2012届高考数学二轮复习精品课件(课标版)专题6 第20讲 离散型随机变量及其分布列

第20讲离散型随机变量及其分布列第20讲离散型随机变量及其分布列主干知识整合第20讲│主干知识整合1．离散型随机变量的分布列它具有两条基本性质：(1)pi≥0(i＝1,2，…，n)；(2)p1＋p2＋…＋pn＝1，即总概率为1；(3)离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它在这个范围内各个值的概率之和．2．超几何分布列3．条件概率和独立事件、二项分布(1)条件概率；(2)事件的独立性；(3)独立重复实验和二项分布：此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率．第20讲│主干知识整合4．离散型随机变量的均值和方差(1)均值：性质E(Y)＝E(aX＋b)＝aE(X)＋b.若X服从两点分布，则E(X)＝p.若X服从二项分布，即X～B(n，p)，则E(X)＝np.(2)方差：性质D(aX＋b)＝a2D(X)．若X服从两点分布，则D(X)＝p(1－p)．若X～B(n，p)，则D(X)＝np(1－p)．5．正态分布(1)概念；(2)正态曲线的六个特点．要点热点探究第20讲│要点热点探究►探究点一相互独立事件与独立重复试验例1一台仪器每启动一次都随机地出现一个5位的二进制数A＝a1a2a3a4a5，其中A的各位数字中，a1＝1，ak(k＝2,3,4,5)出现0的概率为13，ak(k＝2,3,4,5)出现1的概率为23，记X＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5(例如：A＝10001，其中a1＝a5＝1，a2＝a3＝a4＝0，且X＝2)．当启动仪器一次时，(1)求X＝3的概率；(2)求当X为何值时，其概率最大．【分析】(1)X＝3的含义是在a2，a3，a4，a5中出现2个0,2个1，由于各个数字1出现的概率相同，故是四次独立重复试验恰好成功两次的概率；(2)可以具体计算X取各个值的概率，然后进行比较．第20讲│要点热点探究【解答】(1)由题意得：P(X＝3)＝C24132232＝827.(2)P(X＝1)＝C04134＝181，P(X＝2)＝C14231133＝881，P(X＝3)＝2481，P(X＝4)＝C3413233＝3281，P(X＝5)＝C44234＝1681，X＝4的概率最大，最大值为3281.第20讲│主干知识整合【点评】如果x～B(n，p)，其中0p1，那么使P(x＝k)取得最大值时的k值满足p(n＋1)－1≤k≤p(n＋1)．这是因为当P(x＝k)取得最大值时，要同时满足Px＝kPx＝k－1≥1，Px＝kPx＝k＋1≥1，即Cknpk1－pn－kCk－1npk－11－pn－k＋1≥1，Cknpk1－pn－kCk＋1npk＋11－pn－k－1≥1，即n！k！n－k！pn！k－1！n－k＋1！1－p≥1，n！k！n－k！1－pn！k＋1！n－k－1！p≥1，即n－k＋1pk1－p≥1，k＋11－pn－kp≥1，即k≤p(n＋1)，k≥p(n＋1)－1，即p(n＋1)－1≤k≤p(n＋1)，所以当(n＋1)p为正整数时有两个k值．本题中的k值满足23×5－1≤k≤103，即k＝3，但ξ＝k＋1，故ξ＝4时其概率最大．第20讲│要点热点探究(1)[2011·湖南卷]如图20－1，EFGH是以O为圆心、半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”，则①P(A)＝________；②P(B|A)＝________.图20－1（2）[2011·湖北卷]如图20－2，用K、A1、A2三类不同的元件联结成一个系统，当K正常工作且A1、A2至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知K、A1、A2正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为()图20－2A．0.960B．0.864C．0.720D．0.576第20讲│主干知识整合(1)①2π②14(2)B【解析】(1)①S圆＝π，S正方形＝(2)2＝2，根据几何概型的求法有：P(A)＝S正方形S圆＝2π；②由∠EOH＝90°，S△EOH＝14S正方形＝12，故P(|BA)＝S△EOHS正方形＝122＝14.（2）解法1：由题意知K，A1，A2正常工作时的概率分别为P(K)＝0.9，P()A1＝0.8，P()A2＝0.8，又K，A1，A2相互独立，所以A1，A2至少有一个正常工作的概率为PA1A2＋PA1A2＋P()A1A2＝1－0.8×0.8＋0.8×1－0.8＋0.8×0.8＝0.96，所以系统正常工作的概率为P()KPA1A2＋PA1A2＋P()A1A2＝0.9×0.96＝0.864.解法2：因为A1，A2至少有一个正常工作的概率为1－PA1A2＝1－1－0.81－0.8＝0.96，所以系统正常工作的概率为P(K)1－PA1A2＝0.9×0.96＝0.864.第20讲│要点热点探究►探究点二随机变量的分布列、数字特征例2甲、乙两人进行围棋比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为pp12，且各局胜负相互独立．已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为59.(1)求p的值；(2)设X表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量X的分布列和数学期望E(X)．【分析】(1)已知说明甲连续胜两局或者乙连续胜两局，根据已知的概率列方程即可求出p值；(2)比赛可以进行2局结束，题目已经给出这个概率值，根据比赛要求比赛不能进行3局即结束，这时只能是一个得2分、一个得1分，不符合要求，比赛可以4局结束，此时一个得3分、一个得1分，比赛不能5局结束，比赛5局时，只能是一个得3分、一个得2分，这时不管第六局比赛结果如何，比赛结束．第20讲│要点热点探究【解答】(1)当甲连胜2局或乙连胜2局时，第二局比赛结束时比赛停止，故p2＋(1－p)2＝59，解得p＝23或p＝13.又p12，故p＝23.(2)由题意知X的所有可能取值为2,4,6，设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为59，若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响，从而有P(X＝2)＝59，P(X＝4)＝1－59×59＝2081，P(X＝6)＝1－59×1－59×1＝1681，则随机变量X的分布列为X246P5920811681故E(X)＝2×59＋4×2081＋6×1681＝26681.第20讲│要点热点探究在一个圆锥体的培养房内培养了40只蜜蜂，准备进行某种实验，过圆锥高的中点有一个不计厚度且平行于圆锥底面的平面把培养房分成两个实验区，其中小锥体叫第一实验区，圆台体叫第二实验区，且两个实验区是互通的．假设蜜蜂落入培养房内任何位置是等可能的，且蜜蜂落入哪个位置相互之间是不受影响的．(1)求蜜蜂甲落入第二实验区的概率；(2)若其中有10只蜜蜂被染上了红色，求恰有一只红色蜜蜂落入第二实验区的概率；(3)记X为落入第一实验区的蜜蜂数，求随机变量X的数学期望E(X)和方差D(X)．第20讲│要点热点探究第20讲│要点热点探究第20讲│要点热点探究►探究点三正态分布例3设随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，函数f(x)＝x2＋4x＋ξ没有零点的概率是12，则μ＝()A．1B．4C．2D．不能确定【分析】根据函数f(x)＝x2＋4x＋ξ没有零点，得到ξ的范围，再根据正态密度曲线的对称性求解．B【解析】根据题意函数f(x)＝x2＋4x＋ξ没有零点时，Δ＝16－4ξ0，即ξ4，根据正态密度曲线的对称性，当函数f(x)＝x2＋4x＋ξ没有零点的概率是12时，μ＝4.第20讲│要点热点探究已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，P(ξ≤4)＝0.84，则P(ξ≤0)＝()A．0.68B．0.32C．0.16D．0.84C【解析】正态密度曲线关于直线x＝2对称，故P(ξ≤0)＝P(ξ4)＝1－P(ξ≤4)＝0.16.第20讲│要点热点探究►创新链接10概率计算技巧在概率中，事件之间有两种最基本的关系，一种是事件之间的互斥(含两个事件之间的对立)，一种是事件之间的相互独立的，互斥事件至少有一个发生的概率等于各个事件发生的概率之和，相互独立事件同时发生的概率等于各个事件各自发生的概率之积，在概率计算中正确地把随机事件进行分拆是正确解决问题的根本所在．把随机事件分拆成若干个互斥事件的和、把随机事件分拆成若干个相互独立事件的乘积是比较单纯的，在概率计算中一个极为重要的技巧就是把一个随机事件首先分拆成若干个互斥事件的和，再把其中的每个小事件分拆成若干个相互独立事件的乘积，在这个过程中还可以根据对立事件的关系进行转化，这是概率计算的关键技巧．第20讲│要点热点探究例4[2011·山东卷]红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A、B、C进行围棋比赛，甲对A、乙对B、丙对C各一盘，已知甲胜A、乙胜B、丙胜C的概率分别为0.6，0.5，0.5.假设各盘比赛结果相互独立．(1)求红队至少两名队员获胜的概率；(2)用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求ξ的分布列和数学期望Eξ.【分析】(1)“至少”包含两名及两名以上，处理“至少”问题正面不易解决时可以从反面考虑；(2)问关键是分布列求出后核实其数据的正确性．【解答】(1)设甲胜A为事件D，乙胜B为事件E，丙胜C为事件F，则D，E，F分别表示事件甲不胜A、事件乙不胜B、事件丙不胜C.因为P(D)＝0.6，P(E)＝0.5，P(F)＝0.5，由对立事件的概率公式知P(D)＝0.4，P(E)＝0.5，P(F)＝0.5.红队至少两人获胜的事件有：DEF，DEF，DEF，DEF.由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，因此红队至少两人获胜的概率为P＝P(DEF)＋P(DEF)＋P(DEF)＋P(DEF)＝0.6×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.55.第20讲│要点热点探究(2)由题意知ξ可能的取值为0,1,2,3.又由(1)知DEF、DEF、DEF是两两互斥事件，且各盘比赛的结果相互独立．因此P(ξ＝0)＝P(DEF)＝0.4×0.5×0.5＝0.1.P(ξ＝1)＝P(DEF)＋P(DEF)＋P(DEF)＝0.4×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.35.P(ξ＝3)＝P(DEF)＝0.6×0.5×0.5＝0.15.由对立事件的概率公式得P(ξ＝2)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝1)－P(ξ＝3)＝0.4.所以ξ的分布列为：ξ0123P0.10.350.40.15因此Eξ＝0×0.1＋1×0.35＋2×0.4＋3×0.15＝1.6.第20讲│要点热点探究【点评】概率计算题的核心环节就是把一个随机事件进行类似本题的分拆，这中间有三个概念，事件的互斥，事件的对立和事件的相互独立，在概率的计算中只要弄清楚了这三个概念，根据实际情况对事件进行合理的分拆，就能把复杂事件的概率计算转化为一个个简单事件的概率计算，达到解决问题的目的．第20讲│要点热点探究某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2株．设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为56和45，且各株大树是否成活互不影响．求移栽的4株大树中：(1)至少有1株成活的概率；(2)两种大树各成活1株的概率．【解答】设Ak表示第k株甲种大树成活，k＝1,2；设Bl表示第l株乙种大树成活，l＝1,2，则A1，A2，B1，B2独立，且P(A1)＝P(A2)＝56，P(B1)＝P(B2)＝45.(1)至少有1株成活的概率为1－P(A1·A2·B1·B2)＝1－P(A