连续小波变换

连续小波变换小波及连续小波变换常用的基本小波时频分析连续小波变换的计算小波变换的分类小波及连续小波变换12()()tLRLR设函数，并且ˆ(0)0，即()0tdt，则称()t为一个基本小波或母小波。,1()()abtbtaa,abR0a(连续)小波函数a和b的意义,22()()abtt,1(,)()(),fabtbWTabftdtfaa1/21(,)()()aftbWTabftdtafbaa性质：线性性质平移不变性……….小波及连续小波变换12()()tLRLR设函数则称()t为一个允许小波。,若2ˆ()cd允许条件与ˆ(0)0几乎是等价条件.,211()(,)()fabftWTabtdadbca常用的基本小波1.Haar小波101/2()11/210ttt其它/224ˆ()sin/4iie1112()t01常用的基本小波2.Daubechies小波D4尺度函数与小波012345-0.4-0.200.20.40.60.811.21.4-2-10123-1.5-1-0.500.511.52D6尺度函数与小波常用的基本小波3、双正交小波双正交B样条小波（5-3）、（9-7）小波滤波器bior2.2,bior4.4（7-5）小波滤波器:111311,,,,824282h~2,2nnnnphqh2022221222222232021438245182411644281212qpqqqpqqpqqqpqqqq13355533,,,,,,164162164162h常用于图形学中。其中尺度函数是一个三次B样条。常用的基本小波4.Morlet小波20/2()itttee20()/2ˆ()2eMorlet小波不存在尺度函数;快速衰减但非紧支撑.Morlet小波是Gabor小波的特例。2221/421titgtetgteGabor小波Morlet小波1,5常用的基本小波5.高斯小波2/212ttte2/2ˆie()tˆ()这是高斯函数的一阶导数，在信号与图象的边缘提取中具有重要的应用。主要应用于阶梯型边界的提取。特性：指数级衰减，非紧支撑；具有非常好的时间频率局部化；关于0轴反对称。常用的基本小波6.Marr小波ˆ()这是高斯函数的二阶导数，在信号与图象的边缘提取中具有重要的应用。主要应用于屋脊型边界和Dirac边缘的提取。22/22()(1)3ttte242/222ˆ()3e（也叫墨西哥草帽小波）特性：指数级衰减，非紧支撑；具有非常好的时间频率局部化；关于0轴对称。t常用的基本小波7.Meyer小波它的小波函数与尺度函数都是在频域中进行定义的。具体定义如下：122324sin12233348ˆ12433280,332cosivve423358470200,1vtttttt12122233242cos12233403ˆvtˆ()常用的基本小波8.Shannon小波sin1/2sin21/21/2tttt/21,2ˆ0,ie其它在时域，Shannon小波是无限次可微的，具有无穷阶消失矩，不是紧支的，具有渐近衰减性但较缓慢；在频域，Shannon小波是频率带限函数，具有好的局部化特性。t常用的基本小波9.Battle-Lemarie样条小波2242224ˆˆ12sin164sin241sin38sin8sin34441ˆ()()()222igeBattle-Lemarie线性样条小波及其频域函数的图形t时频分析1.Fourier分析简介Fourier变换没有反映出随时间变换的频率，也就是说，对于频域中的某一频率，我们不知道这个频率是在什么时候产生的。因此，Fourier分析缺乏信号的局部化分析能力。2.短时Fourier变换短时Fourier变换的基本思想是：把信号划分成许多小的时间间隔，用Fourier变换分析每个时间间隔，以便确定在该时间间隔内的频谱信息。非平凡函数2()wLR称为窗函数，如果2twtLR1101()0tNt其它值101/2()11/210Httt其它01220tttt对对1其它241()2taagtea2()Nt0a2221()ttwtdtw1/22221()()wttwtdtw窗口Fourier变换2ww通常我们用作为窗函数的宽度的度量。,itfSbftgtbedt窗口Fourier变换：大致反映了ft在时刻b、频率为的信号成分的相对含量。窗口Fourier变换*,,,,fbbSbfWftWtdt,()itbWtegtb,fSb给出了ft在,bW的时间窗**,ggtbtb内的局部化信息。短时Fourier变换gtˆg若及其Fourier变换都是窗口函数，则称,fSb为短时Fourier变换。,fSb同时给出了ft在时间窗**,ggtbtb内的局部化信息。特别地，当窗口函数取Gaussian函数时，相应的短时Fourier变换称为Gabor变换。和频率窗*ˆ,g*ˆg时间-频率窗**,ggtbtb*ˆ,g的特性：不变的宽度*ˆg和固定的窗面积2gˆ4gg测不准原理：ˆ12gg应用上的局限性：不太适合分析非平稳信号。小波时频分析小波分析能够提供一个随频率改变的时间-频率窗口。假设是任一基本小波，并且与ˆ都是窗函数，与半径分别为它们的中心tˆ，，和。不妨设和尺度a都是正数。1(,)()()batafbatatbWTabftdtaa给出了ft在时间窗(,)fWTab内的局部化信息。,1ˆˆ(,),2fabWTabfˆˆ()()2ibafead给出了ft在频域窗(,)fWTab内的局部化信息。ˆ,aaˆaa,batabata小波时频分析内的局部化信息,ˆ,aaˆaa/a(,)fWTabt若用作为频率变量，则给出了信号在时间—频率平面（平面）中一个矩形的时间—频率窗,batabata即小波变换具有时—频局部化特征。120aa2a窗宽:面积:,aba的宽度是宽度的倍.检测信号ft的高频成分需用具有比较小的0a的分析小波,ab变窄，并在高频区域对信号进行细节分析..这时时间窗会自动ˆ4各种变换的比较小波变换的特性分解种类：时间-尺度或时间-频率分析函数：具有固定震荡次数的时间有限的波。小波函数的伸缩改变其窗口大小。变量：尺度，小波的位置信息：窄的小波提供好的时间局部化及差的频率局部化，宽的小波提供好的频率局部化及差的时间局部化。适应场合：非平稳信号Fourier变换的特性分解种类：频率分析函数：正弦函数，余弦函数变量：频率信息：组成信号的频率适应场合：平稳信号算法复杂度：短时Fourier变换的特性分解种类：时间-频率分析函数：由三角震荡函数复合而成的时间有限的波变量：频率，窗口的位置信息：窗口越小，时间局部化越好，其结果是滤掉低频成分；窗口越大，频率局部化越好,此时时间局部化较差.适应场合：次稳定信号连续小波变换的计算数值近似积分法、快速算法（包括Mellin算法，斜交投影算法等）在Matlab小波工具箱中，用cwt（）函数计算连续小波变换。连续小波变换的结果的显示方式：灰度表示，三维表示0102030405060708090100-0.4-0.200.20.40.60.811.21.41.6sin(5.89),01sin(8.83),12sin(5.89)sin(8.83),230,3ttttfttttt连续小波变换与离散小波变换在分析信号时的优缺点2,4,8,16,321，2，…,32小波变换的分类,()abt,,abt中三个变量均为连续变量，离散化条件对小波及小波变换进行分类。下面介绍两种最重要的分类：通过对它们施加不同的离散小波及离散（参数）小波变换：二进小波及二进小波变换只对a,b离散化：只对a离散化离散小波及离散（参数）小波变换令参数2ja，2jbk，其中,jkZ，则离散（参数）小波为：/22,2()2(2)jjjjkttk在这种情况下，常用,()jkt记2,2jjk，即/2,()2(2)jjjkttk相应于离散小波的离散（参数）小波变换为：,()jkt,(,):,fjkWTjkf重构问题：()t在满足什么条件下，可以由离散小波变换,,,jkjkZf重构原信号？可以验证，离散（参数）小波变换不具有平移不变性（习题6.4）。离散小波及离散（参数）小波变换的进一步讨论尺度离散化：实际工作中最常见的情况是,将尺度a按照二进尺度离散化,此时a取值为位移离散化：当a=2-J(也就是j=J时),b可以某一基本间隔b0做均匀采样.b0应适当选择使信息仍能覆盖全b轴而不丢失(如不低于Nyquist采样率).每经过一次小波变换,其采样间隔扩大一倍,由此可见此时a-b平面内的采样点如下图所示.2,,1,,0jajJJ02345671ln2j0kb离散小波及离散（参数）小波变换的进一步讨论,()abt变为/2022jjtkb,为简化书写,通常认为b0=1,以归一.并记/2,22jjjkttk即对于分辨率j,b以采样间隔1/2jb0做均匀采样.此时,也就是把b轴用b0加问题:如何利用db2小波的支撑解释突变点的支撑区间?[2.7890625,2.828125]二进小波变换连续二进小波变换二进小波的构造及一些常用的二进小波离散二进小波变换的快速算法二维二进小波变换及其快速算法二进小波及二进小波变换在连续小波变换中，令参数2ja，jZ，而参数b仍取连续值.则有二进小波：/22,()22()jjjbttb这时，2()()ftLR的二进小波变换定义为：/2(2,)2()2()jjjfWTbfttbdt重构问题：()t在满足什么条件下，可以由二进小波变换重构原信号？2,|,jfWTbjZbR二进小波及二进小波变换卷积定义:假定小波函数为实函数,尺度符号改用s表示,相应于,Wfsu,su的连续小波变换记为.当2,jsjZ时，连续二进小波变换为：/222,2jjjWfufu其中，22122jjjjttt重构问题：()t在满足什么条件下，可以由二进小波变换重构原信号？