高中数学立体几何专题：空间距离的各种计算(含答案)

高中数学立体几何空间距离1.两条异面直线间的距离和两条异面直线分别垂直相交的直线，叫做这两条异面直线的公垂线；两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离.2.点到平面的距离从平面外一点引一个平面的垂线，这点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离.3.直线与平面的距离如果一条直线和一个平面平行，那么直线上各点到这平面的距离相等，且这条直线上任意一点到平面的距离叫做这条直线和平面的距离.4.两平行平面间的距离和两个平行平面同时垂直的直线，叫做这两平行平面的公垂线，它夹在两个平行平面间的公垂线段的长叫做这两个平行平面的距离.题型一：两条异面直线间的距离【例1】如图，在空间四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA=AC=BD=a，E、F分别是AB、CD的中点.(1)求证：EF是AB和CD的公垂线；(2)求AB和CD间的距离；【规范解答】(1)证明：连结AF，BF，由已知可得AF=BF.又因为AE=BE，所以FE⊥AB交AB于E.同理EF⊥DC交DC于点F.所以EF是AB和CD的公垂线.(2)在Rt△BEF中，BF=a23,BE=a21,所以EF2=BF2-BE2=a212，即EF=a22.由(1)知EF是AB、CD的公垂线段，所以AB和CD间的距离为a22.【例2】如图,正四面体ABCD的棱长为1，求异面直线AB、CD之间的距离.设AB中点为E，连CE、ED.∵AC=BC,AE=EB.∴CD⊥AB.同理DE⊥AB.∴AB⊥平面CED.设CD的中点为F,连EF，则AB⊥EF.同理可证CD⊥EF.∴EF是异面直线AB、CD的距离.∵CE=23,∴CF=FD=21,∠EFC=90°,EF=22212322.∴AB、CD的距离是22.【解后归纳】求两条异面直线之间的距离的基本方法：（1）利用图形性质找出两条异面直线的公垂线，求出公垂线段的长度.（2）如果两条异面直线中的一条直线与过另一条直线的平面平行，可以转化为求直线与平面的距离.（3）如果两条异面直线分别在两个互相平行的平面内，可以转化为求两平行平面的距离.题型二：两条异面直线间的距离【例3】如图(1),正四面体ABCD的棱长为1，求：A到平面BCD的距离；过A作AO⊥平面BCD于O，连BO并延长与CD相交于E，连AE.∵AB=AC=AD,∴OB=OC=OD.∴O是△BCD的外心.又BD＝BC＝CD，∴O是△BCD的中心，∴BO=32BE=332332.例1题图例2题图例3题图又AB＝1，且∠AOB=90°,∴AO=36331222BOAB.∴A到平面BCD的距离是36.【例4】在梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=2,AB=a,AD=3a且sin∠ADC=55,又PA⊥平面ABCD,PA=a,求：(1)二面角P—CD—A的大小;(2)点A到平面PBC的距离.【规范解答】(1)作AF⊥DC于F,连结PF,∵AP⊥平面ABCD,AF⊥DC,∴PF⊥DC,∴∠PFA就是二面角P—CD—A的平面角.在△ADF中,∠AFD=90°,∠ADF=arcsin55,AD=3a,∴AF=53a,在Rt△PAF中tan∠PFA=3535aaAFPA,∴∠PFA=arctan35.(2)∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥BC,又BC⊥AB,∴BC⊥平面PAB,作AH⊥PB,则BC⊥AH,∴AH⊥平面PBC,∵PA⊥AB,PA=AB=a,∴PB=2a,∴AH=a22.【例5】如图，所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截面而得到的，其中AB=4，BC=2，CC1=3，BE=1.（Ⅰ）求BF的长；（Ⅱ）求点C到平面AEC1F的距离.解法1：（Ⅰ）过E作EH//BC交CC1于H，则CH=BE=1，EH//AD，且EH=AD.∵AF∥EC1，∴∠FAD=∠C1EH.∴Rt△ADF≌Rt△EHC1.∴DF=C1H=2..6222DFBDBF（Ⅱ）延长C1E与CB交于G，连AG，则平面AEC1F与平面ABCD相交于AG.过C作CM⊥AG，垂足为M，连C1M，由三垂线定理可知AG⊥C1M.由于AG⊥面C1MC，且AG面AEC1F，所以平面AEC1F⊥面C1MC.在Rt△C1CM中，作CQ⊥MC1，垂足为Q，则CQ的长即为C到面AEC1F的距离..113341712317123,17121743cos3cos3,.17,1,2211221MCCCCMCQGABMCGCMMCGGABBGABAGBGCGBGCCEB知由从而可得由解法2：（I）建立如图所示的空间直角坐标系，则D（0，0，0），B（2，4，0），A（2，0，0），C（0，4，0），E（2，4，1），C1（0，4，3）.设F（0，0，z）.∵AEC1F为平行四边形，.62,62||).2,4,2().2,0,0(.2),2,0,2(),0,2(,,11的长为即于是得由为平行四边形由BFBFEFFzzECAFFAEC（II）设1n为面AEC1F的法向量，)1,,(,11yxnADFn故可设不垂直于平面显然BACD1A1B1CD1C1B1A1EDCBAHD1C1B1A1EDCBA02020140,0,011yxyxAFnAEn得由.41,1,022,014yxxy即111),3,0,0(nCCCC与设又的夹角为a，则1111433cos.33||||CCnCCn∴C到平面AEC1F的距离为.11334333343cos||1CCd【例6】正三棱柱111CBAABC的底面边长为8，对角线101CB，D是AC的中点。（1）求点1B到直线AC的距离.（2）求直线1AB到平面BDC1的距离．解：（1）连结BD，DB1，由三垂线定理可得：ACDB1，所以DB1就是1B点到直线AC的距离。在BDBRt1中,6810222211BCCBBB34BD．2122121BBBDDB．（2）因为AC与平面BD1C交于ＡＣ的中点Ｄ，设EBCCB11，则1AB//DE，所以1AB//平面BDC1，所以1AB到平面BD1C的距离等于Ａ点到平面BD1C的距离，等于Ｃ点到平面BD1C的距离，也就等于三棱锥1BDCC的高，BDCCBDCCVV11，131311CCShSBDCBDC，131312h，即直线1AB到平面BD1C的距离是131312．【解后归纳】求空间距离注意三点：1．常规遵循一作二证三计算的步骤；2．多用转化的思想求线面和面面距离；3．体积法是一种很好的求空间距离的方法．【范例4】如图，在长方体AC1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动.（1）证明：D1E⊥A1D；（2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离；（3）AE等于何值时，二面角D1—EC—D的大小为4.解析：法1（1）∵AE⊥面AA1DD1，A1D⊥AD1，∴A1D⊥D1E（2）设点E到面ACD1的距离为h，在△ACD1中，AC=CD1=5，AD1=2，故.2121,232152211BCAESSACECAD而11111131,1,.33223DAECAECADCVSDDShhh（3）过D作DH⊥CE于H，连D1H、DE，则D1H⊥CE，∴∠DHD1为二面角D1—EC—D的平面角.设AE=x，则BE=2－x112,,1.4,1,,,RtDDHDHDDHRtADEDExRtDHEEHx在中在中在中D1C1B1A1EDCBAoxzy.4,32.32543.54,3122的大小为二面角时中在中在DECDAExxxxxxCECBERtCHDHCRt法2：以D为坐标原点，直线DA、DC、DD1分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，设AE=x，则A1(1，0，1)，D1(0，0，1)，E(1，x，0)，A(1，0，0),C(0，2，0).（1）.,0)1,,1(),1,0,1(,1111EDDAxEDDA所以因为（2）因为E为AB的中点，则E（1，1，0），从而)0,2,1(),1,1,1(1ACED，)1,0,1(1AD，设平面ACD1的法向量为),,(cban，则,0,01ADnACn也即002caba，得caba2，从而)2,1,2(n，所以点E到平面AD1C的距离为.313212||||1nnEDh（3）设平面D1EC的法向量),,(cban，∴),1,0,0(),1,2,0(),0,2,1(11DDCDxCE由.0)2(02,0,01xbacbCEnCDn令b=1,∴c=2,a=2－x，∴).2,1,2(xn依题意.225)2(222||||||4cos211xDDnDDn∴321x（不合，舍去），322x.∴AE=32时，二面角D1—EC—D的大小为4.●对应训练分阶提升一、基础夯实1.把边长为a的正△ABC沿高线AD折成60°的二面角，则点A到BC的距离是()A.aB.a26C.a33D.a4152.△ABC中，AB=9，AC=15，∠BAC=120°.△ABC所在平面外一点P到三个顶点A、B、C的距离都是14，那么点P到平面α的距离为()A.7B.9C.11D.133.从平面α外一点P向α引两条斜线PA,PB.A,B为斜足,它们与α所成角的差是45°,它们在α内的射影长分别是2cm和12cm,则P到α的距离是()A.4cmB.3cm或4cmC.6cmD.4cm或6cm4.空间四点A、B、C、D中，每两点所连线段的长都等于a，动点P在线段AB上，动点Q在线段CD上，则P与Q的最短距离为()A.a21B.a22C.a23D.a5.在四面体P—ABC中，PA、PB、PC两两垂直.M是面ABC内一点，且点M到三个面PAB、PBC、PCA的距离分别为2、3、6，则点M到顶点P的距离是()A.7B.8C.9D.106.如图，将锐角为60°，边长为a的菱形ABCD沿较短的对角线折成60°的二面角，则AC与BD的距离是()A.a43B.a43C.a23D.a467.如图，四棱锥P—ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD，PD=AD＝1，设点C到平面PAB的距离为d1，点B到平面PAC的距离为d2，则有()A.1d1d2B.d1d21C.d11d2D.d2d118.如图所示，在平面α的同侧有三点A、B、C，△ABC的重心为G.如果A、B、C、G到平面α的距离分别为a、b、c、d，那么a+b+c等于()A.2dB.3dC.4dD.以上都不对9.如图，菱形ABCD边长为a，∠A=60°，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的点且2DGCGFBCFHDAHEBAE，沿EH和FG把菱形的两锐角折起，使A、C重合，这时点A到平面EFGH的距离是()A.2aB.a22C.a23D.a615二、思维激活10.二面角α-MN-β等于60°，平面α内一点A到平面β的距离AB的长为4，则点B到α的距离为.11.在60°的二面角α—l—β中，A∈α,AC⊥l于C，B∈β，BD⊥l于D，又AC=BD=a,CD=2a，则A、B两点间距离为.12.设平面α外两点A和B到平面α的距离分别为4cm和1cm，AB与平面α所成的角是60°，则线段AB的长是.13.在直角坐标系中,已知A(3,2),B(-3,-2)沿y轴把直角坐标系折成平面角为α的二面角A—Oy—B后,∠AOB=90°，则cosα的值是.三、能力提高14.在边长为a的菱形ABCD中，∠ABC=60°，PC⊥平面ABC