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2．3.4平面向量共线的坐标表示第二章平面向量栏目导引第二章平面向量新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关精彩推荐典例展示学习导航学习目标实例――→了解如何用坐标表示两个共线向量――→理解用坐标表示平面向量共线的条件――→掌握利用坐标判断向量是否共线重点难点重点：用坐标表示两向量共线的条件．难点：根据向量坐标判断向量共线．栏目导引第二章平面向量新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关精彩推荐典例展示新知初探思维启动两个共线向量的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b⇔a＝λb⇔___________________.x1y2－x2y1＝0栏目导引第二章平面向量新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关精彩推荐典例展示做一做已知a＝(1,2)，b＝(x,4)，若a∥b，则x等于________.答案：2想一想若a∥b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则必有x1y1＝x2y2吗？提示：不一定，两个向量中，若有与坐标轴(x轴)平行的向量或零向量，则不能写成比例式．栏目导引第二章平面向量新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关精彩推荐典例展示典题例证技法归纳题型一向量共线的判断题型探究例1已知向量a＝(1,2)，b＝(λ，1)，若(a＋2b)∥(2a－2b)，则λ的值等于()A.12B.13C．1D．2栏目导引第二章平面向量新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关精彩推荐典例展示【解】法一：a＋2b＝(1,2)＋2(λ，1)＝(1＋2λ，4)，2a－2b＝2(1,2)－2(λ，1)＝(2－2λ，2)，由(a＋2b)∥(2a－2b)可得2(1＋2λ)－4(2－2λ)＝0，解得λ＝12.栏目导引第二章平面向量新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关精彩推荐典例展示法二：假设a，b不共线，则由(a＋2b)∥(2a－2b)可得a＋2b＝μ(2a－2b)，从而1＝2μ2＝－2μ，方程组显然无解，即a＋2b与2a－2b不共线，这与(a＋2b)∥(2a－2b)矛盾，从而假设不成立，故应有a，b共线，所以1λ＝21，即λ＝12.栏目导引第二章平面向量新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关精彩推荐典例展示【答案】A【名师点评】向量共线问题常涉及两个方面：(1)已知两个向量的坐标或四点的坐标，判定两向量共线；(2)已知向量共线求参数的值．解题时要注意方程思想的运用，向量共线的条件、向量相等都可作为列方程的依据．栏目导引第二章平面向量新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关精彩推荐典例展示跟踪训练1．已知向量a＝(1,1)，b＝(2，x)．若a＋b与4b－2a平行，则实数x的值是()A．－2B．0C．1D．2解析：选D.a＋b＝(3,1＋x)，4b－2a＝(6,4x－2)．∵a＋b与4b－2a平行，∴3(4x－2)－6(1＋x)＝0，即4x－2＝2(1＋x)．∴x＝2.栏目导引第二章平面向量新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关精彩推荐典例展示例2题型二三点共线问题如果向量AB→＝i－2j，BC→＝i＋mj，其中i、j分别是x轴、y轴正方向上的单位向量，试确定实数m的值使A、B、C三点共线．【解】法一：A、B、C三点共线，即AB→、BC→共线，∴存在实数λ，使得AB→＝λBC→.即i－2j＝λ(i＋mj)，于是λ＝1，λm＝－2，∴m＝－2，即m＝－2时，A、B、C三点共线．栏目导引第二章平面向量新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关精彩推荐典例展示法二：依题意知i＝(1,0)，j＝(0,1)，而AB→＝(1,0)－2(0,1)＝(1，－2)，BC→＝(1,0)＋m(0,1)＝(1，m)，而AB→、BC→共线，∴1×m－1×(－2)＝0，∴m＝－2，故当m＝－2时，A、B、C三点共线．栏目导引第二章平面向量新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关精彩推荐典例展示【名师点评】利用向量平行证明三点共线需分两步完成：(1)证明向量平行；(2)证明两个向量有公共点．栏目导引第二章平面向量新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关精彩推荐典例展示跟踪训练2．已知A(－1，－1)，B(1,3)，C(2,5)，那么AB→与AC→是否共线？线段AB与线段AC是否共线？解：∵AB→＝(1－(－1)，3－(－1))＝(2,4)，AC→＝(2－(－1)，5－(－1))＝(3,6)，又2×6－3×4＝0，∴AB→∥AC→，∴AB→与AC→共线．又直线AB与直线AC有公共点A，∴A、B、C三点共线，即线段AB与线段AC共线．栏目导引第二章平面向量新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关精彩推荐典例展示例3题型三向量共线的应用如图，已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，求AC与OB的交点P的坐标．【解】法一：由O，P，B三点共线，可设OP→＝λOB→＝(4λ，4λ)，则AP→＝OP→－OA→＝(4λ－4,4λ)，AC→＝OC→－OA→＝(－2,6)，栏目导引第二章平面向量新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关精彩推荐典例展示由AP→与AC→共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解之得λ＝34，∴OP→＝34OB→＝(3,3)，∴P(3,3)即为所求．法二：设P(x，y)，则OP→＝(x，y)，且OB→＝(4,4)，又OP→与OB→共线，所以x＝y.又AP→＝(x－4，y)，AC→＝(－2,6)，AP→与AC→共线，则得(x－4)×6－y×(－2)＝0，求出x＝y＝3，∴P(3,3)即为所求．栏目导引第二章平面向量新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关精彩推荐典例展示【名师点评】本例中的两个方法，在充分理解向量共线的性质定理的基础上从不同的侧面给出了已知四边形四个顶点坐标求对角线交点坐标的一般解法．而且更为重要的是给我们提供了求直线与直线交点的向量方案．栏目导引第二章平面向量新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关精彩推荐典例展示1．要判断向量a、b是否共线，可用共线定理a∥b(b≠0)⇔a＝λb来判断，如果能求得a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，也可用x1y2－x2y1＝0来判断．向量共线常常用来解决交点坐标的问题和三点共线的问题．2．三点共线问题的实质是向量共线问题．两个向量共线只需满足方向相同或相反，两个向量共线与两个向量平行是一致的．方法感悟栏目导引第二章平面向量新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关精彩推荐典例展示精彩推荐典例展示例4易错警示忽视向量的方向致误设点A(－1,2)，B(n－1,3)，C(－2，n＋1)，D(2,2n＋1)，若向量AB→与CD→共线且同向，则n的值为()A．2B．－2C．±2D．1栏目导引第二章平面向量新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关精彩推荐典例展示【常见错误】(1)由向量共线知x1y2－x2y1＝0可求出n的值，而忽视对向量是否同向进行验证．(2)由A、B、C、D的坐标求向量坐标，公式应用出错．【解析】由已知条件得AB→＝(n,1)，CD→＝(4，n)，由AB→与CD→共线得n2－4＝0，n＝±2.当n＝2时，AB→＝(2,1)，CD→＝(4,2)，栏目导引第二章平面向量新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关精彩推荐典例展示【答案】A则有CD→＝2AB→，满足AB→与CD→同向；当n＝－2时，AB→＝(－2,1)，CD→＝(4，－2)，则有CD→＝－2AB→，满足AB→与CD→反向，不符合题意．因此，符合条件的只有n＝2.栏目导引第二章平面向量新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关精彩推荐典例展示【失误防范】(1)准确计算有关向量的坐标是解答此类问题的前提．(2)当向量用坐标表示时，在解决与向量共线有关的问题时，一般用坐标表示向量平行．(3)向量共线的坐标表示将向量共线用代数形式表示出来后，要注意与其他知识的结合应用．栏目导引第二章平面向量新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关精彩推荐典例展示跟踪训练3．已知A(2，－1)，B(3,1)，若AB→与向量a平行且方向相反，则a的坐标可以是()A．(1，12)B．(2,1)C．(－1,2)D．(－4，－8)解析：选D.AB→＝(3－2,1＋1)＝(1,2)，设a＝(x，y)．∵a∥AB→，且方向相反，∴y＝2x，且x0.令x＝－4，则y＝－8.