初等数学研究(八)轨迹

1第八讲轨迹及探求2一、轨迹的意义1.轨迹定义：满足某种条件C的一切点所构成的图形F，称为符合条件C的点的轨迹。2.关于轨迹的证明：要判定一个图形F是符合条件C的点轨迹，必须从以下两方面去证明：(1)符合条件C的所有点都在图形F上；(完备性)(2)图形F上的点都符合条件C。(纯粹性)3完备性、纯粹性的等价命题(1′)完备性：不在图形F上的点都不符合条件C；(2′)纯粹性：不符合条件C的点都不在图形F上。也就是说(1)(1′)，(2)(2′)，所以，轨迹的证明可取：(1)(2)；(1)(2′)；(1′)(2)；(1′)(2′)四种不同的形式(其实质相同)一般先选择(1)(2)证明，非必须，一般不用其他方法。4例题选讲例1.求证：对定线段AB张的角等于定角α的点P的轨迹，是以AB为弦，所含的圆周角等于α的两个弧：弧AmB和弧Am′B。P′.P·ABααmm′αP·P··P·P·P·P5二、原人教版中学教材中六个基本轨迹定理中学几何课本中的六个基本轨迹定理：1、2、3、4、5、6这六个基本轨迹定理，在以后的证(解)题或其他轨迹命题的证明中，可直接引用而不必证明。61.到两个已知点的距离相等的点的轨迹,是连结这两点的线段的垂直平分线;2.和两条相交直线距离相等的点的轨迹,是平分这两条已知直线所成角的两条互相垂直的直线;3.和两条平行直线距离相等的点的轨迹,是和这两条直线平行并且距离相等的一条直线;4.和一条直线的距离等于定长线段的点的轨迹,是和这条直线平行并且距离等于定长的两条直线;5.和已知点的距离等于定长线段的点的轨迹,是以已知点为圆心,以定长线段为半径的圆;6.对一条线段所张的角等于定角的点的轨迹,是以这条线段为弦,所含的圆周角等于这定角的两个弧.7三、轨迹命题的三种类型轨迹命题的一般形式是“具有××性质的点的轨迹是××图形”。其中命题的题设部分就是轨迹的条件C，结论部分就是轨迹的图形F。由于对轨迹的图形F的叙述的方式不同，轨迹命题通常分为三种类型。81.第一类型命题的结论中明白的给出了轨迹图形的形状、大小(如果有大小可言)和位置。如：平面内到两个定点距离相等的点的轨迹是以两定点为端点的线段的垂直平分线。这类命题具有定理的形式，解题时只需要进行证明即可。证明步骤是：①证完备性；②证纯粹性；③下结论。92.第二类型命题的结论中给出了轨迹图形的形状，而对其大小(如果有大小可言)和位置叙述不完全，或没有涉及。如：平面内到两个定点距离相等的点的轨迹，是一条直线。10这类轨迹命题同样具有定理的形式。但在解题方面与第一类型又有所不同。首先需要探知轨迹的大小和位置。因此，解决这类命题的方法步骤大致为：①探求轨迹图形的位置和大小，使其基本轮廓确定；②证明［包括证完备性、纯粹性、下结论］③讨论：即研究给定的条件对轨迹图形的影响。(有些特殊的点、线问题)113.第三类型命题中只给出了题设条件，没有结论，属于问题形式，故称为轨迹问题。如:求平面内到两个定点的距离相等的点的轨迹。解决此类问题的方法步骤与第二类型轨迹命题类似：①探求轨迹图形的形状、和位置；②证明；③讨论。探求过程可能较繁难，这是轨迹命题中最难的一种类型。12四、轨迹命题举例(一)第一类型例3.一底边固定而其邻边为定长的平行四边形的对角线的交点的轨迹，为以固定底边的中点为圆心，以定长为直径的圆。13lABCD.O已知：AB为定线段，另一定长为l(如图)，ABCD是以线段AB为一边、邻边AD=l的一平行四边形，⊙O是以AB中点为圆心，为半径的圆。求证：这样的平行四边形的对角线交点的轨迹就是⊙O.2lP·14证明：(1)完备性设P为平行四边形ABCD的对角线AC、BD的交点，连OP，则因O是AB的中点，P是BD的中点，知OP是△ABD的中位线，从而，即点P在⊙o上lABCDP·.Ol21AD21OP.O15(2)纯粹性设P′是⊙O上的任一点，连AP′并延长至C′点，使P′C′=AP′,连BP′并延长到D′点，使P′D′=BP′，则ABC′D′是一个平行四边形，对角线交点为P′。l.OABCDPC′D′.P′由于O、P′分别是AB、BD′的中点，因而AD′=2OP′，而P′在⊙O上，OP′=。因此，AD′=2OP′=2×=l。即⊙O上任一点(与AB的交点除外)均为以AB为一边，定长l为邻边的平行四边形的对角线交点。综合(1)、(2)命题得证。l21l2116关于轨迹上的特殊点极限点――题设图形处于极限位置时产生的点；临界点――在轨迹端点处的极限点；终止点――处在轨迹端点位置，本身又属于轨迹，不是临界点。这些特殊点对于确定轨迹图形的形状、大小和位置有时起着决定性作用，通常在解决轨迹的讨论部分，应指出哪些是特殊点才算完整。静点――相对于轨迹上的一般动点，位置确定的点。另外还有孤立点等。17第二类型解决这类命题与第一类命题比较，需增加探求过程，即通过合理的猜测或预测确定轨迹图形的大小(有大小可言)和位置，再如同第一类命题进行证明、讨论。18例4.和两个定点距离等于定比(不等于1)的点的轨迹是一个圆周，称为阿氏圆。已知：A、B为两定点。求：点P的轨迹，使PA︰PB=m(常数)(m≠1)探求：倘若P点合乎条件，易知P点关于直线AB的对称点也合乎条件，即所求圆周应以AB为对称轴，那么圆周直径就在直线AB上了。.A.BP.19.A.BP.在线段AB及延长线上分别取C、D，并使AC︰CB=AD︰DB=m,则C、D合乎条件，故轨迹可能是以CD为直径的圆周。连PC、PD，则PC、PD分别为△PAB中∠APB的内、外角平分线，因而PC⊥PD，可见P确为以CD为直径的圆周上一点。.C.D20证明：(1)完备性由探求可知，凡符合条件的点都在以CD为直径的圆上。·F(2)纯粹性设P是以CD为直径的圆周上任一点，连PA、PB、PC、PD，过点C作直线平行于PD，分别交PA、PB于E、F两点。则EC︰PD=AC︰AD，CF︰PD=CB︰BD.由于AC︰CB=AD︰DB=m；所以AC︰AD=CB︰BD(交换内项)；则EC︰PD=CF︰PD；于是EC=CF.又PC⊥PD，EF∥PD.∴PC⊥EF.从而PC平分∠APB，因此PA︰PB=AC︰CB=m;即点P符合条件，命题得证。E·.A.B.C.DP.21第三类型轨迹命题的第三类型解决起来比第二类型更复杂一些，主要体现在探求上，因为命题中并未告知图形的形状、大小和位置，均需由解题者探求、预测。22常用的五种探求方法1.性质预测法.2.找特殊点法.3.初等变换法.4.描迹法.5.间接求迹法.231.性质预测法主要是根据轨迹的对称性和范围来探求轨迹。例7.从已知半圆直径AB延长线上取一点C，作切线CT及∠OCT的平分线CP，从圆心O作这条角平分线的垂线，求定垂足P的轨迹。PT·COAB24过O作直径AB的垂半径OD，则已知图形关于OD对称；由于条件也关于OD对称，故轨迹应关于OD对称。当点C趋近于B时，所论角平分线趋近于BD，动点P趋近于BD的中点G，因而点G及和G关于OD对称的点H(AD的中点)为轨迹的两个端点。M·H·D探求：·GNEFPTABOCE252.找特殊点法探求轨迹时可以使其动点移动到一些特殊的位置上，从而求轨迹上相应的特殊点，然后再根据这些特殊点的位置来判断所求的图形，这种方法称为特殊点法。这种方法常同性质预测法一起使用。26例8.AB是定半圆所在圆的直径，O是圆心，C是半圆上一个动点，CD⊥AB，D是垂足，在半径OC上截取OP使OP＝CD，求P点的轨迹。(如图)C·PBA·OD27M·CBAP··OD探求：由已知条件看出，动点P随C点的移动而移动。当C点移动到A点的位置时，OP＝CD＝0，即点P与圆心O重合，故而O是轨迹上一个特殊点。当C点移动到AB弧的中点M的位置时，OP＝CD＝OM，即P点与M点重合，因此M是轨迹上的又一特殊点。28M·CBAP··OD给定的半圆及条件皆关于OM对称，所以轨迹也应以OM为对称轴。设P是满足条件的任意点，连PM，则∵CD＝OP，OC＝OM，∠OCD＝∠MOP，有△OCD≌△MOP，∴∠OPM＝∠CDO＝90°故可预测所求轨迹应为以OM为直径的圆。293.描迹法按照题设条件作出轨迹若干点，再用光滑的曲线(直线)把它们连接起来，初步得到所求轨迹的大致形状和位置，然后按照定形、定位的条件来确定轨迹。这种方法称为描迹法。请大家留意关于描迹法的注意点！30例12．三角形有一内角固定，夹此角的两边的和为定值，求第三边中点的轨迹。题设：在△ABC中，角A的位置固定，AB＋AC＝l(定长)，P为BC的中点。求：点P的轨迹。ABC·P31探求：先寻求轨迹中的一些特殊点。当C点移动到A点处，则P在P1位置：AP1＝；当B点移动到A点处，则P在P1′位置，AP1′＝。因此，P1与P1′为轨迹的临界点，因而轨迹可能是线段或圆弧。l21l21ABC·PB1C1P1··P1′BBCCCCC32继续探求：；的中点为取，＝，＝令；的中点为取，＝，＝令3333322222PCB43AC41ABPCB32AC31ABllllB2··C2ABC·PB1C1P1··P1′B3··C3P3·顺次连接P1、P2、P3、P1′，可以看到它们大致在一条直线上，故可猜测：轨迹的图形可能是以P1、P1′为端点的线段。［证明可参看赵振威本P144例2，请大家自行完成］·P2334．间接求迹法(1)直接求迹法(2)间接求迹法通过类比、比较由熟知命题或熟知图形推测轨迹图形的方法，称为间接求迹法。34例3．一个动点向定三角形的三边引垂线，并且三个垂足是共线的，求这个动点的轨迹。题设：△ABC为定三角形，P为动点，E、F、G分别是从P向△ABC的三边AB、BC、CA引垂线所得的垂足，并且E、F、G三点共线。求：P点的轨迹。ABC·PE·F··G35小结：前面共介绍了初等几何中探求轨迹问题常见的五种方法，但在探求轨迹时，我们还应注意以下两点：一、必须注意轨迹的界限，否则就会出现有瑕的轨迹二、必须仔细、周密、全面地审题，要注意挖掘题设条件中蕴含着的多种情况。36作业：今日作业1．在RtΔABC的斜边BC上取一点D，在BC的延长线上取点E，使D为BE的中点，C为DE的中点，E与E′关于AC对称，BE′交AC于F，求证：AD=E′F。2．给定两点A、B，l为通过A的动直线，则点B关于直线l的对称点P的轨迹，是一个以A为中心，以AB为半径的圆。