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第一讲三角形内角和与外角和规律方法指导1．三角形内角和为180°，三角形三个外角的和是360°,这是在做题时题设不用加以说明的已知条件；在三个角中已知其中两个角的度数便能求第三个角的大小.2．在一个三角形中最多只能有一个钝角或者一个直角，最少有两个锐角.3．三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度数及有关的推理论证时经常使用的理论依据．外角的性质应用：①证明一个角等于另两个角的和；②作为中间关系式证明两角相等；③证明角的不等关系.4．利用作辅助线求解问题，会使问题变得简便.经典例题透析类型一：三角形内角和定理的应用1．已知一个三角形三个内角度数的比是1：5：6，则其最大内角的度数为（）A．60°B．75°C．90°D．120°举一反三：【变式1】在△ABC中，∠A=55°，∠B比∠C大25°，则∠B的度数为（）A．50°B．75°C．100°D．125°【变式2】三角形中至少有一个角不小于________度。类型二：利用三角形外角性质证明角不等2．如图所示，已知CE是△ABC外角∠ACD的平分线，CE交BA延长线于点E。求证：∠BAC＞∠B。举一反三：【变式】如图所示，用“＜”把∠1、∠2、∠A联系起来________。类型三：三角形内角和定理与外角性质的综合应用3．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数.举一反三：【变式】如图所示，五角星ABCDE中，试说明∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°。类型四：与角平分线相关的综合问题4．如图9，△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点Ｄ．（1）若∠ABC＝70°，∠ACB＝50°，则∠BDC＝________；（2）若∠ABC＋∠ACB＝120°，则∠BDC＝________；（3）若∠A＝60°，则∠BDC＝________；（4）若∠A＝100°，则∠BDC＝________；（5）若∠A＝n°，则∠BDC＝________．举一反三：【变式1】如图10，BE是∠ABD的平分线，CF是∠ACD的平分线，BE与CF交于G，若∠BDC=140°，∠BGC=110°，求∠A的大小.【变式2】如图11,△ABC的两个外角的平分线相交于点D，如果∠A＝50°，求∠D.【变式3】如图12，在△ABC中，AE是角平分线，且∠B=52°，∠C=78°，则∠AEB的度数是_____.【变式4】（2009北京四中期末）如图所示，△ABC的外角∠CBD、∠BCE的平分线相交于点F，若∠A=68°，求∠F的度数。56类型五：与高线相关的综合问题5．如图13，△ABC中，∠A=40°，∠B=72°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE，求∠FCD的度数.举一反三：【变式1】如图14，△ABC中，∠B＝34°，∠ACB＝104°，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，求∠DAE的度数．【变式2】如图15,△ABC中，三条高AD、BE、CF相交于点O．若∠BAC＝60°，求∠BOC的度数．【变式3】如图16，在△ABC，AD是高线，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠BAC=50°，∠C=70°，求∠DAC和∠BOA的度数.类型六：与平行线相关的综合问题6．已知：如图17,AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，∠BEF的平分线与∠DFE平分线相交于点P，求证：∠P=90°.举一反三：【变式1】如图18，AB∥CD，∠A＝96°，∠B＝∠BCA，则∠BCD＝________.【变式2】如图19，AB∥CD，∠B=72°，∠D=37°，求∠F的度数.【变式3】如图20，△ABC中，AD是角平分线，∠B=45°，∠C=63°，DE∥AC，求∠ADE.类型七：用三角形角的关系解决实际问题7．一种工件如图21所示，它要求∠BDC等于140°，小明通过测量得∠A＝90°，∠B＝22°，∠C＝26°后就下结论说此工件不合格，这是为什么呢？举一反三：【变式】某工程队准备开挖一条隧道，为了缩短工期，必须在山的两侧同时开挖，为了确保两侧开挖的隧道在同一条直线上，测量人员在如下图的同一高度定出了两个开挖点Ｐ和Ｑ，然后在左边定出开挖的方向线ＡＰ，为了准确定出右边开挖的方向线ＢＱ，测量人员取一个在点Ａ、Ｐ、Ｑ可以同时看到的点Ｏ，测得∠Ａ＝25°，∠AOC＝100°，那么∠QBO应等于多少度才能确保ＢＱ与ＡＰ在同一条直线上？第2讲认识多边形经典·考题·赏析【例１】如图所示是一个六边形.(1)从顶点A出发画这个多边形的所有对角线，这样的对角线有几条？它们将六边形分成几个三角形？(2)画出此六边形的所有对角线，数一数共有几条？A【解法指导】本题主要考查多边形对角线的定义，对于n边形，从n边形的一个顶点出发，可引(n－3)条对角线，它们将这n边形分成(n－2)个三角形，n边形一共有(3)2nn条对角线，【变式题组】01．下列图形中，凸多边形有()A．1个B．2个C．3个D．4个02．过m边形的一个顶点有7条对角线，n边形没有对角线，k边形对角线条数等于边数，则m＝______，n＝______，k＝________.03．已知多边形的边数恰好是从这个多边形的一个顶点出发的对角线条数的2倍，则此多边形的边数是.【例２】(1)八边形的内角和是多少度？(2)几边形的内角和是八边形内角和的2倍？【变式题组】01．已知n边形的内角和为21600，求n边形的边数.02．如果一个正多边的一个内角是1080，则这个多边形是（）A．正方形B．正五边形C．正六边形D．正七边形03．已知一个多边形的内角和为10800，则这个多边形的边数是（）A．8B．7C．6D．504．如图，∠1、∠2、∠3、∠4是五边形ABCDE的外角，且∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝700，则∠AED的度数为（）A．1100B．1080C．1050D．10005.当多边形的边数增加1时，它的内角和与外角和（）A．都不变B．内角和增加1800，外角和不变C．内角和增加1800，外角和减少1800D．都增加1800【例３】一只蚂蚁从点A出发，每爬行5cm便左转600，则这只蚂蚁需要爬行多少路程才能回到点A？解：蚂蚁爬行的路程构成一个正多边形，其路程就是这个正多边形的周长，根据已知可得这个正多边形的每个外角均为600，则这个多边形的边数为0036060＝6.所以这只蚂蚁需要爬行5×6＝30(cm)才能回到点A．【解法指导】多边形的外角和为3600.(1)多边形的外角和恒等于3600，它与边数的多少无关.(2)多边形的外角和的推导方法：由于多边形的每个内角与它相邻的外角是邻补角，所以n边形内角和加外角和等于1800·n，外角和等于n·1800－(n－2)·1800＝3600.(3)多边的外角和为什么等于3600，还可以这样理解：从多边形的一个顶点A出发，沿多边形的各边走过各顶点，再回到点A，然后转向出发点时的方向，在行程中所转的各个角的和就是多边形的外角和，由于走了一周，所转的各个角的和等于一个周角，所以多边形的外角和等于3600.(4)多边形的外角和为3600的作用：①已知各相等外角度数求多边形边数；②已知多边形边数，求各相等外角的度数.【变式题组】01．（无锡）八边形的内角和为_____.度.02．（永州）如图所示，已知△ABC中，∠A＝400，剪去∠A后成四边形，则∠1+∠2＝_____03．（资阳）n(n为整数，且n≥3)边形的内角和比（n+1）边形的内角和少____度.04．（株洲）如图所示，小明在操场上从点A出发，沿直线前进10米后向左转400，再沿直线前进10米后，又向左转400，……，照这样下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了_____米.【例４】已知两个多边形的内角和为18000，且两多边形的边数之比为2:5，求这两个多边形的边数.【变式题组】01．一个多边形除去一个角后，其余各内角的和为22100，这个多边形是___________02．若一个多边形的外角和是其内角和的25，则此多边形的边数为_____03．每一个内角都相等的多边形，它的一个外角等于一个内角的23，则这个多边形是（）A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形04．内角和与其外角和相等的多边形是___________选择题1.如果三角形的三个内角的度数比是1：3：5，则它是（）.A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.钝角或直角三角形2.如图，AB∥CD，∠1=110°，∠ECD=70°，∠E的大小是（）.A.30°B.40°C.50°D.60°（第2题）（第3题）3.李明同学把一块三角形的玻璃打碎成了如图所示的三块，现在要到玻璃商店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（）.A.带①去B.带②去C.带③去D.带①和②去4.已知三角形的一个内角是另一个内角的，是第三个内角的，则这个三角形各内角的度数分别为（）.A.60°，90°，75°B.35°，40°，105°C.48°，32°，38°D.40°，50°，90°5.已知三角形两个内角的差等于第三个内角，则它是（）.A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等边三角形6.设∠1，∠2，∠3是某三角形的三个内角，则∠1+∠2，∠2+∠3，∠3+∠1中（）.A.有两个锐角、一个钝角B.有两个钝角、一个锐角C.至少有两个钝角D.三个都可能是锐角7.已知等腰三角形的一个外角是120°，则它是（）.A.等腰直角三角形B.一般的等腰三角形C.等边三角形D.等腰钝角三角形8.如图所示，若∠A=32°，∠B=45°，∠C=38°，则∠DFE等于（）.A.120°B.115°C.110°D.105°9.如图所示,在△ABC中，E、F分别在AB、AC上，则下列各式不能成立的是（）.A.∠BDC=∠2+∠6+∠AB.∠2=∠5－∠AC.∠5=∠1+∠4D.∠1=∠ABC+∠4（第8题）（第9题）（第10题）10.如图所示，在△ABC中，∠B=∠C，∠BAD=40°，若∠1=∠2，则∠EDC的度数为（）A.40°B.30°C.20°D.10°11.（2010云南楚雄）已知等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数是（）A．55°，55°B．70°，40°C．55°，55°或70°，40°D．以上都不对12.（2010安徽）如图，直线∥，∠1=55°，∠2=65°，则∠3为：（）A．50°B．55°C．60°D．65°填空题13.三角形中，若最大内角等于最小内角的2倍，最大内角又比另一个内角大20°，则此三角形的最小内角的度数是________.14.在△ABC中，若∠A+∠B=∠C，则此三角形为_____三角形；若∠A+∠B＜∠C，则此三角形是_____三角形.15.如图所示，已知三角形一个内角为40°，则∠1+∠2+∠3+∠4=_________.16.在△ABC中，∠B、∠C的平分线交于点D，若∠BDC=155°，则∠A=______.17.如果一个三角形的各内角与一个外角的和是300°，则与这个外角相邻的内角度数是____.18.一个三角形三个外角之比为2︰3︰4，则这个三角形三个内角之比为_________.19.如图所示，∠ABC与∠ACB的内角平分线交于点O，∠ABC的内角平分线与∠ACB的外角平分线交于点D，∠ABC与∠ACB的相邻外角平分线交于点E，且∠A=60°，则∠BOC=______，∠D=______，∠E=_______.（第19题）（第20题）20.如图所示，∠A=50°，∠B=40°，∠C=30°，则∠BDC=________.21.如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=_________.（第21题）（第22题）22.如图，D是等腰三角形ABC的腰AC上一点，DE⊥BC于E，EF⊥AB于F，若∠ADE=158°，则∠DEF=_____.解答题23.如图所示，已知△ABC为直角三角形，∠B=90°，若沿图中虚线剪去∠B，求∠1+∠2的度数.（第23题）（第24题）24.已知，如图D是△ABC中BC边延长线上一点，DF⊥AB交AB于F，交AC于E，∠A＝46°，∠D＝50°．