高中数学-数列求前n项和方法汇总及练习(含答案)

高中数学-数列求和方法汇总及经典练习（含答案）一、公式法:利用以下公式求数列的和1.dnnnaaanSnn2)1(2)(11(na为等差数列)2.qqaaqqaSnnn11)1(11(1q)或)1(1qnaSn(na为等比数列)3.6)12)(1(3212222nnnn4.23333]2)1([321nnn等公式例已知数列na，其中12111,3,22nnnaaaaan，记数列na的前n项和为nS，数列lnnS的前n项和为nU，求nU。解：由题意，na是首项为1，公差为2的等差数列前n项和211212nnSnn，2lnln2lnnSnn2ln1ln2ln2ln!nUnn二、分组求和法对于数列na，若nnnCba且数列nb、nc……都能求出其前n项的和，则在求na前n项和时，可采用该法例如：求和：999.09999.0999.099.09.0个nSn解：设nnna10199.09个naaaaaSn4321)101()101()101()101()101(4321n)1010101010()111(43211nn相加个)101(91nn三、倒序相加法（或倒序相乘法）将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个)(1naa，Sn表示从第一项依次到第n项的和，然后又将Sn表示成第n项依次反序到第一项的和，将所得两式相加，由此得到Sn的一种求和方法。1．倒序相加法例设221)(xxf，利用课本中推导等差数列的前n项和的公式的方法，可求得)6()5()0()4()5(fffff的值为：。解：因为f（x）=221x，∴f（1－x）=xxxxx2222122222211∴f（x）+f（1－x）=222122)22(2122221122221221xxxxxxx.设S=f（－5）+f（－4）+…+f（6），则S=f（6）+f（5）+…+f（－5）∴2S=（f（6）+f（－5））+（f（5）+f（－4））+…+（f（－5）+…f（6））=62∴S=f（－5）+f（－4）+…+f（0）+…+f（6）=32.2．倒序相乘法例如：已知a、b为两个不相等的正数，在a、b之间插入n个正数，使它们构成以a为首项，b为末项的等比数列，求插入的这n个正数的积np解：设插入的这n个正数为1a、2a、3a、……na且数列a、1a、2a、3a、……na、b成等比数列则121nnaaaaabnnaaaap321……①又121aaaapnnnn……②由①②得21211()()()()nnnnnpaaaaaaab2)(nnabp四、错位相减法对于数列na，若nnncba且数列nb、nc分别是等差数列、等比数列时，求该数列na前n项和时，可用该方法。一般在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比q，然后再将得到的新和式和原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和，就是错位相减法。例已知数列na：nnna3)12(，求数列na前n项和Sn解：nnnnSn3)12(3]1)1(2[3533311321在上式两边同乘以(或除以)等比数列n3的公比3，得14323)12(3]1)1(2[3533313nnnnSn由①～②（两等式的右边错位相减）1332213)12(3]1)1(2[3)12()3335()3133(312nnnnnnSn13213)12(32323231nnn13213)12()333(231nnn113)12()93(3nnn63)22(1nn∴33)1(1nnSn五、裂项相消法对相应的数列的通项公式加以变形，将其写成两项的差，这样整个数列求和的各加数都按同样的方法裂成两项之差，其中每项的被减数一定是后面某项的减数，从而经过逐项相互抵消仅剩下有限项，可得出前项和公式．它适用于型（其中{}是各项不为0的等差数列，c为常数）、部分无理数列、含阶乘的数列等。常见的裂项方法有：1．111)1(1nnnn1111()()nnkknnk2．)121121(21)12)(12(1nnnn3．])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1nnnnnnn4．11()nknknkn还有：)()1(nfnfan；)(11bababa；)121121(211)12)(12()2(2nnnnn；nnnntan)1tan()1cos(cos1sin等。例已知数列na：)2(21nnnan，求数列na前n项和解：)2(2121nnnnan)2(21)35(21)24(21)13(21nnSn)]2()35()24()13[(21nn1(121)2nn六、并项法例已知nSnn2)1(121086421则502015SSS解：3028261210864215S30)2826()1210()86()42(307)2(1640381210864220S)4038()1210()86()42(10)2(20同理5025)2(50S46)50()20(16502015SSS七、拆项重组求和.有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，能分为几个等差、等比或常见的数列的和、差，则对拆开后的数列分别求和，再将其合并即可求出原数列的和．也称分组求和法.例求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n项和.解：设kkkkkkak2332)12)(1(∴nknkkkS1)12)(1(＝)32(231kkknk将其每一项拆开再重新组合得：Sn＝kkknknknk1213132＝)21()21(3)21(2222333nnn＝2)1(2)12)(1(2)1(22nnnnnnn＝2)2()1(2nnn八、累加法给出数列｛nS｝的递推式和初始值，若递推式可以巧妙地转化为)(1nfSSnn型，可以考虑利用累加法求和，此法也叫叠加法。例数列na的前n项和为nS，已知211,1,1,2,2nnaSnannn，求nS解：由21nnSnann2n得：21()1nnnSnSSnn，即221(1)1nnnSnSnn，1111nnnnSSnn，对2n成立。由1111nnnnSSnn，121112nnnnSSnn，…，2132121SS累加得：1121nnSSnn，又1112Sa，所以21nnSn，当1n时，也成立。经典高考练习题1.已知等比数列432,,,}{aaaan中分别是某等差数列的第5项、第3项、第2项，且1,641qa公比（Ⅰ）求na；（Ⅱ）设nnab2log，求数列.|}{|nnTnb项和的前2.已知数列}{na满足递推式)2(121naann，其中.154a（Ⅰ）求321,,aaa；（Ⅱ）求数列}{na的通项公式；（Ⅲ）求数列}{na的前n项和nS3．已知数列{}na的前n项和为nS，且有12a，11353nnnnSaaS(2)n（1）求数列na的通项公式；（2）若(21)nnbna，求数列na的前n项的和nT。4.已知数列{na}满足11a，且),2(22*1Nnnaannn且．（Ⅰ）求2a，3a；（Ⅱ）证明数列{nna2}是等差数列；（Ⅲ）求数列{na}的前n项之和nS5.数列na的前n项和为nS，11a，*12()nnaSnN·2007·新疆奎屯[e-mail]特级教师王新敞源头学子小屋（Ⅰ）求数列na的通项na；（Ⅱ）求数列nna的前n项和nT6.22,,4,21121nnnnnbbaabaa.求证：⑴数列{bn+2}是公比为2的等比数列；⑵nann221；⑶4)1(2221nnaaann.7.已知各项都不相等的等差数列}{na的前六项和为60，且2116aaa和为的等比中项.（1）求数列}{na的通项公式nnSna项和及前；（2）若数列}1{,3),(}{11nnnnnbbNnabbb求数列且满足的前n项和Tn.8.已知nS是数列na的前n项和，123,22aa，且113210nnnSSS，其中*2,nnN.①求证数列1na是等比数列；②求数列na的前n项和nS.9.已知nS是数列{na}的前n项和，并且1a=1，对任意正整数n，241nnaS；设,3,2,1(21naabnnn）.（I）证明数列}{nb是等比数列，并求}{nb的通项公式；（II）设}loglog1{,32212nnnnnCCTbC为数列的前n项和，求nT.经典高考练习题参考答案1.解析：(1)设该等差数列为{}nc，则25ac，33ac，42ac533222()ccdcc2334()2()aaaa即：223111122aqaqaqaq12(1)qqq，1q，121,2qq，1164()2na(2)121log[64()]6(1)72nnbnn，{}nb的前n项和(13)2nnnS当17n时，0nb，(13)2nnnnTS（8分）当8n时，0nb，12789nnTbbbbbb789777()()2nnnSbbbSSSSS(13)422nn(13)(17,)2(13)42(8,)2nnnnnTnnnn**NN2.解：（1）由151241aaann及知,1234aa解得：,73a同理得.1,312aa（2）由121nnaa知2211nnaa)1(211nnaa1na构成以211a为首项以2为公比的等比数列；112)1(1nnaa；,21nna.12nna为所求通项公式（3）12nna123......nnSaaaa123(21)(21)(21)......(21)n123(222......2)nnnn21)21(2.221nn3.解：由11335(2)nnnnSSaan，12nnaa，又12a，112nnaa，{}na是以2为首项，12为公比的等比数列，122112()()222nnnna2(21)2nnbn，101212325