2018春中考数学《动点问题：圆中的动点》针对演练

1第二部分攻克题型得高分题型七几何图形动点问题类型一圆的动点问题1.如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，cosB＝45，点P为边BC上一动点，过点P作射线PE交BA的延长线于点D，使得∠BPD＝∠BAC，以点P为圆心，PC长为半径作⊙P交射线PD于点E，连接CE，设BD＝x，CE＝y.(1)当⊙P与AB相切时，求⊙P的半径；(2)当点D在BA的延长线上时，求y关于x的函数解析式，并写出它的自变量取值范围．第1题图2.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，CB＝6，点D在线段CB的延长线上，且BD＝2，点P从点D出发沿着DC向终点C以每秒1个单位的速度运动，同时点Q从点C出发沿着折线C－B－A往终点A以每秒2个单位的速度运动，以PQ为直径构造⊙O，设运动的时间为t(t≥0)秒．(1)当0≤t3时，用含t的代数式表示BQ的长度；(2)当点Q在线段CB上，求⊙O和线段AB相切时t的值．2第2题图3.如图，△ABC的边AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，已知AC＝6cm，BC＝8cm，点P、Q分别在边AB、BC上，且点P不与点A、B重合，BQ＝k·AP(k0)，连接PC、PQ.(1)求⊙O的半径长；(2)当k＝2时，设AP＝x，△CPQ的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量的取值范围；(3)如果△CPQ与△ABC相似，且∠ACB＝∠CPQ，求k的值．第3题图4.(2017烟台)如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC＝12cm，BD＝16cm，动点N从点D出发，沿线段DB以2cm/s的速度向点B运动，同时动点M从点B出发，沿线段BA以1cm/s的速度向点A运动，当其中一个动点停止运动时另一个动点也随之停止．设运动时间为t(s)(t0)，以点M为圆心，MB长为半径的⊙M与射线BA，线段BD分别交于点E，F，连接EN.(1)求BF的长(用含有t的代数式表示)，并求出t的取值范围；3(2)当t为何值时，线段EN与⊙M相切？(3)若⊙M与线段EN只有一个公共点，求t的取值范围．第4题图5.如图①所示，在正方形ABCD中，AB＝1，AC︵是以点B为圆心，AB长为半径的圆的一段弧，点E是边AD上的动点(点E与点A，D不重合)，过E作AC︵所在圆的切线，交边DC于点F，G为切点．(1)求证：EA＝EG；(2)设AE＝x，FC＝y，求y关于x的函数关系式，并直接写出x的取值范围；(3)如图②所示，将△DEF沿直线EF翻折后得△D1EF，连接AD1，D1D，当△AD1D与△ED1F相似时，求AEFC的值．第5题图答案1.解：(1)如解图，作PF⊥BD于点F，作AH⊥BC于点H，设⊙P的半径为r.4∵AB＝AC＝5，∴BH＝CH，∴在Rt△ABH中，∵cosB＝BHAB＝45，∴BH＝45×5＝4，∴AH＝3，BC＝2BH＝8，在Rt△ABH中，sinB＝35，在Rt△BPF中，sinB＝PFPB＝35，又∵PB＝BC－PC＝8－Y，∴PF＝35(8－r)，当⊙P与AB相切时，PF＝PC，即35(8－r)＝r，解得r＝3，即当⊙P与AB相切时，⊙P的半径为3.(2)∵∠BPD＝∠BAC，∠PBD＝∠ABC，∴△BDP∽△BCA，∴BPBA＝BDBC，即8－r5＝x8，∴r＝8－58x，作PG⊥CE于点G，如解图，则CG＝EG＝12y，5第1题解图∵PE＝PC，∴∠EPG＝∠GPC＝12∠EPC，∵△BDP∽△BCA，AB＝AC，∴PB＝PD，∴∠DPF＝12∠DPB，∴∠GPF＝12∠DPC＋12∠DPB＝90°，∴FP⊥PG，∴∠GPC＝∠B＝∠EPG，在Rt△PGC中，sin∠GPC＝CGPC＝sinB＝35，∴12y＝35r，∴12y＝35(8－58x)，∴y＝－34x＋485，当P点在C点时，r＝0，即8－58x＝0，解得x＝645，∴x的取值范围为5x645.62.解：(1)当0≤t3时点Q在BC上运动此时，BQ＝BC－CQ＝6－2t.(2)分两种情况讨论：①当P，Q还未相遇时，如解图①，⊙O与AB的切点为E.第2题解图①由题意得：CD＝8，CQ＝2t，DP＝t，QP＝CD－CQ－DP8－3t，OE＝12QP＝8－3t2，BP＝BC－CQ－PQ＝t－2，OB＝OP＋BP＝8－3t2＋t－2＝2－t2，∵⊙O与AB相切，∴OE⊥AB，∵sin∠ABC＝OEOB＝ACAB，∴8－3t24－t2＝45，解得t＝2411；②当P，Q相遇后，如解图②，⊙O与AB的切点为E，7第2题解图②由题意得：BQ＝6－2t，PQ＝BP－BQ＝(t－2)－(6－2t)＝3t－8，OE＝12QP＝3t－82，OB＝OQ＋BQ＝4－t2，∵⊙O与AB相切，∴OE⊥AB，∵sin∠ABC＝OEOB＝ACAB，∴3t－824－t2＝45，解得t＝5619.综上所述，满足条件的t值有t＝2411或5619.3.解：(1)∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵AC＝6，BC＝8，∴AB＝AC2＋BC2＝62＋82＝10，∴⊙O的半径为5；(2)如解图①，作PH⊥BC于H.第3题解图①∴PH∥AC，∴PHAC＝PBAB，∴PH6＝10－x10，∴PH＝35(10－x)，8又BQ＝KAP，k＝2∴BQ＝2x，∴CQ＝8－2x∴y＝12·CQ·PH＝12·(8－2x)·35(10－x)＝35x2－425x＋24(0x4)．(3)如解图②，第3题解图②∵△CPQ与△ABC相似，∠CPQ＝∠ACB＝90°，∠CQP∠B，∴只有∠PCB＝∠B，∴PC＝PB，∵∠B＋∠A＝90°，∠ACP＋∠PCB＝90°，∴∠A＝∠ACP，∴PA＝PC＝PB＝5，即点P与点O重合，又BQ＝k·AP，AP＝5∴BQ＝5k，CQ＝8－5k，∴△COQ∽△BCA，∴COBC＝CQBA，9∴58＝8－5k10，∴k＝720.4.解：(1)由题意可得：DN＝2t，BM＝t，BN＝16－2t，BE＝2t∵四边形ABCD是菱形，∴OB＝OD＝12BD＝8，OA＝OC＝12AC＝6，∴Rt△AOB中，AB＝62＋82＝10，如解图①，过点M作MQ⊥BD交BD于点Q，第4题解图①∵∠MQB＝90°＝∠AOB，∠MBQ＝∠ABO，∴△MQB∽△AOB，∴BQBO＝BMBA，即BQ8＝t10，∴BQ＝45t，∵点M为⊙M的圆心，MQ⊥BF，∴BF＝2BQ＝85t.又∵当N点与B点重合时，DN＝2t＝16，∴t＝8，即t的取值范围为0t8；10(2)当线段EN与⊙M相切时，则EN⊥BE，∠BEN＝90°，∵∠BEN＝∠AOB＝90°，∠EBN＝∠OBA，∴△BEN∽△BOA，∴BEBO＝BNBA即2t8＝16－2t10，解得t＝329，∴当t＝329时，EN与⊙M相切；(3)当0＜t≤329时，⊙M与线段EN只有一个公共点．第4题解图②如解图②，当点E在BA延长线上且EN⊥BD时，⊙M与线段EN此时有两个公共点，Rt△BNE中，BN＝BE·cos∠ABO＝2t×45＝85t.∵DN＝2t，∴85t＋2t＝16，∴t＝409.当t＞409时，EN在⊙M内部，此时⊙M与EN只有一个公共点，又∵2t＜16t＜10，∴t＜8，11∴409＜t＜8，∴当0＜t≤329或409＜t＜8时，⊙M与线段EN只有一个公共点．5.(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝∠ADC＝90°，AD＝CD＝AB＝1，∴AD⊥BA，∴AD是圆B的切线，∵EG是圆B的切线，∴EA＝EG；(2)解：由(1)知EA＝EG，同理FG＝FC.∵AE＝x，FC＝y∴EF＝x＋y，DE＝1－x，DF＝1－y，在Rt△DEF中，根据勾股定理，得(x＋y)2＝(1－x)2＋(1－y)2，∴y＝1－x1＋x(0x1)；(3)解：由翻折性质及题意知，第4题解图当△AD1D∽△ED1F时，∠D1AD＝∠D1EF，12∴∠ED1G＋∠D1EG＝∠D1AD＋∠EDD1＝90°，∴四边形ED1FD为矩形．又∵ED1＝ED，∴四边形ED1FD为正方形．∴∠EDD1＝∠D1AD＝45°.∴D1在AD垂直平分线上，此时AE＝ED＝12，D1E⊥AD，由翻折性质可知D1E＝ED＝12，∴EG＝GF＝12DD1＝12×22＝24，由(1)知：AE＝EG，GF＝CF.∴AEFC＝EGGF＝1.