxRyxxRxyxR例、求下列函数的周期：2/62,2],112232,2],1122kkkZkkkZ增区间为[-，其值从增至减区间为[，其值从减至-2,2],112,2],11kkkZkkkZ增区间为[-，其值从增至减区间为[，其值从减至-正弦函数、余弦函数的奇偶性正弦函数的图象对称轴：对称中心：余弦函数的图像对称轴：对称中心：结论：正弦函数、余弦函数的单调性正弦函数的单调性余弦函数的单调性x22322523yO23225311P'P'PPx22322523yO2322531153113,,,,22222x,2xkkZ(,0),(0,0),(,0),(2,0)(,0)kkZ,xkkZ,0,,2x35(,0),(,0),(,0),(,0)2222(,0)2kkZ1sin,0);,2yxkxkkZ、由图像关于原点对称，所以为奇函数。正弦函数对称中心坐标为（对称轴方程为2cos,0);,2yxykxkkZ、由图像关于轴对称，所以为偶函数。余弦函数对称中心坐标为（对称轴方程为sin()yxxRcos()yxxR3/6结论：maxmin11[2,2](),-11;223[2,2],11.22321,222kkkZkkxkyxky、正弦函数在每个闭区间上都是增函数其值从增大到在每一个闭区间上都是减函数其值从减小到当时，当时，max1min2[2,22](),-11;[2,2],11.2,21kkkZkkxkyxky、余弦函数在每个闭区间上都是增函数其值从增大到在每一个闭区间上都是减函数其值从减小到当时，当时，综合应用比较大小331)sin(sin),sin(cos);882)cos1,cos1,cos,cos;453253)sin,cos,sin,cos54512单调区间探求2sin21)2sin(2)2)log[cos()]43493)(tan)8xxyxyy综合应用1R()(1)(),[32]A.(sin)(cos).(sin)(cos).(sin)(sin).(cos)(cos)fxfxfxffBffCffDff、定义在上的偶函数满足且在，上是减函数，，是锐角三角形的两个内角，则（A）2()logcos(2),0,131234afxxaa、已知函数其中求：（）定义域；（）单调区间；（）判断奇偶性；（）判断周期性，若是求最小正周期。3cos3sin1132sin22)3)2cos13sin2xxyxyyxx、求下列函数的值域：）222741sin4sin42cossin,[,]44133sincos122yxxyxxxyxaxaa、（）求函数的值域；（）求函数的值域。（）当函数的最大值为，求的值。12125()2sin()()()_____.fxxxRfxfxfxxx、函数，对于任意的，都有，则的最小值为6()sin0()()()()____.36363fxxfffx、函数，，且在区间，上有最小值，无最大值，则4/637()2[sin(2)1],[,],,Q()[331]644,fxaxbxabfxab、已知函数是否存在常数，使得的值域为，？若存在，求出对应的，若不存在，说明理由。8()sin()(0)2(2009)()613..1..022fxxfABCD、已知函数，的图像相邻两对称轴的距离为，则sin0()(0)sin().().().().xaafxxxABCD9、设，对于函数，下列结论正确的是有最大值无最小值有最小值无最大值有最大值有最小值无最大值无最小值210()R(sin)0(2cos)0.(1)(1)(2)0(3)(sin)10().fxxbxcfffcffx、已知函数，对任意，都有且求的值；求证：；若的最大值是，求的表达式1.4.3正切函数的性质与图像正切函数的性质1.,2.24.5.,6.(0)222xxkkZkkkkZ定义域：值域：R3.周期性：T=奇偶性：奇函数在开区间内递增对称性：对称中心，；不是轴对称图形1tan,23yx例、求函数的定义域、周期和单调区间对称中心，对称轴。13172tantan?34例、比较与的大小213,,2tan1.34cosxxyxx例、若求函数的最值及相应的的值tan()tan,,,2tan()xxxRxkZATkyTx周期性：tan()tan,,,2xxxRxkkZ正切函数奇偶性：是奇函数5/6(4),()sin().yAxA最后把曲线上横坐标不各点的纵坐标变为原来变这时的曲线就倍是函数的图象的y=sin()Ax1.5函数的图像sin()yxxR对，的图像的影响0)y=sin()x（对的图象的影响0)y=Asin()AAx（对的图象的影响结论：sinsin()(0,0?)yxyAxA怎样由的图象得到中的图象其函数y=sin(x+φ)的图象可以看作是把y=sinx的图象上所有的点向左(当φ0时)或向右(当φ0时)平移|φ|个单位而得到的。φ的变化引起图象位置发生变化(左加右减）sin(01sin1())21(()Tyxyx函数的图象且）的图象可以看作是把的图象上所有点的横坐标缩短当1时或伸长当0时到原来的倍纵坐标不变而得到的。决定函数的周期01]01[1yAsinxxRAAAAAyAsinxxRAAAA一般地，函数，（其中＞且）的图象，可以看作把正弦曲线上所有点的纵坐标伸长（当＞时）或缩短（当＜＜时）到原来的倍（横坐标不变）而得到。函数，的值域是－，，最大值是，最小值是－。s(1);inyx函数先画出的图象(2),sin()();yx左右平移个单位长再把正弦曲线向得到度函数的图象1(3),()sin();yx然后使曲线上纵各点的横坐标变为原坐标不变得来的倍到函数的图象6/6简谐运动的物理量;  0,0;21.AxTyAsinxAfTB振幅：相位：初相：；周期：；频率：在物理中，sin(),yAxxR的图象及其性质的综合应用()()()()()(2)()()2()2()(,)()()2()2(2)yfxygxxafaxgaxgxfaxybfxgxbgxbfxabfaxgaxbgxbfax与的图象关于直线对称的充要条件即关于直线对称的充要条件即关于点对称的充要条件即sin()2(00)()yAxA如图是函数的图象，，的一部分，则它的振幅，周期、初相分别是例题1.()2sin()(01)()32.6.6.6.66363xfxATBTCTBT例函数的图象过点，，则该函数的最小正周期和初相为，，，，()sin()02244__________.fxx例2.将最小正周期为的函数，的图象向左平移单位后，得到偶函数图像，则的一个可能的值为(1)在简谐运动中，自变量x表示时间，它是一个非负实数；(2)y表示相对与平衡位置的位移；(3)振幅A表示离开平衡位置的最大距离:(4)周期T表示物体往复运动一次所需要的时间；(5)频率f表示物体在单位时间内往复运动的次数。sin123yAxA根据的图象确定参数值的方法：、由最值求；、由周期求；、由特殊点求。