2019届高考数学专题-高考培优20讲-14外接球

培优点十四外接球1．正棱柱，长方体的外接球球心是其中心例1：已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为，体积为，则这个球的表面积是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，，，，故选C．2．补形法（补成长方体）例2：若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是．【答案】【解析】，．3．依据垂直关系找球心例3：已知三棱锥的四个顶点均在同一个球面上，底面满足，，若该三棱锥体积的最大值为3，则其外接球的体积为（）A．B．C．D．41616π20π24π32π162haV2a24164442222haaR24πScab图1CPABabc图2PCBAabc图3CBPAabc图4PCO2BA39π933342R24π9πSRPABCABC△6BABCπ2ABC8π16π16π332π3【答案】D【解析】因为是等腰直角三角形，所以外接球的半径是，设外接球的半径是，球心到该底面的距离，如图，则，，由题设，最大体积对应的高为，故，即，解之得，所以外接球的体积是，故答案为D．一、单选题1．棱长分别为2、、的长方体的外接球的表面积为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设长方体的外接球半径为，由题意可知：，则：，该长方体的外接球的表面积为．本题选择B选项．2．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）ABC△11232rROd1632ABCS△3BD116336ABCVShh△3SDh223Rd2233RR2R3432ππ33R354π12π24π48πR22222235R23R24π4π312πSR23对点增分集训A．12πB．28πC．44πD．60π【答案】B【解析】设底面三角形的外接圆半径为，由正弦定理可得：，则，设外接球半径为，结合三棱柱的特征可知外接球半径，外接球的表面积．本题选择B选项．3．把边长为3的正方形沿对角线对折，使得平面平面，则三棱锥的外接球的表面积为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】把边长为3的正方形沿对角线对折，使得平面平面，则三棱锥的外接球直径为，外接球的表面积为，故选C．4．某几何体是由两个同底面的三棱锥组成，其三视图如下图所示，则该几何体外接球的面积为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题可知，该几何体是由同底面不同棱的两个三棱锥构成，其中底面是棱长为的正三角形，一个是三条侧棱两两垂直，且侧棱长为的正三棱锥，另一个是棱长为的正四面体，如图所示：r232sin60r2rR222327R24π28πSRABCDACABCADCDABC32π27π18π9πABCDACABCADCDABC32AC24π18πR2πa22πa23πa24πa2aa2a该几何体的外接球与棱长为𝑎的正方体的外接球相同，因此外接球的直径即为正方体的体对角线，所以，所以该几何体外接球面积，故选C．5．三棱锥的所有顶点都在球的表面上，平面，，，则球的表面积为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，，所以，，因此三角形外接圆半径为，设外接球半径为，则，，故选D．6．如图是边长为1的正方体，是高为1的正四棱锥，若点，，，，在同一个球面上，则该球的表面积为（）2223232RaaaaRa22234π4π3π2SRaaABCDOABBCD2BCBD243ABCDO16π32π60π64π2BCBD23CD22222231cos2222CBD2π3CBDBCD122sinCDCBDR222=2+412162ABR2=4π64πSR1111ABCDABCDSABCDS1A1B1C1DA．B．C．D．【答案】D【解析】如图所示，连结，，交点为，连结，易知球心在直线上，设球的半径，在中，由勾股定理有：，即：，解得：，则该球的表面积．本题选择D选项．7．已知球的半径为，，，三点在球的球面上，球心到平面的距离为，，，则球的表面积为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由余弦定理得：，设三角外接圆半径为，由正弦定理可得：，则，又，解得：，则球的表面积．本题选择D选项．8．已知正四棱锥(底面四边形是正方形，顶点𝑃在底面的射影是底面的中心)的各顶点都在同一球面上，底面正方形的边长为，若该正四棱锥的体积为，则此球的体积为（）9π1625π1649π1681π1611AC11BDMSMOSMROSx1RtOMB△22211OMBMBO222222xx98x229814π4ππ816SRORABCOOABC12R2ABAC120BACO16π916π364π964π344222cos12023BCABCr232sin120r2r22144RR2163R2644ππ3SRPABCDABCD10503A．B．C．D．【答案】C【解析】如图，设正方形的中点为，正四棱锥的外接球心为，底面正方形的边长为，，正四棱锥的体积为，，则，，在中由勾股定理可得：，解得，，故选C．9．如图，在中，，，点为的中点，将沿折起到的位置，使，连接，得到三棱锥．若该三棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意得该三棱锥的面是边长为的正三角形，且平面，设三棱锥外接球的球心为，外接圆的圆心为，则面，∴四边形为直角梯形，18π8636π323πABCDEPABCDO105EA50321501033PABCDVPE5PE5OERAOE△2255RR3R34π36π3VR球ABC△6ABBC90ABCDACABD△BDPBD△PCPDPCPBCD7π5π3ππPCD3BDPCDPBDCOPCD△1O1OOPCD1OODB由，，及，得，∴外接球半径为，∴该球的表面积．故选A．10．四面体中，，，，则此四面体外接球的表面积为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意，中，，，可知是等边三角形，，∴的外接圆半径，，∵，可得，可得，∴，∴，∴四面体高为．设外接球，为球心，，可得：……①，……②由①②解得：．四面体外接球的表面积：．故选A．11．将边长为2的正沿着高折起，使，若折起后四点都在球的表面上，则球的表面积为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】中，，，，3BD11ODOBOD72OB72R274π4π7π4SRABCD60ABCABDCBD3AB2CBDB19π21938π2417π1717π6BCD△2CBDB60CBDBCD△3BFBCD△233rBE33FE60ABCABD7ADAC6AFAFFBAFBCDABCD6AFROOEm222rmR2226πEFR198R2194ππ2SRABC△AD120BDCABCD、、、OO7π27π13π213π3BCD△1BD1CD120BDC底面三角形的底面外接圆圆心为，半径为，由余弦定理得到，再由正弦定理得到，见图示：是球的弦，，将底面的圆心平行于竖直向上提起，提起到的高度的一半，即为球心的位置，∴，在直角三角形中，应用勾股定理得到，即为球的半径．∴球的半径．该球的表面积为；故选B．12．在三棱锥中，，，则该三棱锥的外接球的表面积为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】分别取，的中点，，连接相应的线段，，，由条件，，，可知，与，都是等腰三角形，平面，∴，同理，∴是与的公垂线，球心在上，推导出，可以证明为中点，，，，∴，球半径，∴外接球的表面积为．故选D．Mr3BC321sin120rrAD3DAMADADO32OMOMDODOD37142OD24π7πODABCD6ABCD5ACBDADBC4343π244343π643π243πABCDEFCEEDEF4ABCD5BCACADBDABC△ADB△ABECDABEFCDEFEFABCDGEFAGBCGD△≌△GEF2594DE3DF1697EF72GF743942DG24π43πSDG二、填空题13．棱长均为6的直三棱柱的外接球的表面积是_________．【答案】【解析】由正弦定理可知底面三角形的外接圆半径为，则外接球的半径，则外接球的表面积为．14．已知棱长都相等正四棱锥的侧面积为，则该正四棱锥内切球的表面积为________．【答案】【解析】设正四棱锥的棱长为，则，解得．于是该正四棱锥内切球的大圆是如图的内切圆，其中，．∴．设内切圆的半径为，由，得，即，解得，84π1616232sin60232r2232391221R24π4π2184πSR16332163πa2341634a4aPMN△4MN23PMPN22PErPFOPEN△△FOPOENPN22223rr226231r∴内切球的表面积为．15．已知三棱柱的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为，，，，则此球的表面积等于______．【答案】【解析】∵三棱柱的侧棱垂直于底面，棱柱的体积为，，，，，，，，设外接圆的半径为，则，，∴外接球的半径为，∴球的表面积等于．故答案为．16．在三棱锥中，，，，，则三棱锥外接球的体积的最小值为_____．【答案】【解析】如图所示，三棱锥的外接圆即为长方体的外接圆，外接圆的直径为长方体的体对角线，设，那么，，所以．由题意，体积的最小值即为最小，，所以当时，的最小值为，所以半径为，故体积的最小值为．224π4π6232163πSr111ABCABC32AB1AC60BAC8π111ABCABC32AB1AC60BAC1121sin6032AA12AA2222cos60412BCABACABAC3BCABC△R2sin60BCR＝1R11224π28π8πABCDABACDBDC4ABDBABBDABCD82π3ABCDADABACx4DBDCxABBD22ADABDBAD224ADxx2xAD22282π3