2011届新课标人教版高中第1轮总复习理科数学课件第33讲等差、等比数列的性质及综合应用

1新课标高中一轮总复习理数理数2第五单元数列、推理与证明3第33讲等差、等比数列的性质及综合应用4掌握等差、等比数列的基本性质：如（１）“成对”和或积相等问题；（２）等差数列求和S2n-1与中项an；能灵活运用性质解决有关问题.如分组求和技巧、整体运算.51.在等差数列{an}与等比数列{bn}中，下列结论正确的是()CA.a1+a9=a10,b1·b9=b10B.a1+a9=a3+a6,b1+b9=b3+b6C.a1+a9=a4+a6,b1·b9=b4·b6D.a1+a9=2a5,b1·b9=2b5当m+n=p+q时，等差数列中有am+an=ap+aq,等比数列中有bm·bn=bp·bq.62.已知等比数列{an}中，有a3a11=4a7，数列{bn}是等差数列,且b7=a7,则b5+b9等于（）CA.2B.4C.8D.16因为a3a11=a72=4a7，因为a7≠0，所以a7=4，所以b7=4.因为{bn}为等差数列，所以b5+b9=2b7=8，故选C.73.命题①:若数列{an}的前n项和Sn=an+b(a≠1),则数列{an}是等比数列;命题②:若数列{an}的前n项和Sn=an2+bn+c(a≠0),则数列{an}是等差数列;命题③：若数列{an}的前n项和Sn=na-n,则数列{an}既是等差数列，又是等比数列.上述三个命题中，真命题有()AA.0个B.1个C.2个D.3个8由命题①得，a1=a+b,当n≥２时，an=Sn-Sn-1(a-1)·an-1.若{an}是等比,数列则=a,即=a,所以只有当b=-1且a≠0时，此数列才是等比数列.由命题②得,a1=a+b+c,当n≥２时，an=Sn-Sn-1=2na+b-a.若{an}是等差数列，则a2-a1=2a,即2a-c=2a,所以只有当c=0时，数列{an}才是等差数列.由命题③得，a1=a-1,当n≥２时，an=Sn-Sn-1=a-1,显然{an}是一个常数列，即公差为0的等差数列，因此只有当a-1≠0，即a≠１时，数列{an}才又是等比数列.21aa(1)aaab94.(1)等差数列的前n项的和为54，前2n项的和为60，则前3n项的和为；(2)等比数列的前n项和为54，前2n项的和为60，则前3n项的和为.186023(1)由等差数列性质,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等差数列，则2(S2n-Sn)=Sn+S3n-S2n，解得S3n=18.(2)由等比数列性质,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等比数列,则(S2n-Sn)2=Sn·(S3n-S2n)，解得S3n=60.23105.已知数列{an}、{bn}分别为等差、等比数列，且a1=b10，a3=b3，b1≠b3，则一定有a2b2，a5b5（填“”“”“=”).(方法一)由中项性质和等比数列性质知b10，b30，又b1≠b3，a2===|b2|，故a2b2；同理，a5=2a3-a1，b5=，所以b5-a5=-(2b3-b1)==0,即b5a5.132aa132bb13bb231bb231bb22331112bbbbb2311()bbb11(方法二)通项与函数关系.因为an=dn+(a1-d)为关于n的一次函数，bn=a1·qn-1=·qn为关于n的类指数函数.当d0，如图1；当d0时，如图2.易知a2b2，a5b5.1aq121.等差数列的性质(1)当公差d≠0时,等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d=dn+a1-d是关于n的一次函数,且斜率为公差d;前n项和Sn=na1+=n2+(a1-)n是关于n的二次函数，且常数项为0.(2)若公差①，则为递增等差数列，若公差②,则为递减等差数列,若公差③,则为常数列.(1)2nn2d2dd0d0d=013(3)当m+n=p+q时,则有④,特别地,当m+n=2p时，则有am+an=2ap.(4)若{an}是等差数列，则{kan}(k是非零常数)，Sn,S2n-Sn,S3n-S2n，…也成等差数列，而{aan}(a≠0)成等比数列；若{an}是等比数列，且an0，则{lgan}是等差数列.(5)在等差数列{an}中，当项数为偶数2n时;S偶-S奇=⑤;项数为奇数2n-1时;S奇-S偶=⑥，S2n-1=(2n-1)·a中(这里a中即an);S奇∶S偶=(k+1)∶k.am+an=ap+aqnda中14(6)若等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为An、Bn,且=f(n),则===f(2n-1).(7)“首正”的递减等差数列中,前n项和的最大值是所有⑦之和;“首负”的递增等差数列中,前n项和的最小值是所有⑧之和.(8)如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数.nnABnnab(21)(21)nnnanb2121nnAB非负项非正项152.等比数列的性质(1)当m+n=p+q时，则有⑨,特别地，当m+n=2p时，则有am·an=ap2.(2)若{an}是等比数列，则{kan}成等比数列；若{an}、{bn}成等比数列，则{anbn}、{}成等比数列;若{an}是等比数列,且公比q≠-1,则数列Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…也是⑩数列.当q=-1,且n为偶数时,数列Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…是常数数列0,它不是等比数列.am·an=ap·aqnnab等比16(3)若a10,q1,则{an}为数列；若a10,q1,则{an}为数列;若a10,0q1,则{an}为递减数列；若a10,0q1，则{an}为递增数列；若q0,则{an}为摆动数列；若q=1,则{an}为数列.(4)当q≠１时,Sn=qn+=aqn+b,这里a+b=0，但a≠0，b≠0，这是等比数列前n项和公式的一个特征，据此很容易根据Sn判断数列{an}是否为等比数列.11递增12递减13常11aq11aq17(5)Sm+n=Sm+qmSn=Sn+qnSm.(6)在等比数列{an}中，当项数为偶数2n时，S偶=；项数为奇数2n-1时,S奇=a1+qS偶.(7)如果数列{an}既成等差数列又成等比数列，那么数列{an}是非零常数数列，故常数数列{an}仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件.14qS奇18题型一“成对下标和”性质典例精讲典例精讲例1(1)已知数列{θn}为等差数列,且θ1+θ8+θ15=2π，则tan(θ2+θ14)的值是（）A.B.-C.D.-333333A19(2)(2009·广东卷)已知等比数列{an}满足an0,n=1,2,…，且a5·a2n-5=22n(n≥3),则当n≥1时,log2a1+log2a3+…+log2a2n-1=()A.n(2n-1)B.(n+1)2C.n2D.(n-1)2(1)因为θ1+θ8+θ15=2π，且{θn}成等差数列，则θ1+θ15=2θ8，故θ8=.于是tan(θ2+θ14)=tan2θ8=tan=.23433C20(2)因为a5·a2n-5=22n(n≥3),且{an}成等比数列,则a1·a2n-1=a3·a2n-3=a5·a2n-5=…=22n=an2.令S=log2a1+log2a3+…+log2a2n-1，则S=log2a2n-1+…+log2a3+log2a1,所以2S=log2[(a1·a2n-1)(a3·a2n-3)…(a2n-3·a3)(a2n-1·a1)]=log2(22n)n,所以2S=2n·n，所以S=n2.21点评点评本题是等差、等比的求值题，难点是找条件和目标之间的对应关系.解题时，根据等差、等比数列的“成对下标和”性质，列出方程或多个恒等式是解题的关键.一般的，对于涉及等差、等比数列的通项公式的条件求值题，合理利用通项或相关性质进行化归是基本方法.22变式变式变式(2010·湖北省模拟)设数列{an}、{bn}都是正项等比数列，Sn、Tn分别为数列{lgan}与{lgbn}的前n项和,且=,则logb5a5=.nnST21nn由题知，====logb5a5logb5a5=.99ST129129lg()lg()aaabbb9595lglgab55lglgab91991923题型二部分“和”“积”与整体性质例2(1)等差数列{an}中,a9+a10=a,a19+a20=b,求a99+a100.(2)在等比数列{an}中,若a1·a2·a3·a4=1,a13·a14·a15·a16=8,求a41·a42·a43·a44.24(1)将相邻两项和a1+a2,a3+a4,a5+a6,…,a99+a100分别记为b1,b2,b3,…,b50,可知{bn}成等差数列.此数列的公差d==.a99+a100=b50=b5+45·d=a+×45=9b-8a.105105bb5ab5ab25(2)(方法一)a1·a2·a3·a4=a1·a1q·a1q2·a1q3=a14·q6=1.①a13·a14·a15·a16=a1q12·a1q13·a1q14·a1q15=a14·q54=8.②②÷①得，=q48=8q16=2.又a41·a42·a43·a44＝a1q40·a1q41·a1q42·a1q43=a14q166=a14·q6·q160=(a14q6)·(q16)10=1·210=1024.4541461aqaq26(方法二)由性质可知，依次４项的积为等比数列，设公比为q,T1=a1·a2·a3·a4=1,T4=a13·a14·a15·a16=8,所以T4=T1·q3=1·q3=8q=2,所以T11＝a41·a42·a43·a44=T1·q10=1024.点评点评巧用性质，减少运算，在有关等差、等比数列的计算中非常重要.如（１）（2）小题巧用性质，构造一个新的等差或等比数列求解.27题型三等差、等比数列性质的综合应用例3已知等比数列{xn}的各项为不等于１的正数，数列{yn}满足ynlogxna=2(a0,a≠1)，设y3=18,y6=12.(1)求数列{yn}的前多少项和最大,最大值为多少?(2)试判断是否存在自然数，使当nM时，xn1恒成立？若存在，求出相应的M值；若不存在，请说明理由；(3)令an=logxnxn+1（n13,n∈N*），试判断数列{an}的增减性？28(1)由已知得，yn=2logaxn.设等比数列{xn}的公比为q(q≠１)，由yn+1-yn=2(logaxn+1-logaxn)=2loga=2logaq,得{yn}为等差数列，设公差为d.因为y3=18,y6=12,所以d=-2,所以yn=y3+(n-3)d=24-2n.yk+1≤0yk≥0所以前11项与前12项和为最大,其和为132.1nnxx设前k项和为最大,则11≤k≤12,y12=0,29(2)xn=a12-n,n∈N*.若xn1，则a12-n1.当a1时，n12，显然不成立；当0a1时，n12,所以存在M=12,13,14,…,当nM时，xn1.(3)an=logxnxn+1=loga12-na12-(n+1)=.因为an+1-an=-=,又n13,所以an+1an.所以n13时，数列{an}为递减数列.1112nn1011nn1112nn1(11)(12)nn本小题主要考查等差、等比数列的有关知识，考查运用方程、分类讨论等思想方法进行分析、探索及解决问题的能力.点评点评30备选题备选题在数列{an}中，a1=1,a2=2,且an+1=(1+q)·an-qan-1(n≥2,q≠0).(1)设bn=an+1-an(n∈N*),证明：{bn}是等比数列；(2)求数列{an}的通项公式；(3)若a3是a6与a9的等差中项，求q的值，并证明：对任意的n∈N*,an是an+3与an+6的等差中项.31(1)证明:由题设an+1=(1+q)an-qan-