控制理论lesson5§1.3由传递函数求状态空间表达式

§1.3由传递函数求状态空间表达式根据前面介绍的微分方程与状态空间表达式之间的变换关系，若已知传递函数，可首先把传递函数变成微分方程，然后由微分方程与状态空间表达式的变换关系。求出状态空间表达式。一、传递函数中没有零点时的变换传递函数为：nnnnasasasbsG111)(系统的微分方程为：buyayayaynnnn1)1(1)(则根据上节公式，可直接写出状态空间表达式。即：001,00,10001011CBAbaaann传递函数也可分解成下图所示的结构。•选状态变量为：)1()1(21111nnnybzxybzxybzx对应的状态空间表达式为：00,100,10001011baaannCBA其中A阵和B阵为规范形式，这是能控标准形实现。它的模拟电路图如下图所示：能控标准形实现的模拟图二、传递函数中有零点时的变换传递函数为：微分方程为：则根据上节公式，可直接写出能控标准形。即：nnnnnnnnasasasbsbsbsbsG1111110)(ububububyayayaynnnnnnnn1)1(1)(01)1(1)(从传递函数的角度分析，这实际上是一种分子与分母直接分离分解法。设中间变量，可得：100,10001011BAaaann,00110110bbabbabbabnnnnDC)()()()()()(sZsYsUsZsUsY式中nnnnasasassUsZ1111)()(nnnnbsbsbsbsZsY1110)()(分解式第一部分是系统结构决定的。当选中间变量z及z的各阶导数为一组变量时,得到的状态方程是能控标准形实现。即式中的A和B阵。显然这是与系统结构相对应的一种规范形实现。分解式第二部分表示状态变量与输出的关系，输出y等于各状态变量与输入的线性组合，即式中的C和D阵。若传递函数等效为：nnnnnnnnasasasbsbsbsbbsG111112110)(式中),,2,1(),(0nibabbiii011,bbbbnnDC此时，式中的C阵和D阵可直接写成：由此画出的系统计算机模拟图如图所示。能控标准形实现模拟图例:已知系统的传递函数：6512)(22sssssG试按能控标准形实现写出状态空间表达式。解：由公式写出能控标准形为：10,56101012BAaa1,350001022bbabbabDC65531)(2ssssG5610A10B3521bbC1D若将传递函数化成严格真有理分式，则按简化公式可得：，mnasasasbsbsbsbsGnnnnmmmm)(1111110),1,0(mibi00001bbbbmmC一般情况下，系统输出的阶次高于输入的阶次，则b0=0,传递函数为严格真有理分式形式，即，，式中是任意常系数。同样按以上方法C阵可以写成此时，输出仅是状态变量的线性组合，与输入无直接关系。)4)(2)(1(12)(sssssG试按能控标准形实现写出状态空间表达式。解：将传递函数整理成标准形式322131023814712)(asasasbsbsssssG按上式写出能控标准为：例：已知系统的传递函数100,7148100010100010123BAaaa021001bbC结束