第8讲・数学一轮课件・2008年全品高考复习方案

第八讲函数的奇偶性和周期性复习目标及教学建议基础训练知识要点双基固化能力提升规律总结复习目标理解函数奇偶性的概念，了解函数周期性的定义，掌握函数奇偶性和周期性的判定方法和图象特征；会利用函数奇偶性、周期性，分析、探究函数值、性质及图象等问题.教学建议本讲的教学重点：一是理解并掌握函数的奇偶性、周期性的定义，判断方法及图象特征；二是“两个性质”的期性和奇偶性，这个问题到复习三角函数时再重点讲评.复习目标及教学建议2008高考复习方案基础训练1．A，B，C，D表示四个函数中，是奇函数非偶函数的是（是偶函数非奇函数的是（既是奇函数，又是偶函数的是（既非奇函数，又非偶函数的是（A．y=1，x∈RB．y=C．y=x2，x∈［0，1］D．y=DCAB39x2211xx【解析】依据奇偶函数的定义逐个判断.第八讲函数的奇偶性和周期性2（1f(x)是奇函数，f(x)在x=0处有定义，则f(0)=0；（2（3）奇函数f(x)与偶函数g(x)的定义域的交集为非空集合，则函数f(x)·g(x)（4）若函数f(x)的图象关于y轴对称，则f(x)一定是偶函数.正确命题的个数有（A．1个B．2个C．3个D．4个2008高考复习方案Ｄ第八讲函数的奇偶性和周期性3．若y=f（x）（x∈R）是奇函数，则下列坐标表示的点在函数y=f（x）的图象上是（A．(a，-f(a))B．(-a，-f(a))C．(-a，-f(-a))D．(a，f(-a))2008高考复习方案B【解析】（1）正确，由f(x)是奇函数，有f(0)=-f(0)，所以f(0)=0（2（3）正确（由此可总结奇偶函数的运算性质）；（4）正确（由此可总结奇偶函数的图象特征）.故选D.第八讲函数的奇偶性和周期性4．函数f(x)是周期为4的偶函数，且当x∈［2，4］时，f(x)=4-x，则f(-7.4)=.【解析】奇函数的图象关于原点成中心对称图形，因为点(a,f(a))在y=f(x)的图象上，那么它关于原点对称点(-a，-f(a))也必在y=f(x)的图象上.2008高考复习方案0.6【解析】f(-7.4)=f(8-0.6)=f(-0.6)=f(3.4)=4-3.4=0.6.第八讲函数的奇偶性和周期性【解析】∵f(x)是奇函数，且x∈R，则f(0)=0，即lg-lgb=0,得b=.又由f(-1)=-f(1),得lg[+a]-lg=-lg+lg即lg(+a)+lg(-a)=2lg则(+a)(-a)=2，即3-a2=2，∴a=±1.5．若f(x)=lg（-ax）-lgb是定义在R上的奇函数，则实数a=，b=.2008高考复习方案212±1222x222222(1)23333第八讲函数的奇偶性和周期性2008高考复习方案5．若f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x-2)=-f(x)，给出下列4（1）f(2)=0（2）f(x)是以4（3）f(x)的图象关于直线x=0（4）f(x+2)=f(-x).其中所有正确结论的序号是.①②④第八讲函数的奇偶性和周期性2008高考复习方案【解析】∵f(x-2)=-f(x)且f(x)∴f(-2)=-f(0)=0，∴f(2)=-f(-2)=0.又由f(x-2)=-f(x)得f(x+4)=-f［(x+4)-2］=-f(x+2)=f［(x+2)-2］=f(x)，∴T=4是周期而y=f(x)不一定是偶函数.∴y=f(x)图象不一定关于x=0对称，（3）错.∵f(x)是奇函数，∴f(x+2)=-f(-x-2)=-［-f(-x)］=f(-x).第八讲函数的奇偶性和周期性2008高考复习方案知识要点1．函数的奇偶性（1）若对定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)（或f(-x)=f(x)）成立，则称f(x)为奇函数(或偶函数).显然，函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.（2）如果一个奇函数f(x)在x=0处有定义，那么f(0)=0；如果一个函数既是奇函数又是偶函数，则其值域为{0}但逆命题不成立.（3）奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称.第八讲函数的奇偶性和周期性2008高考复习方案（4）两个奇(偶)函数之和、差为奇(偶)函数；两个奇（偶）函数之积、商是偶函数；一个奇函数与一个偶函数之积或商是奇函数.2．周期函数对于函数f(x)定义域内的每一个x，都存在一个非零常数T，使得f(x+T)=f(x)恒成立，则称函数f(x)具有周期性，T叫做f(x)的一个周期.第八讲函数的奇偶性和周期性例1判断下列各函数的奇偶性.2008高考复习方案双基固化1．判断函数的奇偶性第八讲函数的奇偶性和周期性2008高考复习方案【解析】（1）先看此函数的定义域：(-∞，0)∪（0，+∞），关于原点对称.又f(x)=lg(x2·)=lg1=0(x≠0)满足f(-x)=f(x)，又满足f(-x)=-f(x)，∴f(x)既是奇函数又是偶函数.（2）由≥0得定义域为［-1，1），关于原点不对称，故f(x)为非奇非偶函数.（3）由1-x2＞0|x2-2|-2≠0得定义域为（-1，0）∪（0，1），∴f(x)为偶函数.21x11xx第八讲函数的奇偶性和周期性2008高考复习方案【总结】（1）定义法：定义域若不关于原点对称，立即可以判定这个函数既不是奇函数也不偶函数.若定义域关于原点对称，再判断f(-x)是否等于f(x)或-f(x)，或应用定义的等价形式f(-x)=±f(x)f(x)±f(-x)=0=±1(f(x)≠0).（2）图象法：利用奇（偶）函数的充要条件是它的图象关于原点(或y轴)对称进行判断.()()fxfx第八讲函数的奇偶性和周期性2008高考复习方案（3）性质法：偶函数的和、差、积、商（分母不为零）仍为偶函数；奇函数的和、差仍为奇函数.奇（偶）数个奇函数的积、商（分母不为零）为奇（偶）函数，一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数.若f(x)的定义域关于原点对称，则F1(x)=f(x)+f(-x)为偶函数，F2(x)=f(x)-f(-x)是奇函数.对于第（2）题，若先化简：f(x)=-，将扩大函数的定义域，作出错误的判断.对于第（4）小题也可以利用图象法判断.221(1)11xxxx第八讲函数的奇偶性和周期性2008高考复习方案2．函数奇偶性的应用例2已知y=f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=x2-2x，求f(x)在R上的表达式.（2）已知函数y=f(x)是偶函数，y=g(x)是奇函数，它们的定义域为［-π，π］，且它们在［0，π］上的图象如图，求不等式＜0的解集.()()fxgx第八讲函数的奇偶性和周期性2008高考复习方案【解析】（1）现已知f(x)在［0，+∞)的解析式，要求f(x)在R上的表达式，即是求f(x)在x＜0x＜0，则-x＞0，有f(-x)=(-x)2-2(-x)=x2+2x，又y=f(x)是奇函数，∴f(-x)=-f(x)，即-f(x)=x2+2x∴f(x)=-x2-2x(x＜0），x（x-2）（x≥0），∴f(x)=x（-x-2）（x＜0即f（x）=x(|x|-2)(x∈R).第八讲函数的奇偶性和周期性2008高考复习方案（2）由奇偶函数的对称性可知：f(x)与g(x)在［-π，π］的图象如图：第八讲函数的奇偶性和周期性2008高考复习方案【小结】1．求奇偶函数的解析式通常用区间转换法（未知区间向已知区间转化）或图象法（利用奇、偶函数的图象对称性，由已知区间上的图象作出函数在未知区间上的图象，再由图象求解析式）.如例1.2．求解函数与不等式综合问题应充分利用函数的图象（尤其是奇、偶函数问题）即数形结合求解.如例2.第八讲函数的奇偶性和周期性例3[2005年·广东卷]对函数f(x)，当x∈(-∞,∞)时，f(2-x)=f(2+x)，f(7-x)=f(7+x)，在闭区间［0，7］上，只有f(1)=f(3)=0.（1）试判断函数y=f(x)（2）试求方程f(x)=0在闭区间［-2005，2005］上的根的个数，并证明你的结论.2008高考复习方案能力提升3．函数的奇偶性、周期性的综合应用第八讲函数的奇偶性和周期性2008高考复习方案【分析】由已知f(2+x)=f(2-x)，f(7-x)=f(7+x)知f(x)的图象有两条对称轴x=2和x=7，从而知f(x)是周期为10的周期函数，又在区间［0，7］上，只有(1)=f(3)=0，画图易知，它是非奇非偶函数，且在一个周期［0，10）上只有2个根，故易求得方程f(x)=0在［-2005，2005］的根的个数.【解析】（1）由已知得f(0)≠0，∴f(x)不是奇函数.又由f(2-x)=f(2+x)，得函数y=f(x)的对称轴为x=2，∴f(-1)=f(5)≠0，∴f(-1)≠f(1)，∴f(x)不是偶函数.故函数y=f(x)是非奇非偶函数.第八讲函数的奇偶性和周期性（2）由f（2-x）=f（2+xf（x）=f（4-x）f（7-x）=f（7+x）f（x）=f（14-x）f(4-x)=f(14-x)f(x)=f(x+10)，从而知y=f(x)的周期是10.又f(3)=f(1)=0，f(11)=f(13)=f(-7)=f(-9)=0故f(x)在［0，10］和［-10，0］上均有两个解，从而可知函数y=f(x)在［0，2005］上有402个解，在［-2005，0］上有400个解，所以函数y=f(x)在［-2005，2005］上有802个解.2008高考复习方案第八讲函数的奇偶性和周期性2008高考复习方案【小结】1．本题主要考查函数的对称性、周期性、奇偶性、方程的根等基础知识，以及函数与方程，化归与转化等数学思想方法和逻辑推理能力，运算能力等.2．函数的奇偶性与周期性是函数的两个重要性质，它们又存在着一定的联系，特别是存在两条与y轴平行的对称轴的函数，一定是一个周期函数，且最小正周期就是相邻两条对称轴之间距离的22）问的关键发现f(x)是以10为周期的周期函数.第八讲函数的奇偶性和周期性1．函数的奇偶性、周期性是在整个定义域内讨论的整体性质，要正确理解奇函数与偶函数、周期函数的定义，（1）奇、偶函数的定义域关于原点对称，周期函数的定义域无界的.（2）f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)和f(x+T)=f(x)(T≠0)是定义域上的恒等式.（3）若T是f(x)的一个周期，则kT(k≠0，k∈Z)也f(x)的周期.2008高考复习方案规律总结第八讲函数的奇偶性和周期性2．f(x)f(x)的图象关于原点对称；f(x)为偶f(x)的图象关于y轴对称；f(x)是周期函数，则f(x)的图象周期性重复出现.3．判断函数的奇偶性的方法：定义法、图象法、性质法.4．函数的奇偶性与周期性是函数的两个重要性质，它们又存在着一定的联系，特别是存在两条对称轴的函数，一定是一个周期函数，且最小正周期是相邻两条对称轴之间距离的2倍.2008高考复习方案第八讲函数的奇偶性和周期性