34-函数展开成幂级数

高等院校非数学类本科数学课程——一元微积分学第四讲函数展开为幂级数授课教师彭亚新高等数学A（1）一、幂级数的解析运算三、函数展开为幂级数四、函数展开为幂级数应用举例第八章无穷级数第四节函数展开为幂级数二、泰勒级数1幂级数的和函数在其收敛区间内是连续的)),(()(0RRCxfxannn在收敛区间端点处是指和函数的左、右连续性.,)1,1(0其和为：内收敛在nnx))1,1((11)(Cxxf一、幂级数的解析性质幂级数的解析性质2幂级数在其收敛区间内具有逐项可积性dd)(0000nxnnxnnnttatta在幂级数的收敛区间内,其和函数连续,故幂级数的和函数在收敛区间内可积,当然,幂级数也在其收敛区间内可积.逐项积分得到的新幂级数与原幂级数具有相同的收敛半径,但端点处的敛散性可能改变.幂级数的解析性质3幂级数在其收敛区间内具有逐项可导性.)(dddd00nnnnnnxaxxax逐项求导得到的新幂级数与原幂级数具有相同的收敛半径,但要注意：由于常数的导数为零,故有些幂级数在求导后要改变下标的起始值.112022)(ddnnnnxnxx例如.)1||(,11xxnnn求,nan由于,11lim||||lim1nnaannnn.)1,1(11内可逐项积分在故nnxndd)(010111xnxnnnxxnxxn.11xxxnn首项为x,公比为x.例1解d)(dd01111xnnnnxxnxxn从而xxx1dd.)1||(,)1(12xx.1R即111212212xnnnnnxnn1211212212xnnnnnxnn12211212212xnnnnnxnn符合积分要求了.2121之值求nnn例2.)2,2(212122的收敛区间为nnnxn,)2,2(中在10220122d212d)212(nxnnxnnnxxnxxn1122nnnx1221nnxx22xx等比级数.2121之值求nnn例2解21222dd212xxxxnnnn故222)2(2xx,1得取x.3)2(221212221xnnxxn,)1|(|531253112之和求xxxxnxnn.)12(211的值并由此求nnn,12)(,12则由令这是缺项的幂级数nxxunn,1212lim|)(||)(|lim221xxnnxuxunnnn.,1||,原级数绝对收敛时得x例3解由幂级数在其收敛区间内的逐项可导性,得1121121212nnnnnxnx122nnx,111242xxxxnnxxnx02112d1112故xxxxd1111210.)1||(,11ln21xxx)12(211？的值如何求nnn)1|(|11ln2112112xxxnxnn已知111221)12(21nnnnnn12)2(112nnn112122121nnn.1)2ln(2121x取请自己完成例3在收敛区间内对幂级数逐项求导、逐项积分后,得到一个新的幂级数,且它与原幂级数具有相同的收敛半径.如有必要,可对它连续进行逐项求导和逐项积分.就是说,在收敛区间内幂级数的和函数具有任意阶的导数及任意次的可积性.幂级数的性质多好啊！如何将函数表示为幂级数?怎么做？,将函数表示为我们在前面已经遇到过实际上—泰勒公式：多项式的情形—200000)(!2)())(()()(xxxfxxxfxfxf.))o(()(!)(000)(nnnxxxxnxf马克劳林公式：.)o(!)0(!2)0()0()0()()(2nnnxxnfxfxffxf吗？还记得公式的推导过程二、泰勒级数将函数展开为幂级数得的问题是否就是将函数展开为泰勒级数的问题?一个幂级数在其收敛区间内代表一个函数,即它的和函数:),()(0RRxxSxannn任意一个函数能否在某一个区间内表示为某一个幂级数的形式呢?即是否有?))(()()(00xfxxaxfnnn?如何确定系数na?)(的关系如何与xfan工程需要泰勒公式问题)()U()(000即的和函数，内为幂级数在若nnnxxaxxf)U(,)()(000xxxxaxfnnn.),2,1,0(!)(0)(nnxfann则定理证由定理的条件可知,,)U(0内幂级数收敛在x,)U(0内可对其进行逐项求导故在x且其和函数.)U()(0内具有任意阶导数在xxf于是有nnxxaxxaxxaaxf)()()()(020201010203021)()(3)(2)(nnxxnaxxaxxaaxf204032)(34)(232)(xxaxxaaxf20)()1(nnxxann)(23)1()1(!)(01)(xxannnanxfnnn则有代入上述各式以,0xx,)(00xfa,)(01xfa,!)(0)(nxfann由数学归纳法,得),2,1,0()(0)(nnxfann！该定理说明,内为某个在如果)U()(0xxf000)()(!)(nnnxxnxf幂级数的和函数,则该幂级数一定是下列形式:)(0则称有任意阶导数，在点设xxf000)()(!)(nnnxxnxf.)(0处的泰勒级数在点为xxf定理和定义给我们提供了什么信息?定义定理和定义告诉我们：0)(xxf在点如果处有任意阶导数,则它就有一个相应的泰勒级数存在.但此泰勒级数不一定收敛,即算收敛,其和函数也不一定等于.)(xf就是说,函数与它的泰勒级数间划等号是有条件的.)U()(0xxf在如果内可表示为幂级数的形式,则该幂级数一定是函数f(x)的泰勒级数.问题,在什么条件下?)U()(0数呢内可以展开为一个幂级在xxf)(,)(呢？且和函数等于的泰勒级数收敛xfxf,在什么条件下回忆泰勒中值定理的构建过程,)1()U()(0则阶的导数内有直到在设nxxf,)()(!)()(000)(xRxxkxfxfnnkkk.)(!)1()()(10)1(为拉格朗日余项其中nnnxxnfxR由级数的部分和及收敛性质看出一点什么没有?定理,)U()(0内具有任意阶导数在设xxf内处的泰勒级数在在点则)U()(00xxxf的充要条件是收敛于)(xf0)(limxRnn)()(,0处泰勒公式的拉在为其中xxfxRn.格朗日余项证)(!)(000)(的部分和为级数nnnxxnxf)(!)()(000)(knkknxxkxfxS)(的泰勒公式为函数xf)()(!)()(000)(xRxxnxfxfnknkk)()()(xSxfxRnn故余下的工作由学生自己完成.10)1()(!)1()()(nnnxxnfxR),2,1,0(|)(|)(nMxfn若推论,0),2,1,(0,|)(|)U()(0为常数内若在MMxfxn)U()(0内可展开为泰勒级数在则xxf.)U(,)(!)()(0000)(xxxxnxfxfnnn证（提示）)(!)1()(|)(|010)1(nnnxxnfxR)(0!)1(1nnMn.)(为邻域半径.)(0!lim,Ranann此外自己做!0)(!)0(nnnxnf2!2)0()0()0(xfxffnnxnf!)0()(马克劳林级数,00级数即得到常用的马克劳林在泰勒级数中取x,)(0处具有任意阶导数在点只要函数xxf就可写出它的泰勒级数.但它的泰勒级数不一定收敛,.)(xf只有当拉格朗日余项0)()(nxRn时,泰勒级数才收敛于.)(xf一个函数如果能够展开为幂级数形式,则该幂级数一定是它的泰勒级数,且这种展开是唯一的.)(也不一定等于xS即使收敛,其和函数三、函数展开为幂级数函数展开为幂级数直接展开法间接展开法该方法是先求出函数,)()()(xfxfn的导数写出它的泰勒级数,然后,判断泰勒公式中的拉格朗日余项是否满足,0)(limxRnn确定级数的收敛区间.直接展开法.)(为马克劳林级数展开xexf),2,1,0(1)0(0)(nefxxn的马克劳林级数为xe0!nnnx!1nxxn011lim||||lim1naannnn由于.,R该级数的收敛半径为所以例4解!)1(|||!)1()(||)(|01||1)1(nxexnfxRnxnnn而)0(之间与在x,)(0!limRanann因为)),((0!)1(||lim1||xnxenxn所以,0)(lim故所求马克劳林级数为即xRnn.),(,!0xnxennx.sin)(展开为马克劳林级数将xxf,)2sin()()(nxxfn因为)(12,)1(2,0)0(,)(Zkknknfkn所以sin的马克劳林级数为故x1121)12()1(nnnnx！!5!353xxx例5解,!)12()1()(121nxxunnn记02)12(lim||||lim21nnxuunnnn.R故该级数的收敛半径为),2,1,0(1|)0(|)(nfn因为,sin,即林级数可以展开为它的马克劳所以x).,(,!)12()1(sin1121xnxxnnn从一些已知函数的泰勒展开式出发,利用幂级数的四则运算和解析运算性质,以及进行适当的变量代换来求出另外一些函数的泰勒公式的方法,称为间接展开法.间接展开法.cos)(展开为马克劳林级数将xxf)(sincosxx)!)12()1((1121nnnnx1121)!)12()1((nnnnx1221!)22()1(nnnnx.),(,!)2()1(02xnxnnn例6解)),((!)12()1(sin012xnxxnnn)),((!)2()1(cos02xnxxnnn.)(2展开为马克劳林级数将xexf,2xy令,),(,!0ynyenny因为.),(,!)1(022xnxennnx所以利用变量代换例7解.)3(1)(的幂级数为展开xxxf)3(311xx331131x等比级数的和例8解,)1,1(,11)1(0得由xxxnnn3311311xx03)3()1(31nnnnx,3)3()1(01nnnnx1331x？x.)6,0(x本讲学习要求了解幂级数在收敛区间内的解析性质,会求简单幂级数的和函数,知道函数展开为泰勒级数