圆锥展开图及小虫爬行问题

1.问题探究：（1）如图1所示是一个半径为32π，高为4的圆柱体和它的侧面展开图，AB是圆柱的一条母线，一只蚂蚁从A点出发沿圆柱的侧面爬行一周到达B点，求蚂蚁爬行的最短路程．（探究思路：将圆柱的侧面沿母线AB剪开，它的侧面展开图如图①中的矩形ABBA′′，则蚂蚁爬行的最短路程即为线段AB′的长）（2）如图2所示是一个底面半径为23，母线长为4的圆锥和它的侧面展开图，PA是它的一条母线，一只蚂蚁从A点出发沿圆锥的侧面爬行一周后回到A点，求蚂蚁爬行的最短路程．（3）如图3所示，在②的条件下，一只蚂蚁从A点出发沿圆锥的侧面爬行一周到达母线PA上的一点，求蚂蚁爬行的最短路程．(4)如图4所示，圆锥的底面圆的半径为3cm，母线长为9cm，C为母线PB的中点，一只蚂蚁欲从点A处沿圆锥的侧面爬到C处，则它爬行最短路程．图41.解：（1）易知32π32πBB′2222435ABABBB′=′即蚂蚁爬行的最短路程为5．（2）连结AA′，则AA′的长为蚂蚁爬行的最短路程，设1r为圆锥底面半径，2r为侧面展开图（扇形）的半径，则12243rr，，由题意得：21π2πr=180nr即22ππ43180n60nPAA△′是等边三角形最短路程为4AAPA′．（3）如图③所示是圆锥的侧面展开图，过A作ACPA′于点C，则线段AC的长就是蚂蚁爬行的最短路程．3sin4sin604232ACPAAPA°蚂蚁爬行的最短距离为23．BAAB′图1APA图2PA图3BAAB′图1图3APCA60°图2APA(4)圆锥的底面周长是6π，则6π=即圆锥侧面展开图的圆心角是120度．∴∠APB=60°则在圆锥侧面展开图中AP=9，PC=4.5，∠ACP=90度．AC=√AP2−PC2=9/2√32:长方体的长、宽、高分别为8cm，4cm，5cm．一只蚂蚁沿着长方体的表面从点A爬到点B．则蚂蚁爬行的最短路径的长是_________________．解:蚂蚁有三种爬法，就是把正视和俯视（或正视和侧视，或俯视和侧视）二个面展平成一个长方形，然后求其对角线，比较大小即可求得最短的途径．路径一：AB==13；路径二：AB==；路径三：AB==；∵＞13＞，∴cm为最短路径．nπ×9180