13第13章--数学建模案例

322第13章数学建模案例13.1空中多目标威胁程度判别13.1.1题目空袭与反空袭已成为现代战争的主要作战样式之一，现代战争中空袭手段和武器装备发生了质的飞跃，反空袭作战环境复杂，敌方来袭目标可能分布在高空、中空、低空等不同空域，且目标类型多种多样，包括轰炸机、强击机等大型目标，战术弹道导弹、空地导弹、隐身飞机等小型目标，以及容易辨识的直升机目标。它们将对陆战、海战战场构成巨大威胁．针对这些情况，建立完善空中多目标威胁程度判别体系是防空作战成功的关键因素。因此，在反空袭作战中，及时准确的计算出敌方目标威胁大小，并根据我方作战方案和武器系统性能，进行科学的火力分配，是提高反空袭作战制胜能力的关键。假设某次反空袭综合演习中，红方战略要地A点受到蓝方（敌方）空袭，通过各类侦察设备和战场传感器探测到20批蓝方空袭目标的属性信息，具体数据见表13.1。为保证红方在反空袭综合演练中取得胜利，请建立数学模型解决以下问题。问题1：对来袭目标的属性与威胁程度之间的关系进行评价。问题2：建立判别来袭目标威胁程度的数学模型，并按照威胁程度由高到低对来袭目标进行排序。问题3：如果在红方战略要地A点正北方80千米处有一个物资要地B点，在空袭中需要红方重点保护，A点装备的战略防空武器的相关数据见表13.2。已知20批蓝方空袭目标的航向在一定时间内始终为正西方，请根据来袭目标对A、B点的威胁程度，设计一种最佳打击方案，并对该方案的实施效果进行评价。表13.1蓝方空袭目标的属性信息序号目标类型目标方位角（°）目标距离(km)目标速度（m/s）目标高度（m）目标干扰能力1大1031205008000强2大110408004500中3大821807504000中4大401206207500强5大89604707800中6大702107704200强7小7916010201200强8小852009801000中9小5011211003500中10小90150960900强11小1081258503800强12小6518010803500中13小6512011401000强14小802201160200强15小115901090300中16小952609701200中32317直升机6259951300无18直升机745385200无19直升机1075680300弱20直升机801001101000无目标方位角是从战略要地A点指北方向线起，以顺时针方向到来袭目标方向线之间的水平夹角。表13.2防空武器数据防空武器类型射程（km）发射时间间隔（s）毁伤目标概率弹头数量X型50150.610Y型100200.858Z型200250.8713.1.2论文选编11.摘要近些年，精确制导武器迅猛发展，各国均努力抢占空间作战制高点，各型导弹、临近空间飞行器、高超声速飞行器等新型武器层出不穷。在未来作战中，空中威胁将是各国重点应对的方向。“矛”越来越强，需要自家的“盾”能与之抗衡。因此，防空系统的建立显得尤为重要。防空系统布设需重点考虑火力分配问题，而其前提是能够对来袭目标威胁情况进行量化，为火力分配提供参考。本文首先对目标6个单属性与威胁程度之间的关系进行分析，并确定了模糊隶属函数；经分析，某单属性若量值越不确定，越应该重点关注，故选用熵权法确定各属性权重，并利用模糊综合评价法得到来袭目标的威胁度；最后，基于问题一和问题二的求解过程，求解得出目标相对A、B点的威胁程度，建立火力分配模型，得出火力分配方案。具体解决了以下问题：（1）来袭目标属性既有定性描述，又有定量描述，从不同方面反映了目标的威胁程度，飞行速度直接影响防空武器对其杀伤的概率，目标飞行速度越大，我方进行射击准备和实施的时间越短，目标威胁程度就越大；对于同一目标类型，降低目标飞行高度能使作战目标被发现的概率明显减少，突防概率增大。因此目标威胁程度越大；依据空袭原理，对于同一目标类型，目标相对打击点的距离越小，毁伤概率越大，故目标威胁程度越大；目标类型、抗干扰能力属于定性描述，处理时根据模糊理论，给出模糊威胁度；问题一中方位角对A点威胁度没有贡献，此处将其设定为1，但在问题三中需结合方位角进行综合考虑。为量化不同因素，方便求取综合威胁度，采用连续平滑函数对各属性定性表示，并控制输出结果在0~1之间，保证各属性威胁程度满足归一化的要求。（2）在问题一基础上，客观分析了单一属性量值的特性，发现可采用熵值大小表征该属性重要性，进而得到了各属性的熵权值，通过模糊综合评价中的综合评估模型，得到20个来袭目标相对A点的威胁程度，并进行排序，对结果进行直观分析，符合预期，目标威胁度排序结果如下：目标4目标1目标6目标2目标5目标13目标3目标11目标10目标7目标14目标15目标9目标12目标8目标16目标19目标17目标18目标20。（3）通过几何关系，确定B点的属性矩阵，利用问题二思路求解得到目标相对B点的威胁度，综合考虑A、B两点情况，得到综合威胁度，确定火力分配模型，给出了算法实现步骤，并给出了火力分配方案。324本文细致分析了不同属性对目标威胁度的贡献，并建立了威胁度评价模型和火力分配模型，针对具体情况，设计了火力分配方案。因本文数据较少，模型优化求解时直接使用LINGO软件，仍可实时获取火力分配方案。可以考虑采用智能优化算法，如遗传、免疫算法等，优化火力分配方案求解过程，并将其推广。关键词：模糊隶属；函数熵权法；火力分配模型；优化模型；威胁评估2.问题重述（1）问题背景介绍空袭与反空袭已成为现代战争的主要作战样式之一，现代战争中空袭手段和武器装备发生了质的飞跃，反空袭作战环境复杂，敌方来袭目标可能分布在高空、中空、低空等不同空域，且目标类型多种多样，包括轰炸机、强击机等大型目标，战术弹道导弹、空地导弹、隐身飞机等小型目标，以及容易辨识的直升机目标。它们将对陆战、海战战场构成巨大威胁。针对这些情况，建立完善空中多目标威胁程度判别体系是防空作战成功的关键因素。因此，在反空袭作战中，及时准确的计算出敌方目标威胁大小，并根据我方作战方案和武器系统性能，进行科学的火力分配，是提高反空袭作战制胜能力的关键。假设某次反空袭综合演习中，红方战略要地A点受到蓝方（敌方）空袭，通过各类侦察设备和战场传感器探测到20批蓝方空袭目标的属性信息。为保证红方在反空袭综合演练中取得胜利，建立数学模型解决以下问题。问题1：对来袭目标的属性与威胁程度之间的关系进行评价。问题2：建立判别来袭目标威胁程度的数学模型，并按照威胁程度由高到低对来袭目标进行排序。问题3：如果在红方战略要地A点正北方80千米处有一个物资要地B点，在空袭中需要红方重点保护，A点装备的战略防空武器的相关数据见附件。已知20批蓝方空袭目标的航向在一定时间内始终为正西方，请根据来袭目标对A、B点的威胁程度，设计一种最佳打击方案，并对该方案的实施效果进行评价。（2）问题提炼图13.1威胁度评估及火力分配流程图325（3）需要解决的问题问题一：来袭目标类型多种多样，例如弹道导弹、巡航导弹、轰炸机、直升机等等，不同类型目标之间属性各异，主要体现在目标距离、高度、移动速度、来袭方向、干扰能力等方面，而来袭目标威胁度与之息息相关。针对单一属性，寻求其与目标威胁度的关系函数是本题主要意图，即图13.1流程图中蓝色方框内容。在建立各因素目标威胁计算的数学表达式时，为保证数学表达式的通用性和模型使用方便，计划采用连续平滑函数进行描述。同时需保证各因素的目标威胁计算表达式能适应不同类型的目标，并且控制单一属性威胁计算结果在0到1之间，以保证各因素计算出的威胁程度满足归一化的要求，以方便综合所有因素的计算结果，即问题二的要求。问题二：来袭目标属性多样，其威胁度应是对各属性威胁程度的合理综合，因此寻求恰当的综合评估模型，将6类属性因素统一纳入考虑，建立判别来袭目标威胁程度的数学模型，是本题重点，也是为后续火力单元分配提供参考的重要一环。利用问题一得到的单一属性威胁程度量化结果，包括目标类型、方位角、距离、速度、高度、抗干扰能力等6个方面。不同属性对目标威胁度贡献量不同，因此，本题是典型的多准则决策问题，考虑采用加权求和的方法将目标各因素的威胁度分别乘以各自的加权系数后再求和，即得到目标相对于某阵地的威胁度，即图13.1中红色方框内容。目前，常用的权值计算方法有TOPSIS、信息熵、专家法、AHP法等。在问题一基础上，计划采用熵权法确定各属性权重，再通过模糊综合评判的方式进行目标威胁度评估，进而可以按照威胁程度由高到低对来袭目标进行排序。问题三：根据问题二威胁度评估模型可确定各目标对A点在某时刻的威胁度，问题三需将重点保护的B点及A点火力单元特性综合考虑，确定如何适时、最优地将各火力单元分配给目标，或者说，将目标分配给火力单元。经研究，因目标在一定时间内向西飞行，火力单元存在打击范围和时间间隔属性，本题需首先确定火力单元在某时刻的可攻击火力圈，对火力圈内的目标威胁进行重新评估，而后，确定火力单元的攻击有利度，将其与可攻击目标的威胁度进行综合考虑，确定火力分配。3.问题分析目标威胁度评价问题，首先需对各个属性对威胁度的关系进行分析，确定模糊隶属函数，量化各属性指标，方便建立威胁度评价模型。建立威胁度评价模型，主要任务是找到合适的权重计算方法，考虑应根据较小样本数据的“信息量”，即熵值，关联起各个属性，通过熵反映不同属性对威胁度的贡献，从而可以确定目标威胁度。根据目标威胁度和火力单元特点，可建立火力分配模型，针对具体情况给出火力分配模型。4.模型假设（1）20批蓝方空袭目标的航向在一定时间内始终为正西方；（2）开炮即完成打击任务，不考虑弹头飞行时间；（3）一个目标只分配一个火力单元，一个火力单元只对准一个目标；（4）各型防空武器的毁伤概率不随距目标距离发生变化；（5）各型防空武器可攻击范围为：以正北向初始的180°范围内。5.符号说明ija属性矩阵元素；ijb属性矩阵元素；326i来袭目标方位角；iTA目标对A点威胁度；iTB目标对B点威胁度；iT目标综合威胁度；A点重要性系数；kp火力单元发射时间间隔；kd火力单位射程；kt火力单元发射时间间隔；kn火力分配时刻可用k型单元弹头数量；N火力分配时刻打击范围内目标数；id目标距A点距离；kmk型弹头总数。6.模型建立与求解首先建立坐标系，针对问题一、二，以A点为坐标原点，正东向为x轴，正北向为y轴，由,xy轴和右手系确定z轴方向，A点、B点及20个来袭目标在坐标系中位置如图13.2所示。图13.2坐标系及目标所处位置画图的MATLAB程序如下：clc,clear,a=load('gdata13_1_1.txt');b=a(:,1);d1=a(:,2);%提出方位角和距离v=a(:,3);h=a(:,4);%提出速度和高度d2=sqrt(d1.^2-(h/1000).^2);%计算水平距离x=d2.*sind(b);y=d2.*cosd(b);%计算目标点的坐标c=[6,10,4];%各类别目标的数量cc=cumsum([0,c]),str={'Pr','.k','sb'};plot3([0,0],[0,80],[0,0],'H','MarkerSize',8)%画要地A，B两点text([0,0],[0,80],[0,0],{'A','B'})%标注要地A，Bholdonfork=1:3327plot3(x(cc(k)+1:cc(k+1)),y(cc(k)+1:cc(k+1)),h(cc(k)+1:cc(k+1)),str{k},'MarkerSize',12)endtext(x+5,y-5,h,int2str([1:20]'))%标注20个目标点fori=1:20plot3([0,x(i)],[0,y(i)],[0,h(i)])%画A点到20个目标点的线段endlegend('要地','大目标','小目标','直升机')xlabel('$x$','Interpreter','latex')ylabel('