2011届新课标人教版高中第1轮总复习理科数学课件第17讲导数在函数中的应用

1新课标高中一轮总复习理数理数2第三单元导数及其应用3第17讲导数在函数中的应用41.了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（对多项式函数一般不超过三次）.2.了解函数在某点取得的极值的必要条件和充要条件；会用导数求函数的极大值、极小值（对多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上的函数的最大值、最小值(对多项式函数一般不超过三次).51.已知函数f(x)在点x0处连续，下列命题中,正确的是()CA.导数为零的点一定是极值点B.如果在点x0附近的左侧f′(x)0,右侧f′(x)0,那么f(x0)是极小值C.如果在点x0附近的左侧f′(x)0,右侧f′(x)0，那么f(x0)是极大值D.如果在点x0附近的左侧f′(x)0，右侧f′(x)0,那么f(x0)是极大值由极值的定义知C正确.62.函数y=的单调递增区间为()B21xxA.(-∞,-1)B.(-1,1)C.(1,+∞)D.(-∞,2)因为y′==,所以由y′0得1-x20,所以x21,所以-1x1.故选B.222212(1)xxx2221(1)xx73.已知函数f(x)=x3+ax2+3x-9在x=-3时取得极值，则a等于()DA.2B.3C.4D.5因为f′(x)=3x2+2ax+3,又f(x)在x=-3时取得极值，所以f′(-3)=30-6a=0,解得a=5.84.函数f(x)=x3-3x+1在闭区间［-3,0］上的最大值是，最小值是.3-17f′(x)=3x2-3=3(x-1)(x+1),令f′(x)=0，得x=±1.而f(-3)=-17，f(-1)=3，f(0)=1，故f(x)在［-3,0］的最大值是3，最小值是-17.95.若函数y=x3-ax2+4在(0,2)内单调递减，则实数a的取值范围为.［3,+∞)因为函数y=x3-ax2+4在(0,2)内单调递减，所以y′=3x2-2ax≤0在(0,2)内恒成立，y′|x=0=0≤0y′|x=2=12-4a≤0,所以a≥3.所以101.函数的单调性与其导数的关系(1)对于定义在区间(a,b)内连续不间断的函数y=f(x)，由f′(x)0y=f(x)在(a,b)内f′(x)≥0在(a,b)内恒成立，其中(a,b)为f(x)的单调递增区间；(2)对于定义在区间(a,b)内连续不间断的函数y=f(x),由f′(x)0①..f′(x)≤0在(a,b)内恒成立，其中区间(a,b)为f(x)的单调递减区间.y=f(x)在(a,b)内单调递减112.函数的极值与其导数的关系(1)极值与极值点：设函数f(x)在点x0及其附近有定义，如果对x0附近的异于x0的所有点x,都有②,则称f(x0)为f(x)的极大值,记作y极大值=f(x0),x0为极大值点.反之,若③,则称f(x0)为f(x)的极小值，记作y极小值=f(x0),x0为极小值点，极大值和极小值统称为极值，极大值点和极小值点统称为极值点.(2)若x0为可导函数f(x)的极值点，则有④，不一定成立.f(x)f(x0)f(x)f(x0)f′(x0)=0123.函数的最值与其导数的关系(1)函数的最值：如果在函数y=f(x)的定义域I内存在x0，使得对任意的x∈I，都有⑤,则称f(x0)为函数的最大值,记作ymax=f(x0);反之,若有⑥,则称f(x0)为函数的最小值，记作ymin=f(x0).最大值和最小值统称为最值；(2)如果函数y=f(x)在闭区间［a,b］上的图象是⑦的曲线,则该函数在闭区间［a,b］上一定能够取得最大值与最小值.f(x)≤f(x0)f(x)≥f(x0)一条连续不间断134.极值与最值的区别与联系极值是反映函数的局部性质，最值是反映函数的整体性质.极大(小)值不一定是最大(小)值，最大(小)值也不一定是极大(小)值，极大值不一定比极小值大.但如果函数的图象是一条不间断的曲线，在区间(a,b)内只有一个极值，那么极大值就是最大值，极小值就是最小值.14题型一函数的单调性与导数典例精讲典例精讲例1已知函数f(x)=x3-ax-1.（1）若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；（2）是否存在实数a，使f(x)在(-1,1)上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由.15（1）由已知f′(x)=3x2-a.因为f(x)在R上是单调增函数，所以f′(x)=3x2-a≥0在R上恒成立，即a≤3x2对x∈R恒成立.又因为3x2≥0，所以只需a≤0.又因为当a=0时，f′(x)=3x2≥0,即f(x)=x3-1在R上是增函数，所以a≤0.16(2)由f′(x)=3x2-a≤0在(-1，1)上恒成立,得a≥3x2，x∈(-1,1)恒成立.因为-1x1,所以3x23,所以只需证明a≥3.当a=3时，f′(x)=3(x2-1),在x∈(-1,1)上，f′(x)0，即f(x)在(-1,1)上为减函数，所以a≥3.故存在实数a≥3,使f(x)在(-1，1)上单调递减.17点评点评(1)f′(x)0（或f′(x)0)仅是f(x)在某个区间上为增函数（或减函数）的充分条件，在（a,b)内可导的函数f(x)在(a,b)上递增（或递减）的充要条件是f′(x)≥0（或f′(x)≤0)对x∈(a,b)恒成立，但f(x)不恒为0.18(2)已知函数f(x)是增函数（或减函数），求参数的取值范围时，应令f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，解出参数的取值范围，然后检验参数的取值能否使f′(x)恒等于0.若恒等于0，则参数的这个值应舍去；若f′(x)不恒等于0，则由f′(x)≥0（或f′(x)≤0)恒成立解出的参数的取值范围确定.19变式变式变式求函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)的单调增区间.因为f′(x)=(x-2)(x-3)+(x-1)(x-3)+(x-1)(x-2)=3x2-12x+11.由f′(x)≥0，得x≤2-或x≥2+.故函数f(x)的单调递增区间是(-∞,2-]与[2+,+∞).33333333本题易错误地作答为递增区间是(-∞,2-]∪[2+,+∞).误将正值区间(1,2)或(3,+∞)作为增区间.点评点评333320题型二函数的极值与导数例2已知x=3是函数f(x)=aln(1+x)+x2-10x的一个极值点.(1)求a;(2)求函数f(x)的极大值；(3)若直线y=b与函数y=f(x)的图象有3个交点，求b的取值范围.21(1)因为f′(x)=+2x-10,所以f′(3)=+6-10=0,因此a=16.(2)由(1)知，f′(x)=+2x-10=(x-1).此时，f′(x)、f(x)随x的变化情况如下表：1ax4a161x2(1)(3)1xxx由上表知函数f(x)的极大值为f(1)=16ln2-9.x(-1,1)1(1,3)3(3,+∞)f′(x)+0-0+f(x)极大值极小值22(3)由(2)知，f(x)在(-1,1)内单调递增，在(1,3)内单调递减，在(3,+∞)上单调递增，且当x=1或x=3时,f′(x)=0，所以f(x)的极大值为f(1)=16ln2-9,极小值为f(3)=32ln2-21.若直线y=b与函数y=f(x)的图象有3个交点，当且仅当f(3)bf(1).因此，b的取值范围为(32ln2-21，16ln2-9).23变式变式变式若上例(3)变为:方程f(x)=b有一解、两个不同解、三个不同解，那么实数b的取值范围将如何？由上表不难解得b32ln2-21或b16ln2-9时有一解，b=16ln2-9或b=32ln2-21时，有两个不同的实数解；32ln2-21b16ln2-9时，方程有三个不同的实数解.24点评点评(1)运用导数求可导函数y=f(x)极值的步骤：①先求函数的定义域，再求函数y=f(x)的导函数f′(x)；②求方程f′(x)=0的根；③检查f′(x)在方程根的左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值.如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值.25（2）根据定义，极值点是区间[a,b]内部的点，不会是区间的端点a、b，且极值必须在区间内的连续点处取得.（3）一个函数在其定义域内可以有许多个极小值和极大值，且极小值与极大值没有必然的大小关系.如果函数在[a,b]上有极值的话，它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点,同样,相邻两个极小值点之间必有一个极大值点,极大值点与极小值点是交替出现的.26（4）若函数f(x)在[a,b]内有极值，则f(x)在(a,b)内绝不是单调函数，即在区间[a,b]上单调的函数没有极值.注意：可导函数的极值点必须是导数为0的点，导数为0的点不一定是极值点.可导函数f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)=0，且在x0的左侧与右侧的f′(x)的符号不同，不可导的点也可能是极值点.27题型三函数的最大值、最小值与导数例3已知函数f(x)=x3-12x+8在区间［-3,3］上的最大值与最小值分别为M,N，试求M-N的值.28f′(x)=3x2-12=3(x+2)(x-2)，令f′(x)=0，得x1=-2，x2=2.则f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表：显然，M=24，N=8，则M-N=24+8=32.x-3(-3,-2)-2(-2,2)2(2,3)3f′(x)+0-0+y=f(x)17极大值24极小值-8-129变式变式变式已知a是实数，函数f(x)=x(x-a).(1)求函数f(x)的单调区间；(2)设g(a)为f(x)在区间［0,2］上的最小值，写出g(a)的表达式.30(1)函数的定义域为［0,+∞),f′(x)=+=(x0).若a≤0，则f′(x)0,f(x)有单调递增区间［0,+∞)；若a0，令f′(x)=0，得x=，当0x时，f′(x)0,当x时，f′(x)0，故f(x)的单调递减区间为［0,］,单调递增区间为［,+∞).x2xax32xax3a3a3a3a3a31(2)若a≤0,f(x)在［0,2］上单调递增,所以g(a)=f(0)=0，若0a6,f(x)在［0,］上单调递减，在［,2］上单调递增，所以g(a)=f()=-=-.若a≥6，f(x)在［0,2］上单调递减，所以g(a)=f(2)=2(2-a).0(a≤0)-(0a6)(2-a)(a≥6).3a3a3a233aa32239a综上所述,g(a)=32239a232点评点评（1）函数的最大值和最小值是一个整体性概念，最大值必须是整个区间上所有函数值中的最大值，最小值必须是整个区间上所有函数值中的最小值.（2）函数的极值可以有多个，但最大值（最小值）只能有一个.（3）极值只能在区间内取得，最值却可以在端点处取得.33（4）一般的，在闭区间[a,b]上的连续函数f(x)必有最大值与最小值，在区间（a,b)内的连续函数不一定有最大值与最小值.若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上单调递增，则f(a)是最小值，f(b)是最大值；若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上单调递减，则f(a)是最大值，f(b)是最小值.34备选题备选题对任意的正整数n,求证:In(+1)＞-.1n21n31n令函数f（x）=x3-x2+ln（x+1），则f′（x）=3x2-2x+=.所以当x∈［0，+∞）时，f′（x）＞0，所以函数f（x）在［0，+∞）上单调递增，又f（0）=0，11x323(1)1xxx35所以x∈（0，+∞）时,恒有f（x）＞f(0)=0，即x3＞x2-ln（x+1）恒成立，故当x∈（0，+∞）时,有ln（x+1）＞x2-x3.对任意正整数n，取x=1n∈（0，+∞），则有ln（+1）＞-，所以结论成立.1n21n31n点评点评利用导数证明不等式，就是把不等式恒成立的问题通过构造函数，转化为利用导数求函数最值的问题.36方法提炼方法提炼1.求可导函数的单调区间的一般步骤和方法：(1)确定函数f