万有引力定律-经典例题

1．天体运动的分析方法2．中心天体质量和密度的估算(1)已知天体表面的重力加速度g和天体半径RGMmR2＝mg⇒天体质量：M＝gR2G天体密度：ρ＝3g4πGR(2)已知卫星绕天体做圆周运动的周期T和轨道半径r①GMmr2＝m4π2T2r⇒M＝4π2r3GT2②ρ＝M43πR3＝3πr3GT2R3③卫星在天体表面附近飞行时，r＝R，则ρ＝3πGT21．火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知()A．太阳位于木星运行轨道的中心B．火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等C．火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方D．相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积解析：由开普勒第一定律(轨道定律)可知，太阳位于木星运行轨道的一个焦点上，A错误；火星和木星绕太阳运行的轨道不同，运行速度的大小不可能始终相等，B错误；根据开普勒第三定律(周期定律)知所有行星轨道的半长轴的三次方与它的公转周期的平方的比值是一个常数，C正确；对于某一个行星来说，其与太阳连线在相同的时间内扫过的面积相等，不同行星在相同的时间内扫过的面积不相等，D错误．答案：C2．(2016·郑州二检)据报道，目前我国正在研制“萤火二号”火星探测器．探测器升空后，先在近地轨道上以线速度v环绕地球飞行，再调整速度进入地火转移轨道，最后再一次调整速度以线速度v′在火星表面附近环绕飞行．若认为地球和火星都是质量分布均匀的球体，已知火星与地球的半径之比为1∶2，密度之比为5∶7，设火星与地球表面重力加速度分别为g′和g，下列结论正确的是()A．g′∶g＝4∶1B．g′∶g＝10∶7C．v′∶v＝528D．v′∶v＝514解析：在天体表面附近，重力与万有引力近似相等，由GMmR2＝mg，M＝ρ43πR3，解两式得g＝43GπρR，所以g′∶g＝5∶14，A、B项错；探测器在天体表面飞行时，万有引力充当向心力，由GMmR2＝mv2R，M＝ρ43πR3，解两式得v＝2RGπρ3，所以v′∶v＝528，C项正确，D项错．答案：C3.嫦娥三号”探月卫星于2013年12月2日1点30分在西昌卫星发射中心发射，将实现“落月”的新阶段．若已知引力常量G，月球绕地球做圆周运动的半径r1、周期T1，“嫦娥三号”探月卫星绕月球做圆周运动的环月轨道(见图)半径r2、周期T2，不计其他天体的影响，则根据题目条件可以()A．求出“嫦娥三号”探月卫星的质量B．求出地球与月球之间的万有引力C．求出地球的密度D.r13T12＝r23T22解析：绕地球转动的月球受力为GMM′r12＝M′r14π2T12得T1＝4π2r13GM＝4π2r13Gρ43πr3.由于不知道地球半径r，无法求出地球密度，C错误；对“嫦娥三号”而言，GM′mr22＝mr24π2T22，T2＝4π2r23GM′，已知“嫦娥三号”的周期和半径，可求出月球质量M′，但是所有的卫星在万有引力提供向心力的运动学公式中卫星质量都约掉了，无法求出卫星质量，因此探月卫星质量无法求出，A错误；已经求出地球和月球质量，而且知道月球绕地球做圆周运动的半径r1，根据F＝GMM′r12可求出地球和月球之间的引力，B正确；由开普勒第三定律即半长轴三次方与公转周期二次方成正比，前提是对同一中心天体而言，但是两个圆周运动的中心天体一个是地球一个是月球，D错误．答案：B估算天体质量和密度时应注意的问题(1)利用万有引力提供天体做圆周运动的向心力估算天体质量时，估算的只是中心天体的质量，并非环绕天体的质量．(2)区别天体半径R和卫星轨道半径r，只有在天体表面附近的卫星才有r≈R；计算天体密度时，V＝43πR3中的R只能是中心天体的半径.考点二人造卫星的运行授课提示：对应学生用书第57页1．人造卫星的a、ω、v、T与r的关系GMmr2＝ma―→a＝GMr2―→a∝1r2mv2r―→v＝GMr―→v∝1rmω2r―→ω＝GMr3―→ω∝1r3m4π2T2r―→T＝4π2r3GM―→T∝r32．近地时mg＝GMmR2―→GM＝gR2.1．地球同步卫星的特点(1)轨道平面一定：轨道平面和赤道平面重合．(2)周期一定：与地球自转周期相同，即T＝24h＝86400s.(3)角速度一定：与地球自转的角速度相同．(4)高度一定：根据GMmr2＝m4π2T2r得r＝3GMT24π2＝4.23×104km，卫星离地面高度h＝r－R≈6R(为恒量)．(5)绕行方向一定：与地球自转的方向一致．2．极地卫星和近地卫星(1)极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖．(2)近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于地球的半径，其运行线速度约为7.9km/s.(3)两种卫星的轨道平面一定通过地球的球心．1.(2015·高考福建卷)如图，若两颗人造卫星a和b均绕地球做匀速圆周运动，a、b到地心O的距离分别为r1、r2，线速度大小分别为v1、v2，则()A.v1v2＝r2r1B.v1v2＝r1r2C.v1v2＝r2r12D.v1v2＝r1r22解析：根据万有引力定律可得GMmr2＝mv2r，即v＝GMr，所以有v1v2＝r2r1，所以A项正确，B、C、D项错误．答案：A2．2015年3月30号晚上9点52分，我国在西昌卫星发射中心用长征三号丙运载火箭，将我国首颗新一代北斗导航卫星发射升空，于31号凌晨3点34分顺利进入预定轨道．这次发射的新一代北斗导航卫星，是我国发射的第17颗北斗导航卫星．北斗卫星导航系统空间段计划由35颗卫星组成，包括5颗静止轨道卫星、27颗中地球轨道卫星、3颗倾斜同步轨道卫星．中地球轨道卫星和静止轨道卫星都绕地球球心做圆周运动，中地球轨道卫星离地面高度低，则中地球轨道卫星与静止轨道卫星相比，做圆周运动的()A．周期大B．线速度小C．角速度小D．向心加速度大解析：卫星离地面的高度越低，则运动半径越小．根据万有引力提供圆周运动向心力得GMmr2＝mv2r＝mω2r＝m4π2rT2＝ma，则周期T＝4π2r3GM，知半径r越小，周期越小，故A错误；线速度v＝GMr，知半径r越小，线速度越大，故B错误；角速度ω＝GMr3，知半径r越小，角速度越大，故C错误；向心加速度a＝GMr2，知半径r越小，向心加速度越大，故D正确．答案：D3．“空间站”是科学家进行天文探测和科学试验的特殊而又重要的场所．假设“空间站”正在地球赤道平面内的圆周轨道上运行，其离地球表面的高度为同步卫星离地球表面高度的十分之一，且运行方向与地球自转方向一致．下列说法正确的有()A．“空间站”运行时的加速度小于同步卫星运行的加速度B．“空间站”运行时的速度等于同步卫星运行速度的10倍C．站在地球赤道上的人观察到“空间站”向东运动D．在“空间站”工作的宇航员因不受重力而可在舱中悬浮解析：根据GMmr2＝ma得a＝Gmr2，知“空间站”运行的加速度大于同步卫星运行的加速度，故A错误；根据GMmr2＝mv2r得v＝GMr，离地球表面的高度不是其运动半径，所以线速度之比不是10∶1，故B错误；轨道半径越大，角速度越小，同步卫星和地球自转的角速度相同，所以空间站的角速度大于地球自转的角速度，所以站在地球赤道上的人观察到空间站向东运动，故C正确；在“空间站”工作的宇航员处于完全失重状态，重力充当向心力和空间站一起做圆周运动，故D错误．答案：C人造卫星问题的解题技巧(1)利用万有引力提供向心力的不同表达式GMmr2＝mv2r＝mrω2＝m4π2rT2＝man(2)解决力与运动关系的思想还是动力学思想，解决力与运动的关系的桥梁还是牛顿第二定律．①卫星的an、v、ω、T是相互联系的，其中一个量发生变化，其他各量也随之发生变化．②an、v、ω、T均与卫星的质量无关，只由轨道半径r和中心天体质量共同决定．(3)要熟记经常用到的常数，如地球自转一周为一天，绕太阳公转一周为一年，月球绕地球公转一周为一月(27.3天)等.考点三卫星的发射和变轨问题授课提示：对应学生用书第57页1．第一宇宙速度(环绕速度)v1＝7.9km/s，既是发射卫星的最小发射速度，也是卫星绕地球运行的最大环绕速度，还是绕地面附近环绕地球做匀速圆周运动时具有的速度．2．第二宇宙速度(脱离速度)v2＝11.2km/s，使卫星挣脱地球引力束缚的最小发射速度．3．第三宇宙速度(逃逸速度)v3＝16.7km/s，使卫星挣脱太阳引力束缚的最小发射速度．1．第一宇宙速度的两种计算方法(1)由GMmR2＝mv2R得v＝GMR.(2)由mg＝mv2R得v＝gR.2．卫星变轨的分析(1)变轨原因：当卫星由于某种原因速度突然改变时(开启或关闭发动机或空气阻力作用)，万有引力不再等于向心力，卫星将变轨运行．(2)变轨分析：卫星在圆轨道上稳定时，GMmr2＝mv2r＝mω2r＝m2πT2r.①当卫星的速度突然增大时，GMmr2＜mv2r，即万有引力不足以提供向心力，卫星将做离心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变大．当卫星进入新的轨道稳定运行时，由v＝GMr可知其运行速度比原轨道时减小，但重力势能、机械能均增加；②当卫星的速度突然减小时，GMmr2＞mv2r，即万有引力大于所需要的向心力，卫星将做近心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变小．当卫星进入新的轨道稳定运行时，由v＝GMr可知其运行速度比原轨道时增大，但重力势能、机械能均减小．1．(多选)(2015·高考广东卷)在星球表面发射探测器，当发射速度为v时，探测器可绕星球表面做匀速圆周运动；当发射速度达到2v时，可摆脱星球引力束缚脱离该星球．已知地球、火星两星球的质量比约为10∶1，半径比约为2∶1.下列说法正确的有()A．探测器的质量越大，脱离星球所需要的发射速度越大B．探测器在地球表面受到的引力比在火星表面的大C．探测器分别脱离两星球所需要的发射速度相等D．探测器脱离星球的过程中，势能逐渐增大解析：由GMmR2＝mv2R得，v＝GMR，2v＝2GMR，可知探测器脱离星球所需要的发射速度与探测器的质量无关，A项错误；由F＝GMmR2及地球、火星的质量、半径之比可知，探测器在地球表面受到的引力比在火星表面的大，B项正确；由2v＝2GMR可知，探测器脱离两星球所需的发射速度不同，C项错误；探测器在脱离两星球的过程中，引力做负功，引力势能增大，D项正确．答案：BD2.(多选)2013年12月2日，我国探月探测器“嫦娥三号”在西昌卫星发射中心成功发射升空，此飞行轨道示意图如图所示，地面发射后奔向月球，在P点从圆形轨道Ⅰ进入椭圆轨道Ⅱ，Q为轨道Ⅱ上的近月点．下列关于“嫦娥三号”的运动，正确的说法是()A．发射速度一定大于7.9km/sB．在轨道Ⅱ上从P到Q的过程中速率不断增大C．在轨道Ⅱ上经过P的速度小于在轨道Ⅰ上经过P的速度D．在轨道Ⅱ上经过P的加速度小于在轨道Ⅰ上经过P的加速度解析：“嫦娥三号”探测器的发射速度一定大于7.9km/s，A正确．在轨道Ⅱ上从P到Q的过程中速率不断增大，选项B正确．“嫦娥三号”从轨道Ⅰ上运动到轨道Ⅱ上要减速，故在轨道Ⅱ上经过P的速度小于在轨道Ⅰ上经过P的速度，选项C正确．在轨道Ⅱ上经过P的加速度等于在轨道Ⅰ上经过P的加速度，D错．答案：ABC3.(2016·成都石室中学二诊)如图所示，在同一轨道平面上的三个人造地球卫星A、B、C，在某一时刻恰好在同一条直线上．它们的轨道半径之比为1∶2∶3，质量相等，则下列说法中正确的是()A．三颗卫星的加速度之比为9∶4∶1B．三颗卫星具有机械能的大小关系为EA＜EB＜ECC．B卫星加速后可与A卫星相遇D．A卫星运动27周后，C卫星也恰回到原地点解析：根据万有引力提供向心力GMmr2＝ma，得a＝GMr2，故aA∶aB∶aC＝1rA2∶1rB2∶1rC2＝112∶122∶132＝36∶9∶4，故A错误；卫星发射的越高，需要克服地球引力做功越多，故机械能越大，故EA＜EB＜EC，故B正确；B卫星加速后做离心运