2013答案-拓扑学基础A

-1-东北大学秦皇岛分校课程名称：拓扑学基础（答案）试卷：A考试形式：闭卷授课专业：数学与应用数学考试日期：2013年7月试卷：共3页题号一二三四五总分得分阅卷人一、填空题：（每空2分，共20分）1．设{1,2,3}X，写出5个拓扑，使得每个拓扑中的所有集合按包含关系构成一个升链平凡拓扑，{,,{3},{1,3}}X，{,,{1}}X，{,,{2}}X，{,,{3}}X。（注：答案不唯一，正确即可）2.汉字“东”的连通分支的个数是3，抛物线的连通分支的个数是1。3．字母Y的割点个数为无穷。字母T中指数为3的点个数为1。4．叙述同胚映射的定义拓扑空间之间的连续映射称为同胚映射，若它是一一对应且它的逆也是连续的。二、选择题：（每题2分，共8分）1．下列说法中正确的是（B）A连通空间一定是道路连通空间B道路连通空间一定是连通空间C道路连通空间一定局部道路连通D以上说法都不对2．下列说法正确的是（A）A紧空间的闭子集紧致B紧致空间未必局部紧致C有限空间一定不紧致D列紧空间是紧致空间3．下列说法错误的是（A）A离散空间都是1T空间B2T空间中单点集是闭集C赋予余有限拓扑不是2T空间D第二可数空间可分4．下列不具可乘性的是（D）A紧致性B连通性C道路连通性D商映射三、计算题：（共16分）1．在上赋予余有限拓扑，记为有理数集合，[0,1]I。试求'和I。（4分）答：'，I。2．确定欧式平面上子集22{(,)|01}Axyxy的内部、外部、边界和闭包。（8分）答：内部，22{(,)|01}xyxy；外部，22{(,)|1}xyxy边界，22{(,)|1}xyxy；闭包AA。3．在上赋予欧式拓扑。（4分）（1）计算道路2t与1t的乘积在13处的值。答：在13处的值是49。（2）计算道路3t与1的乘积在23处的值。答：在23处的值是1。装订线装订线内不要答题学号姓名班级-2-四、问答题：（每题10分，共30分）1.叙述拓扑空间的定义并举例说明任意多个开集的交未必是开集。（10分）答：集合X上的一个拓扑T是由X的子集构成的子集族，即{|,}TAAXI，其中I是一个指标集。它们满足三个条件：1．集合X与空集在T中。2．T中任意多个集合的并集在T中。3．T中有限多个集合的交集在T中。定义了拓扑的集合称为拓扑空间。（7分）注：例子不唯一，正确即可。2.叙述0T空间、1T空间的定义。设{0,1,2,3,4}X，{,,{1}}TX，试定义一个等价关系使得商空间X是0T空间但不是1T空间。（10分）答：设X是拓扑空间，若对任两点存在其中一点的开邻域不包含另外一点，则称其为0T空间；（3分）设X是拓扑空间，若对任两点存在每点的开邻域不包含另外一点，则称其为1T空间。（6分）举例4分。注：例子不唯一，正确即可。3.谈谈你对拓扑学的内容方法的认识。（10分）注：无唯一标准答案。五、证明题：（共26分）1.叙述并证明开集判定定理。（7分）定理W是开集当且仅当它是它的每个点的邻域。（3分）证明：“”由邻域的定义，这是显然的。“”xW，因为W是x的邻域，由邻域的定义，存在开集xOW，使得xxO。所以{}xWxWxWxOW。所以xWxWO因为开集的任意并集是开集，所以W是开集。（7分）装订线装订线内不要答题学号姓名班级-3-2.叙述并证明连续映射的粘接引理。（7分）答：粘接引理设12{,,,}nAAA是拓扑空间X的一个有限闭覆盖，若:fXY在每个iA上的限制都连续，则f是连续映射。（3分）证明：只要验证Y的每个闭集的原像是闭集。设B是Y的闭集，记iAf是f在iA上的限制。则11111()(())()inniiiAfBfBAfB。由iAf连续，1()iAfB是iA中的闭集，又iA是X的闭集，所以1()iAfB是X中的闭集。所以1()fB作为有限个闭集的并也是闭集。（7分）3.设A是2T空间X的紧致子集。证明XA也是2T空间。（7分）证明：设1x，2x是XA中不同于A的两点。不妨将其在X中在投影映射下的原像仍记为1x，2x。因X是2T空间，故存在各自的开邻域不相交。记为1O和2O。又因A是2T空间X的紧子集，所以A是闭集，cA是开集。从而1cAO与2cAO也为1x，2x的不相交的开邻域，且在投影映射下不变，从而也是1x，2x的在XA中的不相交的开邻域。(3分)任取cA中元素x，对于任意的A中元素a，由X是Hausdorff空间，分别存在x与a的不相交的开邻域aU与aV。显然{|}aVaA是A的开覆盖。由A的紧致性，存在有限的子覆盖12{,,}naaaVVV。记1inaiUU，1inaiVV，则U是x的开邻域，AV，且UV。易知U在投影映射下不变，仍为XA中的开集，V在投影映射下的像'V为XA中包含点A的开集，且'UV。所以XA也是2T空间。（7分）4．设X，在X上取余可数拓扑。在商空间n上定义“+”为abab。证明“+”是连续映射。（5分）证明：由商空间的定义可知n上的拓扑为离散拓扑。（2分）从而由乘积空间的定义，nn中的拓扑也为离散拓扑。（3分）要证明“+”是连续映射，只需验证i（01in）在nn中原像是开集。而这由nn是离散空间知是显然的。（5分）装订线装订线内不要答题学号姓名班级